Zeszyty Naukowe Akademii Techniczno-Rolniczej im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy. Mechanika, z.54 (243), 2004

AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA 
IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 


" 


" 


ZESZVTY NAUKOWE NR 243 


. 
. I 


. 


I 


" 


T 
.\ " 
l 6 
.ł 


MECHANIKA 
54 


.... .... 


. 


. 


BYDGOSZCZ - 2004
>>>
REDAKTOR NACZELNY 
dr hab, Lucyna Drozdowska, prof. nadzw. ATR 


REDAKTOR DZIAŁOWY 
prof. dr hab. inż. Maciej Woropay 


OPRACOWANIE TECHNICZNE 
inż. Edward Gołata, Ewa Olawińska 


ej Copyright 
Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej 
Bydgoszcz 2004 


ISSN 0208-6395 


Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej 
ul. Ks, A, Kordeckiego 20. 85-225 Bydgoszcz, tel. (052) 3749482, 3749426 
e-mail: wydawucz@atr.bydgoszcz. pl http://www.atr.bydgoszcz.pl/
wyd 


Wyd. 1. Nakład 80 egz. Ark. aut. 16,50. Ark. druk. 2L75. Zamówienie nr 12/2004 
Oddano do druku i druk ukończono w paździemiku 2004 r. 
Uczelniany Zakład Małej Poligrafii ATR Bydgoszcz, ul. Ks. A. Kordeckiego 20
>>>
PRZEDMOW A 


Z satysfakcją przekazujemy Państwu materiały poświęcone Sesji Naukowej "Me- 
chanika Stosowana 2004". 
Oddział bydgoski PTiV1TiS powstał przeszlo 30 lat tell1u, ale dopiero ostatni okres 
istnienia zaowocował bardziej zauważalnym działaniem. W ł 998 roku odbyła się 
pierwsza Sesja Naukowa "Dynamika i Wibracje". Duże zainteresowanie jej tematyką 
oraz rozwój środowiska naukowego sprawiły, że zdecydowaliśmy się kontynuować te 
spotkania. W roku 2000 odbyła się Sesja "Mechanika Stosowana 2000", następna - 
o podobnym tytule - w roku 2002 i wreszcie obecna. 
Najtrudniejsze były początki, dlatego raz jeszcze dziękujemy Panom Prof, An- 
drzejowi Tylikowskiell1u i Prof. Józefowi Niziołowi za pomoc oraz życzliwość. a także 
Zarządowi Głównell1u i jego ówczesnell1u przewodniczącell1u Panu Prof. Eugeniuszowi 
Świtońskiell1u. 
Tematyka obecnej Sesji ..Mechanika Stosowana 2004"- podobnie jak i poprzed- 
nich - jest bardzo szeroka i w związku z tym organizatorzy nie zdecydowali się podzie- 
lić przyjętych artykułów tematycznie. Na spotkaniu zaprezentowane zostaną również 
referaty plenarne i sesja plakatowa. 
Mechanika stosowana jest i pozostanie podstawą konstrukcji i technologii oraz 
eksploatacji maszyn i urządzeń. Zastosowane prograll1Y komputerowe należą do zna- 
komitych narzędzi rozwiązywania zagadnień ll1echaniki stosowanej. Wspomaganie 
komputerowe ogranicza czas poświęcony na żmudne obliczenia i rozszerza możliwości 
analizy. 1l10delowania oraz wnioskowania, 
Twórcza myśl naukowa. której zasięg w technice ciągle się poszerza, zawsze opie- 
ra się na wynikach badań naukowych. Rozwój kształtuje nasz pogląd na naturę zjawisk 
otaczającej rzeczywistości i jest wynikiem naszej czynnej woli oraz dążenia do pozna- 
nia prawdy. W oryginalnych artykułach naukowych z zakresu szeroko rozumianej ll1e- 
chaniki stosowanej przedstawiono jeden z głównych trendów obserwowanych w na- 
sZYIl1 kraju, a określany jako podejście systemowe do procesów zachodzących w nauce 
i technice. Problematyka prac uwzględnia także szeroko rozumiane bezpieczeństwo 
i erektywność. Treść przedstawionych referatów świadczy o dalszym rozwoju ll1echani- 
ki stosowanej. 
Gorąco dziękujemy wszystkim osoboll1 uczestniczącym w pracach KOll1itetu 
Organizacyjnego i Naukowego, pracownikom Katedry Mechaniki Stosowanej oraz 
władzoll1 Wydzialu Mechanicznego i Akadell1ii Techniczno-Rolniczej za życzliwą 
pomoc i patronat. 


Przewodniczący 
Komitetu Naukowego 
prof. dr hab. inż. Krzysztof Wernerowski 


Przewodniczący 
Komitetu Organizacyjnego 
dr hab. inż. Henryk Holka 
prof. nadzw. A TR
>>>
20. 


Bartosz Nowak, Jerzy Najar: Analiza numeryczna naprężeń w endoprotezie 
stawu biodrowego z uwzględnieniem wpływu geometrii na wytężenie...............219 
Maria Olejniczak. M: khaylo Delyavskyy. Lubov Onyshko: Analiza sta- 
tyczna tarczy włóknistej ze szczelinami ..............................................................231 
Anna Podhorecka: Analiza drgań belek z uwzględnieniem efektów geo- 
metrycznie nieliniowych przy zastosowaniu metody elementów czasoprzes- 
trzennych ...... .... ............ ............ .......... ..................... .............................. ........... ...241 
Robert Ran, Mykhaylo Delyavskyy, Adam Podhorecki: Obliczenia stanu 
naprężeń w złożonych układach pł:1owych o nieciągłych warunkach brze- 
gowych .. ...... ,. ,. ........ ... ..... .... ... ..... .... ,........ ... ...... ....... .......... ......... ..... ....... .... ...... ..253 
Jan Sadowski: Wyznaczanie dynamicznego ll1ateriałowego ll10dułu rozdzie- 
rania dla wybranych stopów metalowych ...........................................................263 
Jerzy Sawicki. Tomasz Paczkowski: Obróbka elektrochemiczna krzywo- 
liniowych powierzchni obrotowych .. ............ ......... ............... ................... ....... ....273 
Justyna Sobczak-Piąstka: Pełzanie płyt na podlożu lepkosprężystym..................287 
Krzysztof Wernerowski: Analiza wibroizolatora gumowego z regulacją 
sztywnośc i ..............................................................................,.............................2 99 
Arnold Wilczyński, Marek Kociszewski: Badanie modułu sprężystości przy 
zginaniu płyt drewnopochodnych o strukturze warstwowej.................................307 
Tadeusz Z. Woźniak: Modelowanie kinetyki równoczesnego rozpadu auste- 
nitu na dwa produkty ...........................................................................................315 
Janusz Zachwieja: Analiza numeryczna obciążenia statycznego oraz drgań 
płaszcza walczaka obrotowego.... ......................... .................. ... ......................... .329 


21. 


22. 


7 1 
_.J. 


24. 


25. 


26. 
27. 


28. 


29. 


30.
>>>
Spis treści 


l. Józef Kubik. M ichał Pakuła: Techniki ultradźwiękowe w badaniach in vitro 
materiałów kostnych. Przegląd zastosowań ..................................,.,.......................7 
2. Andrzej Tylikowski: Stateczność dynamiczna konstrukcji pod wpływem 
czasowo-przestrzennych obciążeń przypadkowych ...............................................23 
3. Arkadiusz Mężyk, Eugeniusz Świtoński: Minimalizacja drgań napędów 
e lektroll1ec han icznych ...............................................,....",.,..",.............................. 3 3 
4. JózefNizioł: Tłumienie drgań płyt i ll1embran w ujęciu probabilistycznym .........49 
5. Adam Podhorecki: Metoda elementów czasoprzestrzennych w zastosowa- 
niu do rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych .,................................59 
6. Katarzyna CabaJlska-Płaczkiewicz, Maciej Wilczyński: Vibrations of the 
plate with a viscoelastic interlayer ...............................................................,.......,67 
7, Mieczyslaw Cieszko, Marcin Kempiński: Zastosowanie granicznych 1110- 
deli przestrzeni porów do interpretacji danych porozymetrii rtęciowej ...............,75 
8. Mieczysław Cieszko. Wojciech Kriese: Opis anizotropowej struktury prze- 
strzeni porów wiązki kwadratowych włókien ułożonych w siatce kwadra- 
towej. Zastosowanie metryki przestrzeni Minkowskiego ..............,.......................89 
9. Paweł Frankowski, Henryk Holka: Optymalizacja drgań wydzielonego 
obszaru ukladu dyskretno-ciągłego .....................................................................,\ O \ 
10. Joanna Grabowska. Marek Krawczuk, Wiesław Ostachowicz. Magdalena 
Palacz: Detekcja nieciągłości w pręcie na podstawie analizy propagacji fali 
Lall1ba . ................. ................ ,., .............. .......... ... .... .......... ........ ..............., ,.......... .\\1 
Ił. Elżbieta Grochowska, Jakub Marcinowski, Antoni Matysiak: Badania do- 
świadczalne rozprężanych belek zespolonych stalowo-betonowych ..................,121 
12. Jacek Jackiewicz: Metoda prognozowania zniszczenia i rozwoju ll1ikro- 
uszkodzeń w stalach Ni-Mo-Cr w zakresie tell1peratury przejścia ll1ateriału 
ze stanu plastyczności w stan kruchości ..............................................................131 
13. Ryszard Jedliński: Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności pojazdu 
samochodowego ............... .... ... ........ ... ........... ............ ............... .......,... ..... ........... ł 41 
14. Dariusz Kasprzak: Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych ..............155 
i5. Katarzyna Kazimierska. Mariusz Kaczmarek, Bartosz Nowak: Właściwości 
i wytwarzanie cieczy magnetycznych ................................................................. ł 67 
16. Jan Kochaóski. Józef Kubilc Pomiar prędkości fazowej fal ultradźwięko- 
wych w nasyconYIl1 materiale porowatym. Metoda widma amplitudowego .......\79 
17. Jarosław P. Lewandowski, Mykhaylo Delyavskyy: Metoda rozwiązania 
cienkich płyt anizotropowych ..............................................................................187 
18. Stanisław Mroziński: Wpływ sekwencji programu obciążenia na przebieg 
procesu stabilizacji stali 45 .................................................................................. ł 97 
19. Jacek Nitka, Dariusz Buchaniec, Mykhaylo Delyavskyy: Metoda rozwiązy- 
wania płyty ciągłej wzmocnionej kratownicami ..............,...................................209
>>>
KOMITET NAUKOWY 


prof. dr hab. inż. Krzysztof Wernerowski - przewodniczący 
prof. dr hab. inż. Józef Kubik 
prof. dr hab. inż. Eugeniusz Świtoński 
prof. dr hab. inż. Andrzej Tylikowski 
prof. dr hab. inż. Wiesław Ostachowicz 
prof. dr hab. .Józef Nizioł 
prof. dr hab. inż. Antoni Matysiak 
prof. dr hab. inż. Arnold Wilczyński 
dr hab. inż. Bronisław Siołkowski, prof. nadzw. A TR 
dr hab. inż. Adam Podhorecki, prof. nadzw. A TR 


KOMITET ORGANIZACYJNY 


dr hab. inż. Henryk Hołka. prof nadzw. A TR - przewodniczący 
dr hab. inż. Jerzy Gołaś, prof nadzw. A TR 
dr inż. Jerzy Sawicki - sekretarz 
dr inż. Maria Ołejniczak 
dr inż. Jan Sadowski 
mgr inż. Jan Żołnierczyk 
Katarzyna Łaz 
Cecylia Sarbinowska
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 -- MECHANIKA 54 - 2004 


TECHNIKI ULTRADŹWIĘKOWE W BADANIACH 
IN VITRO MATERIAŁÓW KOSTNYCH. 
PRZEGLĄD ZASTOSOWAŃ 


Józef Kubik. Michał Pakuła 


Instytut Mechaniki Środowiska i łntormatyki Stosowanej 
Akademia Bydgoska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkiewicza 30. 85-06
 Bydgoszcz 


W pracy zaprezentowano głÓwne mctody ultradźwiękowe stosowane w la- 
boratoryjnych badaniach materiałÓw kostnych: mctodę fali ciągłej i impulsowej, 
metody mikroskopii ultradźwiękowej i rozpraszania wstecznego. Zddiniowano 
ilościU\\e miary wykorzystywane do charakteryzowania materiałÓw kostnych 
w oparciu o pomiary ultradź\\iękowe oraz przedyskutowano ważniejsze problemy 
metodologiczne wynikąj1Ce ze specytiki badanych materiałÓw. Zwrócono uwagę 
na takie elementy jak niewielkie wymiary dostępnych próbek, niejednorodność 
i anizotropia materiałÓw oraz wielofazowy charakter ośrodka. W pracy zebrano 
reprezentatywne dane liczbowe dla wybranych rodzajÓ\\ materiałÓw pochodzenia 
ludzkiego i zwierzęcego, \\yznaczone z pomocą omawianych metod. 


SłO\va kluczowe: tltla ultradźwiękowa, kość zbita i gąbczasta 


1, WSTĘP 


W ostatnich latach obserwuje się gwałtowny wzrost zainteresowania i intensywny 
rozwój technik ultradźwiękowych w zastosowaniu do diagnozowania i oceny stopnia 
zaawansowania chorób układu kostnego takich jak: osteoporoza. osteopenia i osteoma- 
lacja. Uznaną zaletą metody ultradźwiękowej w badaniach in vivo jest to, że jest to me- 
toda praktycznie nieinwazyjna dla organizll1u. W badaniach laboratoryjnych (in vitro) 
zaś metoda ultradźwiękowa jest wygodna z uwagi na jej nieniszczący charakter. pozwa- 
lając na prowadzenie wielokrotnych pomiarów na tej sall1ej próbce (np. w celu badania 
własności ll1ateriałów w różnych kierunkach). 
Głównym celem ultradźwiękowych badań kości in vitro jest wyznaczanie własno- 
ści materiałowych. Początkowo badania te były przede wszystkim skoncentrowane na 
określenie modułów sprężystości [1.16]. przy zastosowaniu metod fali ciągłej lub metod 
fali impulsowej. Rozwój technik ultradźwiękowych, zwłaszcza zastosowanie metody 
szerokopasl11owej spektroskopii ultradźwiękowej, pozwolił na rozszerzenie zakresu 
badań i wyznaczanie współczynnika tłull1ienia lub zwiazanych z nill1 wielkości charakte- 
ryzujacych absorpcję w materiałach kostnych jako funkcje częstotliwości oraz wyzna- 
czanie charakterystyk dyspersyjnych [4.10.12]. Aktualnie rozwijane zastosowania ultra-
>>>
8 


J. Kubik. M. Pakuła 


dźwięków koncentrują się także na wyznaczaniu charakterystyk strukturalnych takich 
jak udział objętościowy porów oraz ich charakterystyczne wymiary. 
Celem niniejszej pracy jest omówienie ważniejszych ll1etod ultradźwiękowych sto- 
sowanych w badaniach in vitro materiałów kostnych. Pod uwagę wzięto powszechnie 
znane i stosowane metody fali impulsowej. ll1etodę fali ciągłej oraz względnie nowe 
techniki badania ll1ateriałów kostnych, takie jak ll1etody ll1ikroskopii ultradźwiękowej 
i rozpraszania wstecznego. Obok przedstawienia idei pomiaru oraz charakterystyk 
otrzYll1ywanych wyników zwrócono uwagę na ważniejsze problemy wynikające z zasto- 
sowań oll1awianych ll1etod ultradźwiękowych do badań kości. Ponadto ll1ając na wzglę- 
dzie bardzo aktualnie dyskutowany w literaturze problem konsekwencji dwufazowej 
natury kości, w szczególności kości gąbczastych. rozważono istotne problell1Y interpre- 
tacj i badań ultradźwiękowych kości jako ll1ateriałów dwufazowych. 


2. METODA F ALI CIĄGŁEJ 


Metodęfali cicLf!,lej wykorzystuje się głównie do wyznaczania prędkości propagacji 
fali, która z kolei może być źródłell1 informacj i o własnościach sprężystych materiału. 
Ze względu na nieniszczący charakter oraz na fakt. że w pOll1iarach ultradźwiękowych 
ll10żna wykorzystywać próbki o niewielkich wymiarach (typowe grubości próbek mogą 
wynosić ok. l cm. a nawet mniej) ll10żliwe jest względnie proste określanie wlasności 
materiału w różnych kierunkach. W szczególności można także wyznaczyć rolę nasyce- 
nia ll1ateriału. własności dyspersyjne czy rodzaj anizotropii tkanki kostnej. W pracy [I] 
zaproponowano zastosowanie fali ciągłej do wyznaczania prędkości fazowej. którą 
określa się rejestrując przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem przechodzącYIl1 przez 
próbkę a sygnałem odniesienia ll1ierzonym przy użyciu tych samych głowic będących 
w bezpośrednim kontakcie. Typowe rozwiązanie układu pomiarowego przedstawia 
rysunek !. 
Sinusoidalny sygnał z generatora jest podawany na głowice nadawcze, Głowica od- 
biorcza będąca w bezpośrednim kontakcie z głowicą nadawczą (kanał odniesienia) daje 
sygnał odniesienia. W równoleglym kanale pOll1iarowym fala generowana w nadajniku jest 
odbierana po przejściu przez próbkę. Pojawiająca się przy zmianie częstotliwościfróżnica 
raz -"'9 w kanale pOll1iarowym i kanale odniesienia jest rejestrowana przez detektor fazy 
i stanowi podstawę do obliczania prędkości fazowej zgodnie ze wzorem ( I ): 


r'_'1 L N 
r -_71: . 
-"'1J 


(l) 


gdzie: 
L 
 grubość próbki,
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach... Przegląd zastosowań 


9 


.n....;' \ 
 
" 
'I V ' 
"
 v T 
 R 


A 


DETEKTOR 
AMPLITUDY 


T R 


DETEKTOR 
FAZY 


B 


Miernik częstotliwości 


GENERATOR I 


Rys. ł. Układ pomiarowy do metody fali ciągłej 


W zastosowaniach metod ultradźwiękowych do badań elementów materiałów o nie- 
wielkich wymiarach często wprowadza się bezwymiarowy parametr definiowany jako sto- 
sunek wymiaru poprzecznego próbki d do długości fali /.., oznaczany tutaj jako K. 
Z uwagi na dyspersję geometryczną wymiary próbek i częstotliwości pomiarowe dobiera 
się tak, aby spełniony był jeden z dwóch przypadków. Pierwszy, gdy K dąży do nie- 
skończoności (d»/..) i można przyjąć, że w materiale propaguje się fala objętościowa, 
lub gdy K dąży do zera (d«/..), kiedy w elemencie propaguje się tzw. fala prętowa. 
Biorąc pod uwagę kości w większości przypadków K jest rzędu dziesiątek i przyjmuje 
się, że w takim ośrodku propaguje się fala objętościowa i mierzona prędkość fali zwią- 
zana jest z modułem Y ounga zależnością ( l): 


v= fI k= tE 
Vp' V 3 ( 1-=20 , 


(2) 


gdzie: 
p - gęstość badanego materiału, 
k - moduł objętościowy, 
E i v - odpowiednio moduł Y ounga i liczba Poissona.
>>>
10 


J. Kubik, M. Pakuła 


3. METODA IMPULSOWA 


Do najbardziej wygodnych i najczęściej stosowanych w badaniach zarówno mate- 
riałów kości zbitej jak i gąbczastej należy technika wykorzystująca impulsową falę 
ultradźwiękową. Głównym celem takich badań jest: 
- wyznaczenie prędkości propagacji fali w materiale, 
- wyznaczenie parametrów określających tłumienie fal 
w zależności od kierunku, nasycenia, przygotowania i pochodzenia materiału. 
Wyróżnia się impulsową metodę fali przechodzącej i metodę echa. W impulsowej 
metodzie fali przechodzącej wykorzystuje się dwie głowice (nadajnik i odbiornik sy- 
gnałów) umieszczone naprzeciwko siebie, pomiędzy którymi znajduje się badany mate- 
riał. Sygnał wychodzący z głowicy pokonuje drogę płyn-próbka-płyn, jest odbierany 
przez głowicę odbiorczą i w zależności od rozwiązania układu pomiarowego przekazy- 
wany na oscyloskop, gdzie jest rejestrowany (rys. 2). 


genenlto
 


E2J 


p '::ut 
. . 


r-.-.... --- . 
I 


.t. ._
 


próbka 


a 
I. _ 
p. / 
I '\. 


gluwIca 
odbiorcza 


L- 


komputer, DSO 


Rys. 2. Układ pomiarowy do metody fali impulsowej w zanurzeniu 


Wśród wielu rozwiązań ukladów pomiarowych, w których badania przeprowadza 
się dla kości wypełnionych szpikiem jak i materiałów modyfikowanych (usunięty szpik), 
najbardziej efektywną wydaje się metoda fali przechodzącej w zanurzeniu. Pozwala ona 
uniknąć wielu technicznych problemów związanych np. z nieodpowiednim, w szczegól- 
ności niepowtarzalnym, sprzężeniem akustycznym pomiędzy przetwornikiem a próbką, 
oraz z silnymi własnościami tłumiącymi kości. Jednocześnie jednak w przypadku wyko- 
rzystywania wyłącznie sygnałów czasowych istnieją problemy związane z ewolucją 
kształtu impulsu (trudnością określeniu jego początku) mające swe źródło w dyspersji 
częstotliwościowej prędkości i tłumieniu zależnym od częstotliwości. W przeciwień- 
stwie do metody fali ciągłej, która wykorzystuje tillę monochromatyczną o danej czę- 
stotliwości fala impulsowa może być traktowana jako suma fal monochromatycznych 
o pewnym rozkładzie amplitudowym i fazowym. 
Warto dodać, że często wykorzystywana w badaniach nieniszczących innych mate- 
riałów ultradźwiękowa metoda echa nie znalazła szerszego zastosowania w badaniach 
tkanki kosmej. Cechą charakterystyczną tej techniki jest wykorzystywanie jednej głowi- 
cy, która naprzemiennie ,.pracuje'" jako nadajnik i odbiornik impulsów (sygnał nadaw- 
czy z głowicy wnika do materiału, odbija się od drugiego brzegu próbki i jest odbiera- 
ny). W efekcie impuls falowy musi pokonać przynajmniej dwukrotną grubość próbki. co
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach ... Przegląd zastosowań 


ł J 


przy silnym tłumieniu fal w takill1 ośrodku wYll1agałoby stosowania dużych. nie zawsze 
osiągalnych lub niewskazanych ze względu na zjawiska nieliniowe sygnałów nadaw- 
czych. 


3.1. Pomiary w oparciu o sygnały czasowe 


Stosując zanurzeniową ll1etodę impulsową wyznaczanie prędkości propagacji fali 
w ośrodku o pOll1ijalnej dyspersji (zależności prędkości fali od częstotliwości), 1l10że 
odbywać się przez pOll1iar czasu przejścia impulsu przez układ pomiarowy fe (tzw. TOF 
- Till1e of Flight). Przy znanej grubości próbki L i odległości pOll1iędzy przetwornikami 
S oraz prędkości w płynie /;
" prędkość fali C/m określa się zgodnie ze wzorell1 [2,7, J 7]: 
VI' L 
cn]F = . 
/; l' te + L - S 


(3) 


Z uwagi na fakt, że w metodzie fali impulsowej opartej na sygnałach czasowych 
pojawia się problem z precyzyjnYIl1 określeniem początku impulsu i związany z nim 
błąd odczytu szczególnie widoczny dla pomiarów na cienkich próbkach, dla bardziej 
dokładnego określenia czasu przejścia często uwagę koncentruje się na inny charaktery- 
styczny punkt impulsu (ll1aksimull1 lub ll1inimum impulsu, punkt pierwszego przecięcia 
z osią czasu itp.). Aby dodatkowo zminimalizować ten błąd często stosuje się pomiar 
odniesienia w sall1YIl1 płynie, przy niezmienionej odległości ll1iędzy głowicall1i. Na tej 
podstawie wyznacza się opóźnienie czasowe ó.t pomiędzy charakterystycznymi punkta- 
mi impulsu przechodzącego przez próbkę i płyn, z którego oblicza prędkość fali [2, ł 7]. 
Podobnie jak w metodzie fali ciągłej wyznaczanie prędkości rali w materiale wykorzy- 
stuje się do określenia własności mechanicznych tkanki kostnej. 
Jeżeli-l;.. i A IV są odpowiednio amplitudami fali ill1pulsowej przechodzącej przez 
tkankę kostną i płyn odniesienia o niewielkiej absorpcji (najczęściej woda). to tłumienie 
fali charakteryzuje się przez współczynnik tłumienia, który można określić następująco: 


a = 
ln ( .iL J . 
L Ary 


(4) 


gdzie L jest grubością próbki. Wspólczynnik tłull1ienia stanowi źródło informacji 
o dyssypacyjnych procesach w materiale i ewentualnej niejednorodności. ponieważ jego 
wielkość zależy od mechanizmów osłabiania fal. takich jak tarcie wewnętrzne i rozpra- 
szanie. 


3.2. Szerokopasmowa spektroskopia ultradźwiękowa 


Bardzo istotnym problemem w badaniach eksperymentalnych materia/ów kostnych 
jest uwzględnienie obserwowanej dyspersji prędkości fal jak i zależności współczynnika 
t/umienia fali od częstotliwości. W takill1 przypadku w celu wyznaczenia parall1etrów 
propagacji fal niezwykle przydatne jest zastosowanie analizy spektralnej w możliwie 
szerokim zakresie czestotliwości. 
Metoda ta nazyvvana szerokopasmową spektroskopią ultradźwiękową jest obecnie 
szeroko wykorzystywanym narzędziell1 do wyznaczania parametrów talowych na pod-
>>>
12 


J. Kubik, M. Pakuła 


stawie zarejestrowanych impulsów przechodzących przez tkankę kostną i płyn. Współ- 
cześnie stosowane ll1etody spektroskopowe opierają się głównie na tzw, szybkiej trans- 
formacie Fouriera - FFT, dostępnej w standardowych bibliotekach oprogramowania 
i pozwalającej na szybkie wyznaczenie widll1 amplitudowych i fazowych sygnałów 
falowych przechodzących przez próbkę kości i przez płyn (rys. 3). 
Rozklady amplitudowe oraz fazowe są podstawą do wyznaczania parametrów fa- 
lowych: prędkości fazowej i współczynnika tIumienia według następujących relacji (dla 
układu przedstawionego na rysunku 2) [2]: 


v' = 
2rr n+tpw -(jJ" 


2rr f L 


(5) 


a = 
IJ A,,(f)j . 
L l Al/U)) 


(6) 


gdzie L jest grubością próbki, A,,(j) i A I/{/) odpowiednio all1plitudall1i, a tPI: i (jJ1I fazami 
składowych harll10nicznych o częstotliwości f impulsów przechodzących odpowiednio 
przez próbkę kości i płyn; n jest całkowitą liczbą długości rai mieszczących się na od- 
cinku L. 
Inną realizacją metody spektroskopii ultradźwiękowej jest technika bazująca na 
pomiarach dla próbek tego samego ll1ateriału, ale o różnej grubości. Na podstawie do- 
świadczeń prowadzonych na kościach gąbczastych (realizowanych w Laboratorium 
Instytutu) stwierdzono, że założenie o takim samym materiale dwóch sąsiednich próbek 
(np. kości z tej samej głowy) jest dyskusyjne ze względu na silną niejednorodność 
i anizotropię kości, Alternatywnym i lepszYIl1 rozwiązaniem jest wykonywanie serii 
pomiarów na próbkach grubszych i kolejnym ich ścinaniu oraz przebadaniu ich na nowo 
w takich samych warunkach eksperyll1entalnych. 
W 1984 roku Langton wprowadził parametr zwany Szerokopasmowym Tłull1ie- 
niem Ultradźwiękowym (w skrócie od angielskiego Broadband Ultrasonic Attenuation 
BUA), [17]. Parall1etr ten wyznaczony w oparciu o pomiary ultradźwiękowe metodą 
ill1pulsowej fali przechodzącej i analizę spektralną stał się bardzo użytecznym wskaźni- 
kiell1 w diagnozowaniu własności strukturalnych tkanki kostnej wykorzystując fakt. że 
w pewnYIl1 zakresie częstotliwości. dla kości ludzkich od 200 kHz do I MHz. współ- 
czynnik tłumienia wykazuje dodatnią, liniową dyspersję (współczynnik rośnie liniowo 
w funkcji częstotliwości (rys. 3)).
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach on Przegląd zastosowań 


a 
3 
2 

1 

 o 
! 
E 
c( 01 
-2 
-3 
33 
b 50 
40 

 30 
! 
E 20 
c( 
10 
o 
05 


600 


500 


400 


i 

 300 
... 
... 
... 
"'200 


100 


13 


ImpulS w WOjz.. 1 MHz 
./ 


"-- 


Impuls w 7 1 MHz 
...J'. ..,J'-- 


34 


35 


36 37 
Czas b's I 


38 


39 


..-----.., 
,.- .. 
...... ..... "- 
.... . 


7wwOOz,e 


o" 


....... '. 


..' 
'.0...- ........, 
...... 
..... .0.- 
...,.. .,........ ..... 
..Tłtimi
nl. ".0 0_' , 
....... ..... . 


.. ....... ..... 
..-.- ........ ....... 
........ ....... 
..- . " . 

 -;:; ___o..,...
 ... ...... 
'_ 

 -.... -- 



 płituda w kości 


10 


1.5 20 2.5 
CzęstOlll'NOSć [MHzl 


3.0 


3.5 


4.0 


c 


Fazaw\ 
 
./"..-/ 
,.-; - _ Faza w wodZIe 


/ 


o 


./ 


0.5 


10 


1 5 2,0 2,5 
CZęstotliWOŚĆ [MHzl 


3,0 


3,5 


4,0 


Rys. 3. Zan:jestro\\ane sygnały czaso\\e przechodzące przez kość gąbczastą i "odę (a) oraz ich 
\\idma amplitudowe (b) i tazowe (C).
>>>
ł4 


J. Kubik, M, Pakula 


W zakresie tym wyznacza się tzw. wspólczynnik BUA, który jest tangensem kąta 
nachylenia dla krzywej tłumienia w funkcji częstotliwości i jest wyznaczany według 
następującej relacji [2]: 
BUA=
[LaV)]=
 [ /J AIIV) )] I Neper ] (7) 
dr dl lAkU) li\4H:: 


Wyższa wartość BUA, tj. bardziej stroll1e nachylenie krzywej świadczy o lepszym 
stanie zdrowia pacjenta od którego pobrano tkankę kostną. Wiele prac teoretycznych 
i eksperymentalnych związanych z pomiarami współczynnika BU-ł dla różnego rodzaju 
kości ukazało się w ciągu ostatnich lat i większość z nich wskazuje, że spadek porowa- 
tości determinuje spadek współczynnika BUA oraz. że dla danej porowatości powięk- 
szone wymiary porów powodują zwiększenie wartości tego współczynnika. Warto 
zwrócić uwagę na fakt, że współczynnik BUA dla tego sall1ego rodzaju ll1ateriału zależy 
od grubości próbki. Stąd wprowadzono pochodną wielkość nBUA oznaczającą znorma- 
lizowany (odniesiony do grubości próbki) współczynnik BU-ł. który jest bardziej repre- 
zentatywną wielkością charakteryzującą ll1ateriał kości gąbczastej. 


4. WYKORZYSTANIE POMIARÓW ROZPRASZANIA 
WSTECZNEGO 


Z rozchodzeniell1 fal ultradźwiękowych w ośrodkach niejednorodnych, do jakich 
należy ll1ateriał kostny, związane jest rozpraszanie energii rai w objętości ośrodka 
i w ogólności we wszystkich kierunkach. Rozprasz
mie to uwarunkowane jest występo- 
waniem obszarów, gdzie ma miejsce skokowa zll1iana impedancji akustycznej (iloczynu 
prędkości propagacji i gęstości materiału) i gdzie lokalnie następuje odbicie i załamanie 
fal na tych granicach opisane prawami Snelliusa. Granicami. na których następuje sko- 
kowa zmiana własności w kościach zbitych i gdzie fale są rozpraszane są granice oste- 
onów. Z kolei w kościach gąbczastych rozpraszanie następuje przede wszystkim na 
granicy pomiędzy beleczkall1i lub płytkami tworzącymi stały szkielet a płynem wypeł- 
niającym przestrzeń porową. 
W ośrodkach silnie niejednorodnych. do jakich zaliczane są kości. ll1a miejsce 
skomplikowany proces rozpraszania wielokrotnego i w erekcie wzajemne oddziaływanie 
fal odbitych od i ugiętych na różnych elementach struktury. Wypadkowy sygnał pocho- 
dzący od wielokrotnych odbić i ugięć fali wewnątrz badanego materialu i odbierany pod 
kątem 180 0 w stosunku do kierunku rali wchodzącej do ośrodka nazywany jest sygnalem 
wstecznego rozpraszania (backscattering). Obok badań miękkich tkanek biologicznych 
(p. [24]) wcześniejsze zastosowania metody wstecznego rozpraszania skoncentrowane 
były na wyznaczaniu wad w ll1ateriałach. w szczególności w metalach i kompozytach 
[20]. Obecnie badania wstecznego rozpraszania są intensywnie prowadzone także dla 
kości [5,22,.2324]. 
Ilościową miarą rozpraszania wstecznego jest wspólczynnik charakteryzujący wy- 
padkową iłość energii odbitej wewnątrz badanego materialu. Wspolczynnik rozprasza- 
nia wstecznego definiuje się jako stosunek przekroju czynnego rozpraszania (differential 
cross section) mierzonego pod kątem 180 0 w stosunku do kierunku fali padającej 
z pewnego obszaru materialu odniesiony do objetości tego obszaru [20 I. Pod pojęciem
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach... Przegląd zastosowań 


15 


przekroju czynnego rozpraszania rozumie się iloraz całkowitej mocy rozpraszanej do 
mocy padającej na daną objętość próbki. 
Wyznaczenie współczynnika rozpraszania wstecznego TI (ro) dla danej częstości OJ 
dokonuje się w oparciu o pomiar tzw. uśrednionej funkcji przejścia rozpraszania 
wstecznego ( IS(ro)1 2 ) przyjmując następującą relację [20]: 
(I S{rod) 
TI{ro)=K F (8) 
V(ro) 


R 2 F _ _ K 2a( ro )cte 4a (ffi)X. 
gdzie: K = - reprezentują odpowiednio korektę geo- 
4T-ł e-łU(ffi)CT _e--ła(ffi)ct 
metryczną dla danego układu pomiarowego (przede wszystkim korekta dyfrakcyjna) 
oraz korektę z tytułu tłumienia fali. Ponadto, w powy1:szych relacjach R jest odległością 
przetwornika od ogniska, r jest energetycznym współczynnikiem przejścia fali przez 
powierzchnię próbki, V(ro) oznacza zależną od częstotliwości objętość obszaru próbki 
mającego udział w mierzonym rozpraszaniu wstecznym, a(OJ) oznacza współczynnik 
tłumienia fali w próbce, c jest prędkością fazową a t jest czasem bramkowania mierzo- 
nego sygnału rozpraszanego, A(ro) jest 3-dB przekrojem wiązki fali. 
Pomiary uśrednionej funkcji przejścia rozpraszania wstecznego ( IS(ro)f ) realizuje 
się najczęściej w zanurzeniu w cieczy przy wykorzystaniu konfiguracji pokazanej na 
rysunku 4. 


PRZElWOR",IK 
l L lR\DŻWIĘKO\\\" 


c=r
 


I 

 
I 


PRÓBM 


WODA 


Rys. .t. Schemat typowego ukladu pomiarowego w badaniach rozpraszania wstecznego 


Sygnał w postaci fali impulsowej nadawany jest z ultradźwiękowego przetwornika 
ogniskującego wiązkę, przechodzi przez linię opóźniającą w wodzie i pada na badaną 
próbkę. Następnie ten sam przetwornik pracuje jako odbiornik sygnału odbitego, w szcze- 
gólności wewnątrz rozpraszanego. Zastosowanie odpowiedniego bramkowania w dziedzi- 
nie czasu pozwala na uchwycenie odpowiedzi materiału (wstecznego rozpraszania) z wnę- 
trza próbki. Funkcję przejścia rozpraszania wstecznego w danym przedziale częstotliwości 
otrzymuje się przez porównanie amplitud transformaty Fouriera odbitego sygnału z am- 
plitudą transformaty Fouriera sygnału odniesienia, otrzymanego w wyniku odbicia t1di od 
idealnego retlektora usytuowanego w ognisku przetwornika. W celu wyeliminowania za- 
lemości funkcj i przejścia od konkretnego rozkladu niejednorodności (elementów rozpra-
>>>
16 


J. Kubik, M. Pakuła 


szających) wyznacza się uśrednioną funkcję przejścia. Uśrednianie odbywa się na zbiorze 
większej liczby wyników pomiarów wykonanych dla różnych położeń przetwornika 
względell1 badanej próbki (w praktyce wygodnym rozwiązaniell1 jest prowadzenie pomia- 
rów dla cylindrycznej próbki. obracanej względem osi). 
Prędkość i współczynnik tłull1ienia fali. potrzebne dla wyznaczenia parametru roz- 
praszania wstecznego, ll10gą być wyznaczone w oparciu o ll1etodę szerokopasmowej 
spektroskopii ultradźwiękowej, Z kolei funkcję natężenia wiązki łatwo wyznaczyć wy- 
konując pomiary natężenia fali w wodzie z zastosowaniell1 punktowego przetwornika 
(np. typu hydrofon) i stosując korektę wynikającą z różnicy prędkości rali w wodzie 
i w próbce. 
W literaturze można znaleźć niezałeżne dane z pOll1iarów in vitro wspólczynnika 
rozpraszania wstecznego dla ludzkiej gąbczastej kości piętowej [5.22,23]. Wyniki 
Weara w zakresie częstotliwości od 0,4 do 0,8 MHz [24] przedstawiają potęgową zależ- 
ność współczynnika rozpraszania wstecznego od częstotliwości z wykładnikiell1 równym 
3.2:tl,4. Pomiary Chaffai i innych [5] pokazują, że w zakresie częstotliwości od 0,4 do 
1.2 MHz wykładnik potęgowy zależności współczynnika rozpraszania wstecznego od 
częstotliwości wynosi 3.38:t0.31. Jednocześnie współczynnik tłumienia fali podłużnej 
w tym zakresie wykazywał w przybliżeniu liniową zależność od częstotliwości, 
Badania prowadzone w szerszym zakresie częstotliwości [22], od ok. 1 do 2,5 MHz. 
pokazały. że współczynnik rozpraszania wstecznego zll1ienia charakter osiągając dla wyż- 
szych częstotliwości wartość stałą. Na uwagę zasługuje fakt. że badania porównawcze 
współczynnika rozpraszania wstecznego prowadzone in vivo dla częstotliwości 2.5 MHz 
oraz pOll1iary gęstości kości ll1etodą to 111 ografii komputerowej wykazały dobrą liniową 
korelację współczynnika rozpraszania wstecznego i gęstości masowej kości (BMD) [23]. 
Jakkolwiek niezbędne są dalsze prace w celu ustalenia fizycznych podstaw zależności 
wstecznego rozpraszania i gęstości kości, biorąc pod uwagę rolę struktury badanych tka- 
nek. uzyskiwane wyniki są obiecującą przesłanką dla prowadzenia badań w kierunku dia- 
gnostycznego wykorzystania pOll1iarów wstecznego rozpraszania. 


5. MIKROSKOPIA UL TRADŹWIĘKOWA W BADANIACH 
TKANKI KOSTNEJ 


POll1ysl wykorzystania tal ultradźwiękowych wysokiej częstotliwości (50-2000 I'vIHz) 
w mikroskopii pojawił się już w latach pięćdziesiątych ubiegłego stulecia, jednak dopiero 
w ł 970 r. powstało pierwsze prototypowe urządzenie. które przez następne dwadzieścia 
lat podlegało ciaJ;łej ewolucji. Początkowo pozwalało ono jedynie na wizualizację 
struktury materiału na podstawie amplitudy fali odbitej od powierzchni materialu. Obec- 
nie w nowszych mikroskopach ultradźwiękowych wykorzystuje się także informację 
zawartą w fazie sygnału akustycznego. która pozwala na wyznaczanie mikroskopowych 
własności fizycznych ll1ateriałów. 
Mikroskopia ultradźwiękowa w badaniach tkanki kostnej jest stosunkowo nową 
dziedziną i obecnie jest intensywnie eksploatowana ze względu na swój nieinwazyjny 
charakter. Metoda ta pozwala na wielokrotne badanie danego ll1ateriału. może stanowić 
niezależne źródło informacji, oprócz standardowo stosowanych technik badawczych ta- 
kich jak rentgenogratia czy skaningowa spektroskopia elektronowa. W ramach tej meto- 
dy można wyróżnić [8]:
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach ... Przegląd zastosowań 


17 


badania niskoczęstotliwościowe (dziesiątki MHz), gdzie wyznacza się własności me- 
chaniczne poszczególnych składników kości (szpiku, beleczek kostnych) na podsta- 
wie pomiarów prędkości fali akustycznej, 
wysokoczęstotliwościową wizualizację, która pozwala na zobrazowanie danego ma- 
teriału z dokładnością do ok. I mikrometra. 
Najważniejszym elementem mikroskopu akustycznego jest element piezocera- 
miczny najczęściej ZnO lub LiNbOJ w postaci cienkiej warstwy będący źródłem fali 
ultradźwiękowej, którego grubość determinuje wybór częstotliwości. Płaska fala aku- 
styczna generowana przez przetwornik jest formowana (ogniskowana) w pręcie (najczę- 
ściej wykonanym z szafiru), który pełni także rolę linii opóźniającej. Tak uformowana 
fala pada na próbkę badanego materiału (rys. 5). 


Głowica nadawcza 
(impuls. paczka 
Falowa) 


woda 


t,\ tu soczewka 
(pręt szatlowy) 


A 


------ 


-.,,-- 
Id 


Rys. 5. Idea pomiaru prędkości fali za pomocą mikroskopu ultradźwiękowego 


W zależności od rozwiązania technicznego mikroskop może pracować wykorzy- 
stując metodę echa lub przejścia (patrz rozdz. 3). 


5.1. Pomiary prędkości fali akustycznej (podłużnej) 


Procedura badawcza opiera się na pomiarze czasu opóźnienia pomiędzy impulsem 
odbitym od zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni próbki, która ma postać cienkiej 
warstwy. W metodzie wykorzystuje się glowice ultradźwiękowe o częstotliwosciach 
50-100 MHz, co przy prędkościach fali w materiałach biologicznych rzędu od I do 
4 km's" pozwala na uzyskanie rozdzielczości rzędu dziesiątek mikrometrów i odpowia- 
da rozmiarowi pojedynczej beleczki kostnej lub osteonu. Ważnym elementem procedury 
badawczej jest właściwe przygotowanie materiału i próbek. W odniesieniu do materia- 
łów kostnych nie ustalono dotąd określonych reguł preparatyki i stąd konieczne jest, aby 
wraz z przedstawianiem wyników badań omawiać także sposób przygotowania próbek. 
W eksperymentach prowadzonych na materiałach kostnych zwykle używa się próbek 
o grubości 0,5-1 mm ciętych z dużą dokładnością (rzędu mikrometrów) diamentową piłą 
tarczową [7]. 
W standardowych pomiarach próbki umieszczane są w komorze mikroskopu wy- 
pełnionego wodą destylowaną o temperaturze pokojowej. Opóźnienie czasowe pomię- 
dzy impulsem nadanym a przechodzącym przez próbkę mierzone jest przez wewnętrzny
>>>
18 


J. Kubik, M. Pakuła 


układ lub może być przekazywane na oscyloskop. Przy znanej grubości próbki można 
obliczyć prędkość fali w danym fragmencie badanego materiału (rys. 6). 


A 
"U

 Jn 
 
v Vv 
"'- tA : 
' ", ]o 
ts 
V=2d/(t s -t A ) 


Rys. 6. Idea pomiaru prędkości fali akustycznej w mikroskopie ultradźwiękowym (metoda echa) 


Tak przeprowadzane badania są wielokrotnie powtarzane i wyniki uśrednione 
w celu uzyskania większej precyzji pomiaru. Ponieważ prędkość fali akustycznej jest 
ściśle związana z własnościami sprężystymi materiału, technika ta pozwala na określenie 
własności poszczególnych faz tkanki kostnej. Ma to zastosowanie np. w badaniach 
in vitro skutków rozwoju różnych chorób kości, np. osteoporozy, która objawia się 
przez obniżenie własności sprężystych beleczek kostnych oraz zmniejszenie ich objęto- 
ściowego udziału. 


5.2. Skaningowa mikroskopia ultradźwiękowa (SMU) 


Technika ta operuje częstotliwościami przetworników rzędu tysiąca MHz. Stoso- 
wana jest do obrazowania powierzchni tkanki kostnej i wymaga odpowiedniego przy- 
gotowania próbek do badań. 
Reprezentatywne próbki są wstępnie szlifowane papierem ściernym o grubości zia- 
ren 600-1200, następnie polerowane proszkami aluminium o ziarnistości 1-3 !lm. Proces 
zostaje zakończony, kiedy rysy na powierzchni próbki przestają być widoczne pod mi- 
kroskopem. Próbki są nasycone próżniowo i zanurzone w wodzie destylowanej będącej 
także materiałem sprzęgającym. Pomiar polega na skanowaniu powierzchni impulsem 
lub paczką falową wysokiej częstotliwości. 
Fala akustyczna odbija się od powierzchni próbki (rys. 7), ajej energia jest bezpo- 
średnio związana ze współczynnikiem odbicia zgodnie ze wzorem: 


R= Zb-Zw . 
Zb+Zw 


(9) 


gdzie Zh i ZII' są impedancjami akustycznymi odpowiednio materiału badanego (w przy- 
padku tkanki kostnej - beleczka, szpik) i materiału sprzęgającego (woda).
>>>
Techniki ultradźwiękowe w badaniach ... Przegląd zastosowań 


19 


Gk:r\vica nada,",c.2:ą 
(impuJs. paczka falo"",a; 
-GHz).. . 


socze'VVka 


Rys. 7. Idea obrazowania powierzchni materiału w SMU 


[mpedancja akustyczna natomiast związana jest z własnościami sprężystymi mate- 
riału i jest wyrażana jako: 


z=pV= .JPC , 


(10) 


gdzie p jest gęstością materiału, C współczynnikiem sprężystości, a V - prędkością fali 
w materiale. 
Amplituda sygnału odbitego jest proporcjonalna do współczynnika odbicia, stąd 
jaśniejszy obraz mikroskopowy (większa energia fali) oznacza większą impedancję 
akustyczną materiału badanego, ponieważ impedancja materiału sprzęgającego (wody) 
jest stała. 


LITERA TURA 


[1] Ashman R.B., Cowin S.c., van Burskirk W.c., Rice J.c., 1984. A continuous 
wave technique for the measurement of the elastic properties of cortical bone. 
Journal of Biomechanics 17,349-361. 
[2] Bamber J.c., 1998. Ultrasonic properties of tissues. [[n:] Ultrasound in Medi- 
cine. F.A. Duck, A.c. Baker, H.C. Starritt (eds.). 10P, 57-88. 
[3] Biot M.A.. 1956. Theory of propagation of elastic waves in a tluid saturated po- 
rous solid. I. Low frequency range. JASA 28, 2. 168-178. 
[4] ChatTai S., Padilla F., Berger G., Laugier P., 2000. In vitro measurement of the 
frequency-dependent attenuation in cancellous bone between 0.2 and 2 MHz. 
JASA 108,3, 128[-1289. 
[5] Chaffai S., Roberjot V., Peyrin F., Berger G., Laugier P., 2000. Frequency de- 
pendence of ultrasonic backscattering in cancellous bone: Autocorrelation model 
and experimental results. JASA 108.5,2403-24 I I. 
[6] Cowin S.c.. [999. Bone poroelasticity. Joumal of Biomechanics 32. 558-562.
>>>
20 J. Kubik, M. Pakuła 


[7] Duck F,A., 1990. Elastic moduli ol' bone and teeth. Physical properties of tissue - 
Chapter 5. 
[8] Fonseca RJ.M., 1993. Scanning Acoustic Microscopy- Recent Applications in 
Materials Science, Adv. Mater. 5, 7/8. 
[9] Hokosawa A., Otani T.. Ultrasonic wave propagation in bovine cancellous bone. 
JASA 101. I. 558-562. 
[10] Hokosawa A., Otani T.. 1998. Acoustic anisotropy in bovine cancellous bone. 
JASA ł 03. 5, 2718-2722. 
[II] HofTmaister B.K.. Whitten S.A., Rho Y.. 2000. Low-megahel1z ultrasonic prop- 
erties ol' bovine cancellous bone. Bone 26, 6, 635-642. 
[12] Kaczmarek M., Pakuła M., Kubik J.. 2000. Multiphase nature and structure ol' 
biomaterials studied by ultrasound. Ultrasonic 38, 703-707. 
[13] Katz L.J., Meunier A., ł 970. The elastic anisotropy of bone. Journal ol' Bioll1e- 
chanics 20, 1063-1070. 
[ł4] Katz L.J., Meunier A., 1997. Scanning Acoustic Microscopy ol' Human and Ca- 
nine Cortical Bone Microstructure at High Frequencies. Bone Research in Bio- 
ll1echanics, eds. G. Lowet et al., 123-137, ros Press. 
[15] Laugier P., Droin P., Laval-Jeantet A.IVI., Berger G., 1997. In vitro asseSll1ent ol' 
the relationship between acoustic properties and bone mass density of the calca- 
neus by comparison ol' ultrasound parametric ill1aging and quantitative computed 
tomography. Bone 20, 2, ł 57-165. 
[ł 6] Lang S.B., 1998. Elastic coefficients ol' animai bone. Science 165. 287-288. 
[17] Langton C.M.. Palmer S.B.. Porter R. W.. 1984. The measurement ol' broadband 
ultrasonic attenuation in cancellous bone. Engineering in Medicine 13. 2, 89-9 ł. 
[18] Litniewski J., Nowicki A.. Sawicki A., 2000. Detection ol' bone disease with 
ultrasound - cOll1parison with bone densitometry. Ultrasonics 38.693-697. 
[19] Melish R.W.E.. Garrahan N.L Compson J.E.. 1999. Age-related changes In 
trabecular width and spacing in human iliac crest biopses. Bone and Mineral 6, 
331-338. 


[20] O'Donell M.. Miller J.G.. 198 ł. Quantitative broadband ultrasonic backscatter: 
An approach to nondestructive evaluation in acoustically inholl1ogenous ll1ate- 
rials. J. Appl. Phys. 52. 2,1056-1065. 
[21] Serpe L.L Rho J. Y.. ł 995. Broadband ultrasound attenuation values dependence 
on bone width in vitro. Phys, Med. Biol. -W, 1-6. 
[22] Wear K,A., 1999. Frequency dependence ol' ultrasonic backscatter rrom human 
trabecular bone: Theory and experill1ent. lASA 106.6. 3659-3664. 
[23] Wear K.A.. Garra B.s., 1998. Assessment ol' bone density using ultrasonic back- 
seatter. Lltrasound in Medicine and Biology 2-t 5. 689-695. 
[24] Wear K.A., 2000. Anisotropy l)f ultrasonic backscatter and attenuation from 
human cancellous: [mplications for relative roles ar absorption and scattering in 
Jetennining attenuation. JASA 107.6,3474-4479.
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA KONSTRUKCJI POD WPŁYWEM 
CZASOWO-PRZESTRZENNYCH OBCIĄŻEŃ PRZYPADKOWYCH 


Andrzej Ty!ikowski 


Instytut Podstaw Budowy Maszyn 
Polih:chnika Warszawska 
ul. Narbutta 84, 02-524 Warszawa 


Obciążenia losowe dużych konstrukcji pochodzące zarówno od wiatru, ru- 
chÓw skorupy ziemskiej luh fal morskich charakteryzują się przestrzenną korela- 
cją W pracy przedstawiona jest analiza stateczności dynamicznej typowych kon- 
strukcji jedmJ\\ymiarowych, takich jak maszty. wieże luh mosty wiszące. podda- 
nych ohciążcniu zmicnnemu w czasie i przestrzeni prowadzącemu do drgań pa- 
rametrycznych konstrukcji. Wyprowadzone hezpośredni,! metodą Lapunowa do- 
stateczne warunki stateczności wyrażone są przez podstawowe parametry kon- 
strukcji i ohciążenia. takie jak wspÓlczynnik tłumienia wiskotycznego, wymiary, 
sztywności oraz intensY\\ności i długości korclacji ohciążenia. 


Sło\va kluczowe: statcczność dynamiczna. metoda Lapunowa. drgania parame- 
tryczne. przestrzcnna korelacja 


1. WSTĘP 


Dynall1ika statystyczna w początkowym okresie swojego rozwoju zajll10wała się 
wymuszeniami będącymi jedynie procesami stochastycznymi, Przyjmowano zatem, że 
wymiary elementu poddanego obciążeniu są na tyle ll1ałe, że można zaniedbać prze- 
strzenne zmiany losowe obciążenia. Założenie to jednak jest zbyt upraszczające, gdy 
wymiary konstrukcji są duże i porównywalne z przestrzennym proll1ieniell1 korelacji 
obciążenia. Zjawisko to szczególnie zachodzi przy oddziaływaniu wiatru na konstrukcje 
cienkościenne ll1ostów, Obserwuje się wówczas powstawanie drgań parametrycznych, 
przy czym wpływ korelacji przestrzennej może ll1ieć różnoraki wpływ na utratę stabil- 
ności. Stochastyczny charakter obciążenia wiatrem był uwzględniony przez Lina i Aria- 
ratnama [5]. w analizie pierwszej postaci drgai1 skrętnych. Ibrahim [4] analizował sta- 
teczność momentów statystycznych kąta skręcenia pokładu 1l10stu poddanego obciąże- 
niu wiatrem. Badanie stateczności płaskiej postaci zginania dwuteowych belek podda- 
nych czasowo-przestrzennemu obciążeniu jako stateczności rozwiązań ewolucyjnych 
bylo podjęte w pracy [7]. Rozszerzenia tego podejścia dokonal Pavlović [6]. Celem 
niniejszej pracy jest wprowadzenie konsekwentnego ciągłego modelu do opisu drgań 
mostu poddanego dzialaniu sił aerodynamicznych z uwzględnieniem historii obciążenia. 
Następnie zbadana będzie stateczność dynall1iczna nieodkształconej postaci (rozwiąza- 
nia trywialnego) za pomoca bezpośredniej ll1etody Lapunowa. Zajll1iell1Y się stocha- 
stycznym rozszerzeniem pojęcia stateczności w sensie Lapunowa. to znaczy wyzna- 
czymy warunki zapewniające prawdziwość następującego zdania logicznego:
>>>
24 


Andrzej Tylikowski 


v V .::] II u(.,O)llś r = pLup [Ii u(..t)lli \EJ } i U5 
506'000 ll?O 


( l ) 


Będziemy wówczas ll1ówić o jednostajnej stabilności stochastycznej względem 
miary odległości 11.11, 


2. RÓWNANIA DRGAŃ SKRĘTNYCH MOSTU 


Opisując skręcenie mostu funkcją a(t,x) uwzględniamy zmienne w czasie oddzia- 
ływanie wiatru oraz opóźniony efekt aerodynamiczny Wagnera. Zakładall1Y ponadto 
tłull1ienie wiskotyczne w ośrodku gazowym ze stałYIl1 współczynnikiell1: 


a /I +0*a I + ela nn -eoa n '-aa = 2(aa + ba. I );(t,;d+ 
, , ,---. - 0. 0 , 


I 
+ a f(1 + 2
(t, x ))[C I exp(- YI (t - t ))+ C, exp(- y, (t - T ))]a.T ch 


(2) 


XE(O.r) 


-U) 


gdzie wprowadzono następujące oznaczenia: 


Elw 
el=- 
I 


Elo 
e""'l=- 
- I 


pH"'u'" ec\! 
a=-
 
I ca. 


b = aX u 0* = 0 - h 


(3) 


gdzie: I - masowy 1l10ment bezwładności. £lir - sztywność paczenia, Gl" - sztywność 
skręcania. p - gęstość powietrza, H - szerokość mostu, I - długość mostu. 0 - współ- 
czynnik tarcia wiskotycznego w ruchu obrotowYll1, x - wspólrzędna, u - średnia war- 
tość prędkości wiatru, llĘ(t,X) - czasowo-przestrzenna losowa składowa prędkości wia- 
tru, ej, CJ, ¥j, YJ, ;(" cc,iZca - stałe i funkcje otrzymane na drodze doświadczalnej [3]. 
Jeżeli przyjmiemy, że turbulentna składowa prędkości wiatru jest gaussowskill1 szero- 
ko-pasll1owym procesem równanie (2) można zapisać w postaci równań ewolucyjnych 
Ito (por. Chow [I]) w przestrzen i H i Iberta X z i 10czynell1 skalarnYIl1 C.) nad przestrze- 
nią probabilistyczną (O. 13. P): 
d}! = Y." dt 
d}
 = [- el }!prrn + e2 Y 1rr + u}! - 0' Y 1 + a(Y, + }
 )]dt + 2(u Y r T h Y." )dW 
dY, = (- YrY, + CI Y.,,)dt + lei Y."dW 
dY," = (-Y,Y," +C,Y.")dt+2C,Y.,,dW 


(4) 


gdzie y! = a. Y 2 = al' oraz Y 3 , Y
 są zmiennymi pOll1ocniczymi. Korzystając z zapisu 
wektorowego mamy: 


dY = A Ydl + [BY]dW 


X E (0,1) 


(5) 


Y = col[Y J , y: Y I ' YJ 


(6) 


W jest procesem Wienera o wartościach w przestrzeni Hilberta Z, z operatorem jądro- 
wym Q. A: X:J DrA) ----,X B: X----,.L'(z.x)
>>>
Stateczność dynamiczna konstrukcji ... 


25 


o O O 
()II + ecO/+a -
 
CI . a a 
A= 
O C -'YI O 
I 
O C\ O -Y, 
[,Da O O O 
2b O O 
B= 
O 2C 1 O O 
O 2C 3 O O 


(7) 


(8) 


Operator jądrowy Q wyraża się przez funkcje korelacyjne obciążenia w następują- 
cy sposób: 


E
(t,x) = O 


(9) 


E[Ę(uJi;(.\'.x c )]= K(xl.xc)8(t - s) 


(10) 


gdzie K(XI,Xl) jest przestrzenną funkcją korelacyjną procesu prędkości wiatru. E jest 
wartością oczekiwaną. 8(t - s) jest runkcją b-Diraca, która opisuje czasową korelację, 
a raczej jej brak. Zakładamy, że pokład 1l10stu jest zall1ocowany na obu końcach 
z możliwością paczenia, to znaczy: 


a(t,O)=O 


a(l,r)=o 


a,\(t,O) = O 


a ,Jt, r) = O 


(ł ł) 


Układ równań (4) opisuje drgania parall1etryczne 1l10stu, Układ ten z warunkami 
brzegowYll1i (II) ma rozwiązanie trywialne odpowiadające położeniu równowagi. Celem 
dalszych rozważań jest wyznaczenie warunków stabilności tego położenia równowagi 
przy uwzględnieniu zaburzeń losowych, które w szerokim zakresie częstotliwości mają 
widmo różne od zera, tak aby móc wzbudzić wiele postaci drgań. Ponadto wymiary mostu 
są na tyle duże, że w analizie należy uwzględnić korelację przestrzenną obciążenia, 


3. ANALIZA STATECZNOŚCI DYNAMICZNEJ 


Badanie stateczności dynamicznej rozpoczynamy od doboru odpowiedniego funk- 
cjonału Lapunowa. Jako funkcjonał przyjmujemy modyfikację SUIl1Y energii kinetycz- 
nej. sprężystej układu [81: 
r'=+£[(Yc+
 Y[ 2t +
'c}'/ 4+eIJj
\,+ec}'/+ 


(12) 


" ] 
+ Y,- + Y-I- +yY1Y, +8YI}'
 d, 


Jak larwo zauważyć. pierwsze dwa składniki funkcjonału (12) są zmodytikowaną 
energią kinetyczną. podczas gdy dwa następne są energią sprężystą. Funkcjonał jest 
dodatnio określony. jeżeli stale '( i o są dostatecznie małe. W celu wyznaczenia warunku
>>>
26 


Andrzej Tylikowski 


dodatniej określoności posłużymy się nierównościall1i wariacyjnYll1i zachodzącYll1i na 
zbiorze funkcji spełniających warunki brzegowe (II). 


I 
fYI
udr;::: Al fylcd\' 
o o 


(13) 


I I 
fr/\d\';::: Ac fy , 2 d\' 
o o 


( 14) 


gdzie stałe są równe odpowiednio Al = 11: 4 / (i4, A 2 = 11: c / f iC . Korzystając z nierówności 
(13) i (14) przez sprowadzenie do sumy kwadratów łatwo wykazać. że funkcjonał (12) 
jest dodatnio-określony, jeżeli stałe y i i5 spełniają nierówność: 
y" +i5 c 4(e I A 1 +ecAJ+p'c (15) 


Zatem pierwiastek kwadratowy z funkcjonału (12) przyjmujell1Y jako ll1iarę odle- 
głości w definicj i stabilności (I): 


II y 11= Vi :2 


(16) 


W analizie statecznoścI nie możemy poslużyć się klasycznymi wzorami roZnJcz- 
kowYll1i ze względu na nieróżniczkowalność procesu Wienera. W celu obliczenia róż- 
niczki funkcjonału (12) wzdłuż dowolnego rozwiązania równania ewolucyjnego należy 
posłużyć się lematem \tó w wersji Curtain i Falba [2]: 


dV = (V)', A y) dt + 
 Tr([BY r V}':} [By]Q)dt + (vi, [BY]) dW 


( 17) 


gdzie Tr jest operatorem, V; i V;:y oznaczają odpowiednio pierwszą i drugą pochodną 
funkcjonału w sensie Frecheta oraz Q jest przestrzenną funkcją korełacj i. W równaniu 
(17) pierwszy składnik odpowiada różniczkowaniu w klasycznYIl1 sensie, drugi składnik 
to część śladowa wynikająca z właściwości procesu Wienera, trzeci składnik jest sto- 
chastyczny. Wybierając stałe y i i5 tak, aby wyzerować wspótczynniki przy skladnikach 
Ye'Y' oraz Ye' Y J w części deterministycznej to jest przyjmując: 


y=--2(a+C I ) 0=-2(1[-,--C,) 


( 18) 


Pierwszy "deterministyczny" składnik jest równy: 


/' ) jr * ( " , , ) ." , , 
\V}.AY = .b (-p eIYI
\\-+ec}I
\-Llr;-/2-p Yc--YIY,--Y'Y4-+ 
+ (- a + (CI y + C, o) / 2 )Y[ Y c + (p' LI - 11 I )Y l Y, 2 + (p" (/ - Oj; ki r
 2 ]d\' 


( 19) 


Posługując się nierównościami (13) i (14) otrzYll1ujell1Y dolne dodatnie oszacowa- 
nie funkcjonału (19): 


(V)',AY);::: 1{-P"(elł'l-ec"c -a}r'lc 2-0 
+ (- (/ + (CI 1 -r C,b)/ 2)r;}
 + (0'(/ -tyl )r 1 Y, 


'y,c 


, , 
2-YI Y '- -j; Y 4- + 


(20) 


i,. ) I 
2 -r \0 CI - 81, Y I y" 2 id\'
>>>
Stateczność dynamiczna konstrukcji ... 


27 


Korzystając z rozkładu operatora w bazie przestrzeni X otrzYll1ujell1Y część śladową 
różniczki funkcjonału: 



 Tr([BYT V;
dBY]Q)= 211aYI + hy 2 )2 + C? y} + c} y} ]Q(x,x )cb' (21) 


Wstawiając nierówność (19) i równanie (21) do (\ 7), całkując względell1 czasu od 
t = s do t = T li (t) = min( T", t), gdzie T,) jest losowym czasem wyj ścia real izacj i rozwią- 
zania z obszaru II y i 1:: 8 oraz uśredniając warunkowo względem (j 
 algebry genero- 
wane przez zdarzenia, które zaszły do chwili s, otrzYll1ujell1Y: 
r,i (I) ( 
E V(rAt)):: V(s)
 E f f y* GY cli" dt 
s () 


(22) 


gdzie macierz C; jest określona, jednak ze względu na przestrzenną korelację uwzględ- 
e 
nioną w funkcji korelacyjnej K jest ona funkcja zmiennej x. Jeżeli fY*GY dy jest 
() 
funkcjonałell1 dodatnio określonYIl1, to funkcjonał Lapunowa (ł 2) spełnia oszacowanie: 


E vk).(t)):: V(s) 


(23) 


Zatem funkcjonał (\2) jest nadmartyngałem. Postępując analogicznie jak w dowo- 
dzie nierówności Czebyszewa dowieść można, że rozwiązanie trywialne równania (5) 
jest jednostajnie stochastycznie stabilne względem ll1iary odległości (ł 6). Efektywna 
postać warunków stabilności zależy od właściwości przestrzennej funkcji korelacyjnej. 
Zakładając np.. że funkcja korelacyjna K jest statystycznie jednorodna, to znaczy 
K(xj.x:J= K(xl -X2) w składniku śladowYIl1 występuje K(O). Wówczas warunek sta- 
bilności jest równoważny dodatniej określoności ll1acierzy G o postaci: 


gil gl2 gl3 gl..! 
gl2 0"/, O O 
G= 
..., -- 
gl3 O II O 
gl..! O O ;10 
, ., 


(24) 


gdzie: 


gil =
'(elA.1 +e
/lc -aY2-2u c K(O) 
g22=
' 2 - 2(h 2 + Clc + C
 )K(O) 
gl2 = [- a+ CI (a + C I )+ C 1 (u -;- CJ]/ 2 - 2abK(0) 
gl1 = (
"u - YlI)/ 2 
gl-l = (
'u - '((1)/2 


(25)
>>>
28 


Andrzej Tylikowski 


Macierz G jest dodatnio określona, jeżeli gn  O oraz detGO. Podsumowując 
warunkami stabilności jednostajnej są nierówności (ł 5) oraz warunki Sylvestra dodat- 
niej określoności macierzy G. 


4. STABILNOŚĆ DRGAŃ GIĘTNO-SKRĘTNYCH MOSTU 
WISZĄCEGO SPRZĘŻONYCH AERODYNAMICZNIE 


W celu wyznaczenia ogólniejszego modelu ruchu pokładu mostu wiszącego należy 
uwzględnić sprzężenia. w tYIl1 sprzężenia silnie nieliniowe między przemieszczeniami 
pionowYll1i i skrętnymi [9]. Oddziaływanie wiatru sprowadzone jest do obciążenia mo- 
mentami i siłall1i rozłożonymi po długości mostu. Efekt aerodynamiczny powoduje 
powstanie sprzężenia ll1iędzy przemieszczeniem i skręceniell1. Jest ono tym silniejsze. 
im większa jest prędkość wiatru. Opisując skręcenie mostu runkcją a(t.x), przemiesz- 
czenie pionowe funkcją Tj(t.x) oraz pomijając sprzężenie sprężyste między funkcjami 
równania ruchu ll1ają postać [3]: 


0.,11 +
*a,l +e,a,xx.n -e 2 a,u -aa-.fT1,1 =2(aa+ha,l +.Ii1,1);(t.x)+ 
1 (26) 
+ a f(1 + 2Ę,(T,X ))[C, exp(- y, (t - T ))+ C 3 exp(- Y3 (t - T ))Xa T + df],1 )ch 



,/) 


f],11 + 

 0..1 + e,a.. nxx - e 4 a. n - ala. - b,a.,1 = 2(a, a. + b j a.,1 +.li f],1 );(t. x) + 


f 
+a, f(l + 2Ę,(T,X))[C j exp(- y, (t - T))+ Ci exp(- Y3(t - T))Xa. T +df],1 
h (27) 


-,Y) 


XE(O.l) 


gdzie obowiązują oznaczenia (3). oraz 


Elv 
e.. =---=-- 
., 111 


S 
e 4 =- 
111 



I' = 
2 - li 


(28) 


gdzie: m - masa. El, - sztywność zginania, S - stała sUadowa siły osiowej, 
 / - wspól- 
czynnik tarcia wiskotycznego w ruchu 1l10stu w płaszczyźnie pilHlowej, al, hl. d. f- 
stałe doświadczalne. Wskutek sprzężenia aerodynamicznego otrzymujemy układ rów- 
nań opisujących drgania skrętne i w płaszczyźnie pionowej. Rozwiązania układu 
(26)-(27) spełniają warunek brzegowy ( Ił) oraz warunki zamocowania przegubowego: 


f](t.O) = O 


f](tJ) = O 


f]u(t.O)=O 


f]rx(t, I) = O 


(29) 


Zmieniając zmienne zapisujemy równania dynamiki w postaci równań ewolucyj- 
nych Ito:
>>>
Stateczność dynamiczna konstrukcji ... 


29 


d}! = Y 2 dt 
dY 2 = [- el Y1,.\TU + e2 Y I . u + a Y I -
' Y 2 + fY+ + a(Y, + 0, )]dt + 
+2(aY I +bY 2 +fY4)dW 


dY, = Y 4 dt 
dY 4 = [- e,Y;uxx + e4 Y "u - 
;Y4 + al Y\ + b l Y 2 + al (Y, + Y(J]dt + 
+2(a I Y 1 +b j Y 2 + li Y 4)dW 
dY, = (- YI Y, + C\ Y 2 + C I 1Y4 )dt + 2C I (Y 2 +fY 4 )dW 
dY 6 = (- Y)'6 + C'Y 2 + C,jY 4 )dt+ 2C'(Y 2 +fY 4 )dW 


(30) 


W celu wyznaczenia warunków stabilności jednostajnej wybierall1Y funkcjonał 
Lapunowa w postaci: 


"_ I I
 ( ' Y Ił'v '/ ) 2 1ł '2v21 4 v2 . v2 
I - J l) r 2 + I--' II / - + I--' II / + e l l ł.xx + e2 1 ł.x + 


( ,
 \2 *1 1 . l )1 1 
+ Y4+
IY' 2) +
I-Y,-/4+e
Y'
u+e4Yx+Y'-+Y6-+ 
+ y Y I Y, + 8 Y I Y 6 + E Y, Y 5 + p Y, Y6 ] Gb: 


(31 ) 


gdzie stałe y.8.E,(P powinny być na tyle ll1ałe. aby funkcjonał był dodatnio określony. 
Korzystając z nierówności wariacyjnych (13) i (14) otrzymujemy dolne oszacowanie 
funkcjonału w postaci: 


v::::: 
 IfY*GY dr 
- () 


(32) 


gdzie: 


Y = col[}!, Y 20 Y I ,}/2' Y 5 .Y;,] 


(33 ) 


(; = 


2 + '1/'1 + I.!..)
., I).' 2 O O Y 2 b 2 
I)' 2 O O O () 
I) O 1)1'2 2+e/ 1 +'4/
2 O E 2 (jJ 2 
I) O () l () O 
" ') O E 2 O O 
i - 
6 2 O (P 2 () O 


(34) 


Warunki Sylvestr'a dostarczają ograniczenia stałych {.8.E,(p. Skorzystanie z le- 
matu 'to sluży do wyznaczenia różniczki runkcjonału (31). Postępując analogicznie jak 
w punkcie 3 otrzYll1ujemy warunki wystarczające stabilności rozwiązania trywialnego 
jako warunki dodatniej określoności ll1acierzy R:
>>>
30 


Andrzej Tylikowski 


rll r lc r l3 r j 4 O O 
r lc r 22 f 23 rc4 rJ.5 r 26 
R= Jb f 23 I

:. rq O O 
r l4 rc4 r 34 r 44 r 45 r 4 i 
O fJ.5 O r 45 YI O 
O rci O I
i O 13 


(35) 


gdzie: 
r ll = 
* (e1Ą 1 + e2Ąc - a )12- 2(a c + anK(O) 
r n = 
. 12 - 2(b c + b l c + Clc + C?)K(O) 
r]3 = 
;' (e3 Ą j + e4Ąc)/ 2 
r H = 
;" 12 -2(J-c + .lic +C l c +c
 )K(O) 
r lc = [1+
'(CI IYI +c, /13)12]/2-2(ah+a l h l )K(0) 


ru = -
; aj 12 
r l4 = -al 12 - 
'I[l + a(C I YI + C, 1 yJ]- 2(al + al.li )K(O) 
r n = -
abl + al (CI YI + c] yJ]/4 
rc4 = -(.I + hl)1 2 - 4(bf + hl/i + ClcI + CU)K(O) 
r 25 = -[a + CI (I + 
"a 1 2 11 )]/ 2 
rci =-[a+C](I+
*a 2 1 J]/2 


r34=-
;'ad(CI II+C] yJ/4 
r 45 = -al (I + 

 al 2 11 )/2 
r 46 = -(cd + al (ł + 

 2y, ))/ :: 


Warunki stabilności Sylvestra sprowadzają się do żądania. aby wszystkie główne 
podwyznaczniki macierzy R byiy dodatnie. to znaczy:
>>>
Stateczność dynamiczna konstrukcji ... 


3 ł 


r-1-1 r-1S r-1() 
r-1S ¥I O 0 
r j6 O ¥" 
I
,:, '\+ O O 
1"-1 '"-f-1 r-1S r-16 
O O 0 
r-1S ¥1 
O '"-f() O ¥" 


itd. aż do warunku 


det R  O 


LITERATURA 


[I] Chow P.L.. 1982. Stability ol' nonlinear stochastic-evolution equations. J. Math, 
Anal. 89.400-419. 
[2] Curtain R.F.. Falb P.L.. 1965. Stochastic differential equations in Hilbert space. 
J, Diff Equations 10, 412-430. 
[3] Beliveau J.G.. Vaicatis R.. Shinozuka M.. 1977. Motion of suspension bridge 
subject to wind loads. J. Eng. Mech. Div. ASCE ł03, 1189-1205. 
[4] Ibrahill1 R.A.. 1985. Parametric random vibration. Research Studies Press, 
Letchworth. 
[5] Lin Y.K., Ariaratnall1 ST. 1980. Stability ol' bridge motion in turbulent winds. 
J. Struct. Mech. 8. ł -15. 
[6] Pavlović R.. 2000. Stabilnost kontinualnih sistema pod dejstvom slucajne po- 
bude. Univerzitet u Nisu-Masinski Fakultet. Nis. 
[7] Tylikowski A., 1986. Stochastic stability ol' a thin-walled beall1 subjected to 
a time and space-dependent loading. Zeitschrift fUr Angewandte Mathell1atik und 
Mechanik 66. T97-T98. 
[8] Tylikowski A.. 1991. Stochastyczna stabilność układów ciągłych. PWN War- 
szawa. 


[9] Hyun C.H.. Yun C.B.. 1988. Nonlinear dynamic analysis of suspension bridges 
under random wind loads by stochastic linearization. Probabilistic Engineering 
Mechanics 3. 102-111.
>>>
32 


Andrzej Tylikowski 


DYNAMIC STABILITY OF STRUCTURES SUBJECT TO TIME 
AND SPACE DEPENDENT LOADINGS 


SUll1mary 


Random loadings ol' wind turbulences, sea waves and the earth's crust acting on 
large structures are characterized by the spatial correlation. In the present paper dy- 
nall1ic stability ol' one dimensional structures such as ll1asts, towers. chimneys and sus- 
pension bridges subject to space and time dependent loading is investigated. Via Liapu- 
nov direct method sufficient stability conditions are derived. The stability conditions are 
expressed by geoll1etrical and stiffness data. the viscous damping coefticient as well as 
intensities and correlation lengths of loading. 
Keywords: dynamic stability, Liapunov method, parametric vibrations, spatial correla- 
tion
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54- 2004 


MINIMALIZACJA DRGAŃ 
NAPĘDÓW ELEKTROMECHANICZNYCH 


Arkadiusz Mężyk, Eugeniusz Świtoński 
Katedra Meehaniki Stosowanej 
Politechnika Śląska 
ul. Konarskiego 18a. 44-100 Gliwice 


W prac: omÓwiono sposÓb modelowania elektromechanicznych ukladów 
napędowych masz:n roboczych. Opisywane badania dotyczą układÓw skladają- 
c: ch się z silnika asynchronicznego i przekładni zębatej. Do modelowania prze- 
kładni zastosowano metodę hybrydową sztY\\nych i odkształcalnych elementÓw 
skończonych. Opracowane modele matematyczne wykorzystano do anałizy wraż- 
łi\\()ści i optymaliz.acji ukladu. OmÓwiono zastosowane algorytmy obliczeń oraz 
pr/edstawiono wyniki optymalizacji układu napędowego maszyny roboczej. 


Słowa kluczl1\\e: dynamika układÓw napędowych. analiza wrażliwości, optymali- 
zacja 


l. WPROWADZENIE 


Badania w zakresie wykorzystania metod programowania matematycznego pro- 
wadzone w odniesieniu do zagadnień dynall1iki maszyn zmierzają do poszukiwania 
rozwiązań. które zapewnią stabilną realizację założonego procesu oraz minimalizację 
niekorzystnych oddziaływań na otoczenie. Bezpośrednia. intuicyjna analiza wpływu 
cech konstrukcyjnych na zjawiska dynall1iczne 1l10żliwa jest tylko w naj prostszych 
przypadkach. Dla bardziej złożonych modeli badania takie ll10gą być skutecznie wspo- 
magane przez zastosowanie metod ll1odelowania. analizy wrażliwości i optymalizacji. 
Poczatkowo zastosowania procedur optYll1alizacyjnych dotyczyły głównie zagadnień 
statycznych, takich jak np. minimalizacja kosztów, masy. gabarytów lub maksymali- 
zacja przenoszonej mocy itp. Obecnie coraz częściej analiza wrażliwości i optYll1ali- 
zacja staja się narzędziem rozwiązywania złożonych zagadnień dynamiki układów 
ll1aszynowych oraz wspomagania procesu projektowania [ł]. OptYll1alizacja układów 
dynamicznych wymaga opracowania 1l10dełi tizycznych. umożliwiających matell1aty- 
czny opis badanych zjawisk. Wyznaczane na ich podstawie charakterystyki odpowiedzi 
częstotliwościowych są szeroko stosowane w procesie optymalizacji, kontroli poziomu 
drgati i doskonaleniu modeli MES [4]. 


2. IvlODELOWANIE ZJAWISK DYNAMICZNYCH 


\ikchan iczną część ukladu napędowego najczęściej stanowią przekladnie zębate. 
które modeluje się w postaci dyskretnej lub dyskretno-ciągłej, z uwzględnieniem
>>>
34 


A. Mężyk, E. Świtoński 


nieliniowych charakterystyk sztywności zaz
bień, luzów obwodowych. podatności pod- 
parć, sztywności wałów i korpusów, sil żyroskopowych itp. Model układu mecha- 
nicznego opisuje uklad równań różniczkowych zwyczajnych, który w postaci macie- 
rzowej ma następującą postać: 
l'vlii + (CI' + C
 
j + Kq = Q 


( I ) 


gdzie: 
lvI, c,., C
, K 


q 
Q 


macierze bezwładności, tłull1ienia, efektu żyroskopowego i sztyw- 
ności, 
macierz kolumnowa współrzędnych uogólnionych, 
macierz kolumnowa sił uogólnionych. 


Charakter przebiegów czasowych wielkości dynamicznych zależy również w znacz- 
nym stopniu od charakterystyki i mocy silnika napędowego. Model silnika elektrycznego 
jest opisem zjawisk elektromagnetycznych związanych z powstawaniem i dzialaniell1 pola 
magnetycznego w maszynie. Dynall1iczne równania ruchu modeł u ll1aszyny asynchro- 
nicznej mogą być sfOlmułowane w postaci ll1acierzowej: 


d 
- Li + Ri = U 
dt 
ł./ C . 
II I =-1 -LI 
'e ') i""\P1 


(2) 


gdzie: 
L, R. i, U 
iVlel 
\PJ 


ll1acierze indukcyjności. rezystancji, prądów i napięć zasilających. 
1l10ment silnika. 
kąt obrotu wirnika. 


Jednoczesne rozwiązanie równań ruchu modelu układu mechanicznego (I) i elek- 
trycznego (2) umożliwia badanie zjawisk dynamicznych w układzie elektromecha- 
nicznym. Sprzężenie pomiędzy ukladami realizowane jest przez kąt obrotu wirnika ep I 
wyznaczany z modelu układu mechanicznego oraz mOll1ent elektromagnetyczny :'vlei 
obliczany z modelu silnika elektrycznego. 


2.1. Modelowanie silnika asynchronicznego 


Zjawiska dynamiczne występujące w ll1aszynach asynchronicznych opisywane są 
zazwyczaj układem nie liniowych równań różniczkowych [8]. Nieliniowości te wynikąja 
z charakteru powiązań pomiędzy wielkościami mechanicznYll1i i elektrycznymi. Do 
analizy ll1aszyn indukcyjnych wykorzystuje się zazwyczaj jeden z dwuosiowych układów 
współrzędnych: układ składowych symetrycznych [1.2] lub układ współrzędnych osiowych 
(a, 
). wirujący względem stojana z prędkością kątową (1),. Dla silnika asynchronicznego 
dwukJatkowego zazwyczaj wystarcza przyjęcie modelu z dwoma obwodami zastęp- 
czymi w wirniku (rys. l).
>>>
Minimalizacja drgań napędów elektromechanicznych 


35 


Rys. I. Model obwodO\..y silnika indukcyjnego z dwoma zastępczymi obwodami w wimiku, 
gdzie: i" ipo i, - prądy stojana. klatki pracy, klatki rozruchowej. L".. L, - indukcyjności 
uzwojeń związane ze strumieniami magnetycznymi głównym i rozproszenia stojana. Lw. L" 
Lp - indukc
jności uzwojeń związane ze strumieniami rozproszenia wspólnymi dla obu 
klatek. klatki rozruchowej i klatki pracy sprowadzone na stronę stojana. p - liczba par 
biegunów. R, - rezystancja stojana, R,., Rp - rezystancje klatki rozruchowej i klatki pracy 
sprowadzone na stronę stojana. U. - napięcie zasilające. e." eW. e" e p - napięcia rotacji 
w obwodach stojana i wimika 


2.2. Modelowanie przekładni zębatych 


Badanie skrętnych, poprzecznych i wzdłużnych drgań elementów układu oraz 
sprzężeń występujących pomiędzy poszczególnymi postaciami drgań wymaga opraco- 
wania rozbudowanych, przestrzennych modeli fizycznych. Model przestrzenny jest 
dzielony na podukłady, którymi zazwyczaj są wały z kołami zębatymi. Podukłady od- 
działują na siebie za pomocą sił międzyzębnych lub sił reakcji podpór. Ruch 
pojedynczego wałka opisuje następujące równanie rÓżniczkowe w postaci macierzowej: 


M ij + 'e + e )q ' + K q = Q + F 
w, w, 
 \lWI 8w; w, w, \tl, W , Wy 


(3) 


gdzie: 
AJ,,'I e VM"I K"'I e K.... 


F"'1j 


macierze bezwładności, tłumienia, sztywności i efektu ży- 
roskopowego pojedynczego, i-lego wałka przekładni, 
macierz kolumnowa współrzędnych uogólnionych węzłów, 
macierz kolumnowa zewnętrznych sił uogólnionych przy- 
łożonych do poszczególnych węzłów i-tego wałka, 
macierz kolumnowa sił oddziaływań podukładów pomiędzy 
sobą, w tym przypadku sił międzyzębnych, 
liczba zazębień. 


q..,. 
Qwi 


n 


Do analizy szerokiego spektrum częstości własnych stosowana jest metoda hybry- 
dowa. W takim przypadku wałek dzielony jest na odkształcalne, belkowe elementy 
skończone. natomiast koło zębate. którego sztywność jest o kilka rzędów wyższa od 
sztywności wałka, traktowane jest jako bryła sztywna. 
Siłę nonnalną w zazębieniu wyznacza się z następującej zależności: 
( T -r ) 
F= =k: O, q, -o,ql 


(4) 


gdzie: 
Oj. Oj - macierze kolumnowe geometrycznych parametrów kół zębatych.
>>>
36 


A. Mężyk, E. Świtoński 


a 1) 
, 
I U O ) 
--'-- 


Ij/. / 

 
--...) 


"j" 



 (J),,_ 
---:L , 
'\. ------ 
x 'lj/j{", / 
z 
l1 
,..J 
at.. , 


rll'j 
-'.,!- 


(J). 
'''' 
-L 
t
----- _ 
',/ 


Um 
-.- 


Rys. 2. Jednostopniowa przekładnia walcowa: lI i . v" w,.(j)/.9,. \jI, - przemieszczenia liniowe 
i kątowe względem układu współrzędnych i-tego węzła. lIOi' lIo, - współrzędne bieguna 
zazębienia względem środków masy kół zębatych. w - prędkość kątowa elementu 


Macierze kolumnowe geometrycznych parametrów kół zębatych określa się uwzglę- 
dniając zależności pomiędzy wektorami przemieszczeń punktów styku w biegunie za- 
zębienia oraz wersorem osi prostopadłej do płaszczyzny zazębienia a współrzędnymi 
uogólnionymi węzłów, w których umieszczono koła zębate: 
-cosasinl3 
sina siny + cos a cos 13 cosy 
r, cos a sin 13 sin y + lI()/(sina siny + cosa cos 13 cos y) 
- sin a cos y + cosa cos 13 siny 
r, cos a sin 13 cos y + u()/ (sin a cos y - cos a cos 13 sin y) 
r, cos a cos 13 


8.= 
, 


(5) 


8 = 
} 


- cos a sin 13 
sin a sin y + co.\' a cos 13 cos y 
- r j cos a sin 13 siny + lIO} (sina siny + cosa cosl3cosy) 
- sina cosy + cosa cosl3siny 
- r, cosa sin 13 cos y + li,,} (sina cosy - cosa cos 13 siny ) 
- r; cos a cos 13 


(6)
>>>
Minimalizacja drgań napędów elektromechanicznych 


37 


gdzie: 
a 


Um, Um 


kąt przyporu (dla obrotów zębnika w lewo a = a n , dla obrotów 
w prawo a = 1t-a n ), 
nominalny kąt przy poru, 
kąt pochylenia linii zęba, 
kąt określający konfigurację układu, 
odległości bieguna zazębienia od węzłów modelu określających 
środki ciężkości pierwszego i drugiego koła zębatego, 
promienie koła podziałowego pierwszego i drugiego koła zębatego. 


a n 


13 
y 


r" rJ 


2.2.1. Zmienna sztywność zazębienia 
Jednym z głównych czynn ików mających wpływ na charakter zjawisk dynamicz- 
nych w przekładniach zębatych jest zmienna sztywność zazębienia. Zależy ona od 
sztywności jednej pary zębów zmiennej wzdłuż odcinka przyporu oraz liczby par zębów 
będących aktualnie w zazębieniu. wyrażonej za pomocą liczby przyporu Eoc. Zmiany 
sztywności powodowane są również różną liczbą zębów będących w przyporze. Prze- 
bieg zmian sztywności zazębienia podczas współpracy dwóch kół zębatych o zębach 
prostych przedstawiono na rysunku 3. Wartości całkowitej sztywności zazębienia. wy- 
znaczone dla przypadku zmiennej sztywności zazębienia jednej i dwóch par zębów, 
można z dobrym przybliżeniem aproksymować odcinkami linii prostych. 


k{f) 


k"1 


kI 


- - 
T r"'-'.'''''.-T 
 
i- ii 


o 


Eo.-I 


€o: 


I; 


Rys. 3. Przebieg zmiennej sztywności zazębienia o zębach prostych 


Przy założeniu stałych wartości współczynnika sztywności dla zazębieniajednopa- 
rowego i dwu parowego przebieg zmian sztywności w przybliżeniu opisuje następująca 
funkcja: 


k(
) = { k2 
kI 


o 
 
 
 Ea - 1 
Ea .. 1  
  1 


(7) 


gdzie: 


.. 
'=' 


względna współrzędna wzdłuż odcinka przyporu odniesiona do podziałki 
zazębienia.
>>>
38 


A. Mężyk, E. Świtoński 


Stosunek sztywności zazębienia dwuparowego do jednoparowego jest mniejszy 
od 2 i zazwyczaj wynosi 1,7. Wartość tego stosunku zależy od przełożenia przekładni, 
wartości współczynników przesunięcia zarysu oraz liczby przyporu. 


2.2.2. Luzy 
Zapewnienie odpowiedniego luzu w połączeniach ruchowych jest konieczne dla 
prawidłowej pracy mechanizmu. Najprostszym sposobem symulacji występowania luzu 
w zazębieniu jest opisanie siły dynamicznej w zazębieniu następującą funkcją: 



 (&J - 0,5/) t:.q 0,5/ 
F(k, t:.q)= k(q O - 0,5/ 5. &J 5. 0.5/ 
(t:.q+0,5/) t:.q -0,5/ 


(8) 


gdzie: 
F - siła w parze kinematycznej, 
!1q - różnica współrzędnych uogólnionych, 
k(q) - współczynnik sztywności, 
/ - zadana wartość luzu. 


F, 


Zazębienie dwuparowe 



 / .' 
J\:"hknk
 


.. 1 
J'-
.:... 



I 


.0 


li 


Rys. 4. Wyniki symulacji luzu i zmiennej sztywności zazębienia przekladni 


3. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI I OPTYMALIZACJA 


3.1. Badanie wrażliwości częstości własnych 


Zadanie sprowadza się do wyznaczenia pochodnych wartości własnych względem 
parametrów konstrukcyjnych. które występują w postaci jawnej lub uwikłanej w 
macierzach sztywności i bezwładności. Dla układu, w którym nie występuje tłumienie 
oraz brak wielokrotnych wartości własnych. pochodną wybranej częstości własnej 
można wyznaczyć zatem z następującej zależności:
>>>
Minimalizacja drgań napędów elektromechanicznych 


39 


r . ' .. A, = xr [ CK . ' _ A . DAJ . J x 

 h '
 h J 
 b ' 
c I C' JeJ 


(9) 


gdzie: 
A, .
 wartość wlasna i, 
X, - unorll1owany wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej. 


3.2. Badanie wrażliwości funkcji zmiennych w czasie 


Analiza wrażliwości przebiegów czasowych jest procesell1 złożonYIl1. gdyż wymaga 
rozwiązania modelu ll1atematycznego układu. Model taki. opisany we współrzędnych 
stanu. jest dodatkowo funkcją wybranych zmiennych decyzyjnych. Równania ruchu układu 
można zapisać następująco: 


.i:=f(x.h) 
x(to) = h(b) 


(10) 
(11 ) 


gdzie: 


x(t) = Lel (t).... ,X/ll (t)Y - macierz kolumnowa zmiennych stanu, 
h = [hl,.... hll]' - ll1acierz kolumnowa zmiennych decyzyjnych, 
tli - czas początkowy. 


Czas t,. określający moment wystąpienia badanego stanu układu, może być również 
zmienna decyzyjną. W ogólnym przypadku opisany jest wtedy następującą funkcją: 


F(tk .x(t, ),b).
 () 


( 12) 


Wybrana funkcja celu może zawierać człon calkowy dotyczący opisu w pewnym 
przedziale czasu oraz człon opisujący stan układu w określonej chwili czasu t,: 


f 
 
11-'= g(tk,X(tk),h), fT(t,x.b)dt 


( 13) 


(" 


Różniczkując runkcjonal (13) względem h, po przekształceniach uzyskuje SIę wy- 
rażenie: 


I 
 
 j 
 F 
('g c'g " . CJ 

 - -. f (t, ) - 

' -.. -.., -,' "- -, I'....... ...... -, 
dw_ ,I ( . ( ' )h) IX(tk) Ig LI tk LX ch . f " ( cT ex . eT ) i 
--0 tk"\ t" -
-- . ..,. ---- Gl 
db I
h I'h FI tk ) \ IC.e I'b ch 
(" 


(14 ) 


,: ( . ( ) ! ) _ [ ('g (li.) Y 
o tk"\ t, .) - 
J 


I i"'g 
I
 
L (
lk 



 J [ 
 F I 
('g' C 
T 
f(lk) -'- T(tJ 
 
(X IX 
t(lk ) 


(ł 5)
>>>
40 


A. Mężyk. E. Świtoński 


Pochodne cząstkowe. które występują w wyrażeniach (14) i (ł 5), mogą być określone 
analitycznie, z wyjątkiem członu ex(tk)/ch, gdyż x(t) wyznacza się poprzez numeryczne 
całkowanie równań ruchu. Określenie brakującego wyrażenia wymaga rozwiązania do- 
datkowych układów równań różniczkowych, których liczba zależy od wybranej metody, 
rozmiarów zadania i liczby zmiennych decyzyjnych. Do stonnułowania tych równań 
stosowana jest m.in. metoda bezpośredniego różniczkowania. W metodzie bezpośredniego 
różniczkowania fonnułuje się dodatkowe zadanie początkowe. uzyskane przez zróżnicz- 
kowanie równań modelu (ł O) i (II) względell1 h, 
e.Y _ Ol ex ej 
---.-+- 
eb ex cb ch 


(ł 6) 


i5:x(to) = ch 
cb E'h 


Rozwiązanie zadania początkowego (16) określa wartości pochodnych (
'((t)/cb. 
brakujących w równaniach (14) i (15), Zaletą metody bezpośredniego różniczkowania 
jest stosunkowo prosty algorytll1 oraz możliwość obłiczania pochodnej i':x(t)k'h jed- 
nocześnie z x(t), Wadą jest konieczność rozwiązania dużej liczby dodatkowych równań 
różniczkowych, 


4. DOBÓR CECH KONSTRUKCYJNYCH ELEMENTÓW UKŁADU 
NAPĘDOWEGO 


Rozpatrywany układ napędzany jest asynchronicznym, jednoklatkowym silnikiell1 
elektrycznym. który zall1odelowano za pomocą ll10delu obwodowego z jednym obwo- 
dell1 zastępczYIl1 w wirniku. Rozwiązanie modelu silnika elektrycznego połączonego 
z modelem układu mechanicznego umożliwia określenie charakterystyki dynamicznej 1110- 
mentu napędowego. 
Przestrzenny model dynamiczny części mechanicznej napędu ma 119 stopni swo- 
body. Zarówno jego strukturę, jak i parametry określa się na podstawie dokumentacj i 
konstrukcyjnej prototypu układu napędowego. Wyboru liczby stopni swobody oraz po- 
działu na elell1enty skończone dokonuje się analizując postać konstrukcyjną i dominu- 
jące postaci drgań (rys. 5,6).
>>>
Minimalizacja drgan napędów elektromechanicznych 


41 


ORGAN URABIAJĄCY 


K14 
/ 


Rys. 5. Schemat kinematyczny ukladu napędowego 


M, 
....-----.. 
'- ) 


s" 


-- , 
--./ 
M., 


Rys. 6. Model drgań giętno-skrętnych ukladu napędowego 


Na rysunku 6 zastosowano następujące oznaczenia: 1..31 - numery węzłów po- 
działu na elementy skonczone, E I -E4 - elementy sprężysto-tłumiące. modelujące frag- 
menty wałów, S l-S 19 - sztywne elementy skończone.
>>>
42 


A. Mężyk, E. Świtoński 


4.1. Badanie wpływu parametrów silnika na zjawiska dynamiczne 
w parach kinematycznych 


Ze względu na sprzężenia elektromechaniczne w układzie napędowym, parametry 
części mechanicznej mają wpływ na wielkości dynamiczne w części elektrycznej i od- 
wrotnie. Zbadanie tego wpływu jest możliwe za pomocą analizy wrażliwości z wyko- 
rzystaniem modelu dynamicznego badanego układu. Badając wrażliwość układu okreś- 
lono wpływ najważniejszych parametrów silnika indukcyjnego, takich jak: indukcyj- 
ność główna, indukcyjności rozproszenia, rezystancja fazy stojana oraz rezystancja 
klatki wirnika, na wartości oddziaływań dynamicznych (rys. 7) w poszczególnych pa- 
rach kinematycznych układu mechanicznego. Spośród parametrów modelu części 
mechanicznej do optymalizacji wybrano sztywność wałka bezpieczeństwa umieszczo- 
nego w silniku napędowym pomiędzy węzłami 2 oraz 4 (rys. 6). Duża wrażliwość mak- 
symalnych wartości sił w części mechanicznej na parametry elektromagnetyczne wska- 
zuje, że pominięcie zjawisk dynamicznych w silniku napędowym może prowadzić do 
znacznych błędów w otrzymanych wynikach symulacji komputerowych, szczególnie 
w stanach nieustalonych. Jednoczesne zastosowanie parametrów mechanicznych 
i elektrycznych zapewnia uzyskanie najmniejszych wartości maksymalnych oddzia- 
ływań dynamicznych w parach kinematycznych układu, co przedstawiono na rysunku 8. 


5.00E-3 }" 
",..ł . . 

 [ mm .. 
4.00E-3,:/1 '.. ........ .' 
3,OOE-03 
. 1 :::.: on": :.:::" . 



S: 
" 


" 
" 


2,OOE-03 


. -
 

 


.
 
i" 1,OOE-03 

 



 
E" 


""1 


- .. . 
1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 11 12 "3 14 15 16 .' '. f\'
" .. m. . . '.,.. . '. 
17 18 19 20 21 22 23 204 
Numer paramelrll 25 26 27 28 29 30 31 32 
33 34 35 36 


Illpik 1 .plk 2 Oplk 3 


Rys. 7. Względne przyrosty wartości maksymalnych funkcji celu opisujących moment na wale 
wyjściowym podczas rozruchu układu. spowodowane przyrostem wartości parametrów 
modelu części elektrycznej (1+5) i mechanicznej (6+36). gdzie: l-L"" 2-L,. 3-Lr. 4-R" 
5-Rr. 6+21 - masowe momenty bezwładności i masy. 12+36 - wybrane współczynniki 
sztywności wałków. zazębień i łożysk
>>>
Minimalizacja drgań napędów elektromechanicznych 


43 


'000 


4000 


.... 

 

 

 
.. 
IE 

 
 


o 


.. , / . I , "' 
, : 
- 1\. . 
, 
 
,1 I I 
11"\ I I 
- - 

 

v 
,. \ 
- 
'-a' 


"i" 
. 


JOOO 


zooo 


1- 


.1000 


.ZOOQ 


.- 


.- 
O 


, 
.0' 


Ol 


, 
o." o Z 
('=lO [oj 


_-b)_ 
-=r--u- 
O.H OJ 


- 


Rys. 8. Przebiegi momentu skręcającego \\ałek wejściowy dla ukladu: a) przed optymalizacją. 
b) po optymalizacji wybranych parametrów silnika napędowego, e) po optymalizacji 
silnika oraz S7t) wności walka 


4.2. Badanie \Hażłiwości wartości własnych układu napędowego 


Podczas optymalizacji charakterystyk dynamicznych. opisanych zarówno w dzie- 
dzinie czasu. jak i częstotliwości, nale!)' uwzględnić równie:2: zmiany wartości własnych 
i wektorów własnych. wynikające ze zmian wartości parametrów modelu. Zbiór zmien- 
nych decyzyjnych do optymalizacji powinno się określać uwzględniając wyniki analizy 
wra2:liwości wartości własnych. W opisywanym przypadku analizowano trzy najni:2:sze, 
niezerowe wartości własne. Analizę wra:2:liwości przeprowadzono metodą sprzę:2:oną. 
która mo:2:e być stosowana równie:2: do układów z wielokrotnymi wartościami własnymi. 
Wyniki obliczeń wskazują, :2:e współczynnik sztywności wałka bezpieczeństwa (para- 
metr nr 2 na rysunku Q) ma niewielki wpływ na podstawową niezerową częstość własną 
i stosunkowo dury wpływ na drugą częstość. Można zatem załoryć. :2:e zmiany wartości 
parametru w procesie optymalizacji nie powinny powodować znacznych zmian pod- 
stawowej częstości własnej układu.
>>>
44 


A. Mężyk, E. Świtoński 


';» 7.00E-
 
!::: 

 


6,OOE-05 


5,OOE-05 


.
 
.'" 
c 
-.:: 
(J 

 
;:; 
o 
.... 

 
.... 

 


liiJomega l 


II omega 2 


12 13 


1.. 15 


omeg. 3 
no ;; 0I1'1IIg.1 
16 


D omega 3 


Nr parametru 


Rys. 9. Przyrosty wartości własnych ze względu na przyrost poszczególnych współczynników 
sztywności skrętnej 


4.3. Minimalizacja amplitud sił dynamicznych 


Ze względu na ograniczenia techniczne przy wprowadzaniu zmian parametrów sil- 
nika napędowego, optymalizację ograniczono do doboru sztywności skrętnej wałka bez- 
pieczeństwa, zainstalowanego w silniku napędowym. 


ljI 


2.+07 


15e+o7 


1.+07 


...00 


001 


0.02 


0.03 0004 o.o!S 
C:as [sJ 


006 


0.07 


0.08 


Rys. 10. Funkcja celu \jI(t) = A"1 2 5 (t ) 


Przyjęto funkcję celu opisującą wartości maksymalne siły w wybranej parze kine- 
matycznej układu (rys. 10). Do określenia funkcji celu wybrano moment dynamiczny na 
wale głównym maszyny. Określono optymalną wartość współczynnika sztywności, 
którą wprowadzono do modelu dynamicznego i przeprowadzono symulacje nume- 
ryczne zjawisk dynamicznych. Porównano oddziaływania dynamiczne w ukladzie przed 
optymalizacją i po optymalizacji, a wyniki symulacji numerycznych dla wybranej pary 
kinematycznej przedstawiono na rysunku 11.
>>>
Minimalizacja drgań napędów elektromechanicznych 


45 


... 
x10 
2 


,-a) II 
-b) I J 
I 


1.5- 


. 
 


\ . 



, q q . 
 ;1... .'. I I f '1 
, ," '\ . n. J 
, .' ,i 


1 - 


E 


" 
'c 0.5- 
" 
N 
U 
N 

 O 
';: 
;:; 

 
c.. -0.5- 


-1- 


I (
 r i 


, \ 


'j I j :1 ':
 :! .-: r f ]' 
 


-1.5- 


0.3 0.4 0.5 
Czas [s] 
Rys. II. Przemieszczenie środka jednego z łożysk wału w kierunku osi x: a) przed optymali- 
zacją. b) po optymalizacji 


-2 
O 


0.1 


0.2 


0.6 


0.7 


0.8 


Wykazano, że właściwy dobór sztywności omawianego wałka powoduje zmniej- 
szenie zarówno momentów skręcających w parach kinematycznych układu, jak również 
oddziaływań w punktach podparcia wałów. Zostało to potwierdzone podczas badań 
doświadczalnych, polegających na pomiarze przyspieszeń drgań na korpusie przekładni 
(rys. 11). 


0. 6 


0.4, 


-a) 
...:=....hl_ 


- 
r, 
'" 


0.2
 
I 
, 


, 
 
;1;\, I" 
r " h 

, tfłt.....,..#,./:ł
 
r
' 


..:::. 
.
 O 
'" 
.. 
,
 ..0.2- 

 
!i' ..0.4- 
::t 


..o.1ł 


..o.a- 


-1 ' 
O 


0.5 


1.5 2 2.5 
C=as [s J 


3 


3.5 


4 


Rys. 12. Przebiegi przyspieszeń drgań zarejestrowane na korpusie masz)ny podczas rozruchu 
ukladu z wałkiem: a) przed opt) maliz8.cją- b) po opt) malizacji
>>>
46 


A. Mężyk, E, Świtoń ski 


Weryfikacja założeń przyjętych w procesie 1l10delowania, zastosowanych algoryt- 
mów obliczeń i otrzymanych wyników symulacji numerycznych została przeprowa- 
dzona na drodze doświadczalnej podczas pomiarów na prototypie maszyny. Przyśpie- 
szenia drgań rejestrowano za pomocą dziesięciu czujników rozmieszczonych na korpu- 
sie ll1aszyny. Analizując wyniki przeprowadzonych badań doświadczalnych stwier- 
dzono, że zastosowanie w ukladzie napędowym wałka bezpieczeństwa o współczynniku 
sztywności określonym w procesie optymalizacji powoduje zmniejszenie wartości 
chwilowych przyśpieszeń drgań we wszystkich punktach pomiarowych. 


5. PODSUMOWANIE 


Badania symulacyjne i optymalizacyjne, przeprowadzane na ll10delach matema- 
tycznych. dostarczają wielu cennych informacji na temat cech dynamicznych układów 
elektromechanicznych oraz sposobów ich kształtowania. Prezentowane algorytmy mogą 
być stosowane do określania cech konstrukcyjnych szerokiej klasy elektromecha- 
nicznych układów napędowych z silnikami indukcyjnYll1i. Dalszego uściślenia wyma- 
gają stosowane 1l10dele matematyczne złożonych układów elektromechanicznych. Efek- 
tywność procesu optymalizacji 1l10żna natomiast zwiększyć przez odpowiedni dobór 
funkcji celu oraz udoskonalanie algorytmów optymalizacji. Poza klasycznymi metoda- 
mi programowania matematycznego szerokie ll1ożliwości zastosowań otwierają się 
przed algorytmami genetycznymi i ewolucyjnymi. Szybki rozwój techniki kompute- 
rowej zarówno sprzętu, jak i oprogramowania umożliwia znaczne skrócenie czasu ob- 
liczeń numerycznych, zmniejszając tym samym znaczenie tego czynnika w procesie do- 
boru ll1etody rozwiązania zadania. 


LITERA TURA 


[l] Berczyński S.. Marchelek K., 1987. Naukowe podstawy kształtowania właści- 
wości dynamicznych obrabiarek. Szczeciriskie Roczniki Naukowe, t. II. z. L 
Szczecin. 
[2] Haug JE, Arara J.S., ł 979. App!ied optimal design. l'vIechanical and Structural 
Systell1s. John Wiley & Sons. New York. 
[3] Kruszewski J., Sawiak S., Wittbrodt E., ł 999. Metoda sztywnych elementów 
skończonych w dynamice konstrukcji. WNT Warszawa. 
[-f] Marchelek K., 1991. Dynamika obrabiarek. WNT Warszawa. 
[5] Mężyk A.. Świtoński E.. 2000. Optimizing dynamic characteristics ol' machinery. 
Proceedings ol' European Congress on COll1putational Methods in Applied 
Sciences and Engineering. September 2000, Barcelona, Spain. 
[6] Mężyk A., 2002. Influence ol' parameters ol' driving asynchronous motor on 
dynall1ic forces in a gear train. Engineering Mechanics 9. 3 Czech Republic. 
[7] Mężyk A., 1994. Minimization of transient rorces in an electromechanical system. 
Structura] Optimization 8, Springer Verlag. 
[8] Vas P.. 1992. Electrical machines and drives. A space theory approach. Oxford 
University Press.
>>>
Minimalizacja drgań napędów ełektromechanicznych 


47 


[9] Zell1an V.. Kovar L.. 1999. ModelIing ol' Dynamie Properties of Shaft and Ro- 
tating Systems. Engineering Mechanics I, Issue 6 (in Czech). 


MINIMIZATION OF VlBRA TIONS OF ELECTROMECHANICAL 
DRIVE SYSTEMS 


Summary 


The paper deals with modeliing ol' electromechanical drive systems of working 
ll1achines. The presented investigations concern systems consisting of asynchronous 
1l10tor and gear train. The mechanical system was modeled by using finite element 
ll1ethod and tlnite segment method. Elaborated mathell1atical models were applied for 
sensitivity analysis and optill1ization ol' a systell1. Applied algorithll1s and results of 
optimization of working ll1achine were discussed. 
Keywords: dynamics ol' electroll1echanical drive systems. sensitivity analysis, optimi- 
zation
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


TŁUMIENIE DRGAŃ PL YT I MEMBRAN 
W UJĘCIU PROBABILISTYCZNYM 


JózefNizioł 


Kat
dra Dynamiki Ukladów Materialnych. Instytut Mechaniki Stosowanej 
WydziaI M
chaniczny, Politechnika Krakowska 
/\1. Jana Pawia II 37.3 I -864 Kraków 


W pracy przeanalizowano drgania ukladu dwóch cienkich płyt i dwÓch 
membran polączonych elementem Icpkosprężystym. Na jeden z elementów dwu- 
wymiarowych dziala obciążcni
 będące procesem stochastycznym o zadanej 
funkcji korelacji. Drugi element stanowi dynamiczny eliminator drgań. Podano 
ogólną metodę wyznaczania funkcji korelacji elementu ..chronionego" oraz opty- 
malnego doboru wartości wspÓlczynników sprężystości w celu minimalizacji 
średniej wartości amplitudy drgań płyty lub membrany. 
Slowa kluczowe: tłumienie drgań, płyty, membrany. procesy stochastyczne 


1. WSTĘP 


Problemy doboru optymalnych dynamicznych elill1inatorów drgań w układach 
dyskretnych. zarówno w ujęciu liniowym jak i nieliniowym, zostały dobrze rozpraco- 
wane. O wiele trudniejszy problell1 stanowi tłumienie drgań układów ciągłych. zwłasz- 
cza gdy mall1Y do czynienia z wYll1uszeniami losowymi, Takim przykładem może być 
tłull1ienie eolskich drgań linij elektroenergetycznych. Pomimo losowego charakteru 
wymuszeń drgania sall10wzbudne przewodów są tego typu. że duże ich amplitudy po- 
jawiają się dla wąskich, rozdzielonych między sobą przedziałów częstotliwości j wów- 
czas można dobrać odpowiednie tłumiki typu Stockbridge'a nastrojone na cztery czę- 
stości rezonansowe. skutecznie zabezpieczające przewody przed zniszczeniell1 Zll1ęcze- 
niowym na liniach 220 kV [2]. 
W przypadku drgań wiązek wieloprzewodowych wywołanych opływem wiatru 
można poprzez odpowiedni dobór odstępników w grupie oraz rozmieszczenie grup 
odstępników wzdłuż przęsła zdecydowanie obniżyć drgania poszczególnych przewo- 
dów [6]. Rozwiązanie znalazło potwierdzenie w praktyce na czteroprzewodowych li- 
niach 750 kV. 
Do interesujących należy monografia [4], w której wykazano możliwość tłumienia 
dynall1icznego jednego układu ciągłego za pOll1ocą innego. połączonego z nim układell1 
sprężystYIl1. Zagadnienie rozwiązano dla przypadku, gdy na pierwszy układ (membrana. 
płyta) działa równomiernie roztożone obciążenie harmoniczne. 
W przedstawionej pracy przeanalizowano drgania dwóch płyt i ll1ell1bran połączo- 
nych między sobą elementem lepkosprężystym. Górna płyta (membrana) poddana jest 
obciążeniom 10sowYll1 (szum biały lub kolorowy). Dolna stanowi dynamiczny elill1ina- 
tor drgań układu podstawowego. Sterując sztywnością walcową płyty, siłą naciągu
>>>
50 


JózefNizioł 


membrany dolnej, czy sztywnością elementu lepkosprężystego łączącego wspomniane 
układy, można dostroić eliminator tak, by wytłumiał on drgania układu podstawowego 
w szerokim zakresie częstotliwości. Dobór eliminatora dynamicznego prowadzi się 
poprzez minimalizację dyspersji amplitudy drgań układu podstawowego. W artykule 
przeanalizowano drgania układu dwóch cienkich płyt prostokątnych swobodnie pod- 
partych oraz membran kołowosymetrycznych. 


2. DRGANIA WYMUSZONE UKŁADU DWÓCH CIENKICH PŁYT 
PROSTOKĄTNYCH POŁĄCZONYCH ELEMENTEM 
LEPKOSPRĘŻYSTYM 


Rozważmy układ dwóch prostokątnych płyt swobodnie podpartych na brzegu 
(rys. l). 


o 


b 


a 
x/ 

 


" ., ". .. ... -. "' ., 
l \ .:" \ / \ / \ :'" \ /1\ / \ / \ .: ; 
.
 X X X f X:Y X X 
 
.. .. . .. . .... 
. . . 


y 
 


w 
.,. 


Rys. I. Układ dwóch płyt prostokątnych 


Płyty O bokach a i b podparte są na brzegach: Pi' d i (i = 1,2 ) oznaczają odpowied- 
nio gęstości i grubości płyt. Płyty połączone są elementem lepkosprężystym 
o współczynniku sprężystości k i tłumieniu c. Na górną płytę działa obciążenie f(x,y,t) . 
Przemieszczenia poprzeczne płyt oznaczamy Wj(x,y,t). Ci = 1,2). Analizujemy małe 
drgania. Równania ruchu układu przedstawionego na rysunku l przyjmują postać: 


m1 w 1 +C(W1-W2)+D1
2wI +k(wi-w2)=f(x,y,t) 
m2w2 +c(w2 -w)+ D2
2w2 +k(w2 -w1) =0 


(I) 


gdzie: 


_ d . _ Bw,(x,y,t) .. _ a 2 Wj(x,y,t) 
m, - p, I' w, - 
 , wi - 2 
ot at 

2 _ a4Wi 'J a4Wi a4Wi D _ E,d,J 
W - fu 4 + - ax2 ay2 + Oy 
 . ,- 12(1- V i l )' 
E i - moduł Y ounga. 
vi - współczynnik Poissona. 


(i = 1,2)
>>>
Tłumienie drgań płyt i mell1bran ... 


51 


Rozwiązań układu (ł. I) poszukujell1Y w postaci: 


Y) 
w,(x,y,t) = I W ll1l1 (x, y)0ml1 (t), (i = 1,2) 
111,11=1 


(2) 


W naszYIl1 przypadku funkcje własne są równe: 
) . TmX . mnv 
rV IllI1 (x.y =SIn-sm
 
a h 
zaś współrzędne uogólnione 011111 należy wyznaczyć, 
Po wstawieniu przewidywanych rozwiązań (2) do układu równań (ł), przemnoże- 
niu tak otrzymanych wyrażeń przez funkcje własne, wykonaniu całkowania po obszarze 
prostokąta i wykorzystaniu warunków ortogonalności funkcji własnych otrzymamy 
rozdzielone parami ciągi ukladów równań różniczkowych zwyczajnych na nieznane 
funkcje 011111 (t) . Przyjll1ują one postać: 


(3) 


.. ...., . 
1111111 + 20J,I1II1ŚI1I11111ml1 +OJ
I1I1TII1II1 -b]T211111 -h,T2ml1 = F ml1 (t) 


(4) 


.. ., . 
T 211111 + 2{U211111 Ś 211111 T 2ml1 + (U2mn T 2mn - b 2 11mn - h 2 11mn = O 


gdzie: 


4 a b . . TmX mnv 
F II1I1 (t) = - f f.f (x,y.t )sin-sin--"-d'Cdy 
m,ab 00 a b 


(5) 


Dla przypadku gdy f(x,y.t) = FoF(t)' czyli gdy obciążenie jest rozłożone rów- 
nOll1iernie po górnej płycie, ll1amy: 


16 FI) F (t ) gd: 11 = 1.3,5. 
m. 
. 
F 11111(1) = 111 lit "m/1 
() gdy m. /1 = 2.4.6. 


(6) 


[ -I J J -I J 
2 Dl -I n . .., m"/1" m k 
W IIIIII = - IT ---:j + _ ----:;-:) + -:) +- 
mi a a- h- b mi 
( -I .. -I J 
2 _ D 2 -I n .., m" n- m k 
ro 211111 - - IT ---:j + - ------'- . ) + -:) +- 
me 
 (/ a" h- b m 2 


(7) 


.., r -h
 
-(J)11111}!
1/111l1 - I 
mi- 


C 
2w
!11l1/ś2.IJ//J/ = h]. =- 
m. 


k k 
hl = - h. =- 
1/1 1 m. 
Równania (4) przyjll1ują postać: 


c. . c. k 
7111111 + -7111111 + W [11111 7111111 - - Tel/III - - T 211111 = F,IIII( t) 
111 1 111 1 mi 
.. c. . c. k 
Tel/III + - T 2 1/1I1 + lJ)
IIIIITelllll --7111111 --711/111 = O 
m. m. m, 
" "- 


(8)
>>>
52 


JózefNizioł 


Równanie charakterystyczne dla układu jednorodnego ( FIIII1 (t) = O) ma postać: 


4 ( C c J 3 (2 2 \ 2 ( C 2 C 2 ') ck J 
r - -+- r + \CD I 111111 + CD 2111111 r + -+CD 2111111 +-ro lllllll -_- r+ 
mi m2 /11 1 /112 /11 [ m 2 


? 1 
+ O) Imm ill 2 mili - 


k 2 


(9) 


-o 


łllIn l /11m2 


Dla przypadku gdy Dl = D2' /111 = /112 = /110, a = b pierwiastki te są równe: 


1C ( n- + m- J 
r 1111n = - /11
 l ) a 2 1 , r 2111n = -r llllll 


( 10) 


[ C ( 2k 1 c(n-+/11- J c- J] 
r 3111n = - mo + - /11 0 + m
 l 1 a 2 1 + /11
 ' r4111// = -I\//n 


(II) 


Na podstawie znajoll1ości tych pierwiastków można znaleźć ciągi calek szczegól- 
nych liniowo niezależnych. Na tej podstawie. stosując ll1etodę wariacj i stałych. ll10żna 
wyznaczyć całki układu niejednorodnego (8), Przyjmują one postać: 


4 I 
71111/1 (t) = I f Z klll// (T )exp(rkllJ// (t -, )}iT 
k
1 o 


( 12) 


4 I 
T 2111 //(t) = I faklll//Zkll,n(,)exp(rkll//I(t -,)}iT 
k
1 o 


Szczegółowe wyrażenia na funkcje Zklll//(T) oraz współczynniki form aklllll można 
znaleźć w [5]. Rozwiązanie układu (I) można więc zapisać w postaci: 
.. _ ł6F() '" ł.. lmx . mny 
wl(x,y,t)-
 
 -sm-sm-7iIllI1(t) 
m i /[- _ I 1 " mn a h 
/ll- .-,__, 
11=1.3.5 


(13 ) 


. _ l6F(J "" I . ml.'( . mny 
w2(x,y.t)-
 l -sm-sm-T 211111 (t) 
mi/[- 111=1.3.5 mn a h 
11=1.3.5 


( 14) 


Z wyrażeń (12), (ł3) i (14) widać, że jedynie funkcje T,III//(t). (i=I.2) opisują 
proces stochastyczny. W funkcjach tych pod odpowiednimi wyrażeniall1i całkowymi, co 
wynika ze wzorów (5), (6), (8) i (12), występują procesy stochastyczne F;////(t). o któ- 
rych założyliśmy, że znane są ich funkcje korelacji. 
Naszym zadaniell1 jest dobór parametrów ..k"' i "c" lub tylko ..k"' (przy zalożonym 
.,c") tak, by zminimalizować Waltość średniego kwadratu przemieszczeń górnej płyty 
()
, (I). Funkcja autokorelacji K"I'I'2 (x. y: tl' t2) wyraża się następująco:
>>>
Tłumienie drgań płyt i mell1bran ..o 


53 


K"'I "2 (x,y;tl h) =  WI (x,y;tl )w2 (x,y;t2)  


( 15) 


gdzie symbol .  oznacza średnią po zbiorze realizacji procesu, Wykorzystując (13) 
mamy: 
K . 'o ) _ ?56F;} " " l o rrnx . rrmy o rrrx o rrsy 
\l"I\I",(o\.}..lI.t 2 

 L L -SIn-sm-sm-sm-' 
mi rr 1II
I..U r
I,3,5 mnrs a b a h (16) 
11=1,':;,5, s=I,3.5 


o  
'I/I1(tI)' 
n(t2)  


Pozostaje więc problem wyznaczenia funkcji korelacji 7imn(tl).7irs(t2»' 
W wyrażeniach na 7imn(t) w funkcjach ZkIllJr) (wzór (LI?)) występują iloczyny 
funkcj i F(t) i runkcj i deterministycznych. Zapiszmy je w postaci: 


ZklllJr) = F( L)H klll Cr) 


( 17) 


Oznaczll1Y przez P(::I' ::2;tl.l2) dwuwYll1iarową gęstość rozkładu procesu F(T) o 
Wówczas ll1amy: 


+,r+,r [ .j II .j 12 . 
T lllln (tI)'[lrs(t2»C= f f I fffkllln(Z'I)dTII . fHlrs(T2)dT2 p(::I'::2Jj,T2)d::jd::2 
-'lJ-W k
1 () I
I IJ 
( 18) 


Zmieniając kolejność całkowania otrzymamy ostatecznie: 


.j II .j 12 
 711111/(tI).Tlrs(t2)  = L f H kll1n(Z'j)dZ'IL fHlrs(r2)KFF(Tj,T2)dT2 (19) 
k
jO I
j O 


gdzie: Kil (LI' L 2) jest znaną funkcją autokorelacj i funkcj i F(t). 
Ostatecznie funkcja autokorelacji wyrażenia Wj (x,y:tl,12) przyjmie postać: 


. ?56Fo:' " " I . Jrnx . rrmv o rrrx . rrsv 
!."III,(X,V:tl.t2)=
 L L -----:-SIn-SIn--'-SIn-SIn---'--. 
mirr 1II
l.-'.5r
U,5I11nrs a h a b 
1/
l.-'.5. \
U.' (20) 
.j 'I .j I, 
o I fHkllll/(LI)dLIL f H ln(L:.)K/ I (LI,L2) dL 2 
k
1 () /
I () 


Kładąc li = t2 = l otrzymamy a
 (t). 
I 
Z wyrażenia: 



 2 
CCJ (t) 
"'I' =0 
ak 


(21) 


wyznaczyć można wartość parall1etru sprężystości "k", zapewniającą minill1alizcję 
kwadratu przemieszczenia górnej płyty. Z wyrażenia (20) można również wyznaczyć 
linie węzlowe płyty górnej.
>>>
54 


JózefNizioł 


3. DRGANIA WYMUSZONE DWÓCH MEMBRAN 
KOŁOWO SYMETRYCZNYCH 


Rozważmy drgania układu dwóch membran połączonych elementem lepkospręży- 
stym (rys. 2). 


A . 


y . 


'W 
'" 


Rys. 2. Układ dwóch membran kołowych 


Naciągi membran są odpowiednio równe NI i N 2 ' ich grubości dl i d 2 , gęstości 
powierzchniowe PI i P2' Obydwie membrany zamocowane są na okręgach o promie- 
niach R. 
Równania różniczkowe układu przyjmą postać: 
mlwl +c(w 1 -w2)-Nl
wl +k(w l -w2)=j(r,p,t) 
m2 w 2 +c(w2 -w])-N2
w2 +k(w2 -wl)=O 


(22) 


2 
d '. - d . _ Gw;(x,y,t) n _ O w;(x,y,t) 
g zle. mi - Pi ;' W; - , W; - 2 
ot ot 


02W l Gw l 02w 

w, =
+---ł..+,----f-, (i=1,2) 
or- r or r- op- 
Całek szczególnych dla jednorodnego układu odpowiadającego (22)( j(r, p,t) = O ) 
poszukujemy w postaci: 


W, (r,p,t) = 
 (r,p)T,( t) 


(23) 


W tym przypadku funkcje własne zapisane we współrzędnych biegunowych (r,p) 
przyjmują postać: 


W llln (r, p) = J" (t.::"r X Amn cos np + Bil/n S in np ) 


(24) 


gdzie J" (Ar) jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju, A';" są pierwiastkami równania 
J,,(AR) = O.
>>>
Tłumienie drgań płyt i membran ,., 


55 


Wykorzystując (23) i (24) układ (22) przyjmie postać: 



 
 
 
mi IW'/I/I(r,p)
1I1Il +c IWIII/1(r,p)(
1II1J -T 21111J )-N,£1 IW III /1(r,p)7!1II/1 + 
11,IJ/=O n,m=O n,m=O 


J) 
+k IW IIIIJ (r,p)(7!'"/I-T 2111 /1)=!(r,p,t) 
JLI1l=O 


"f:. ,:.I: ::.r; 
m, I W/l III (r, p)T 21111J + c I W/l IIl (r,p)(T 21111J -
III/1) - N 2 £1 I W/l IIl (r, p)T 21111J + 
IJ.III
O 11.I/I
1) /1.III
O (25) 


're 


+ k I WIII/I (r, p)(T 2111 /1 -71111/1) = O 
11,111=0 


Mnożąc obie strony tego układu przez funkcje WIJ (r, p) całkujemy względell1 
zmiennych" p" i ,/' odpowiednio w przedziałach [O, 2rc] oraz [O, R] . 
Wykorzystując warunki ortogonalności funkcji trygonometrycznych w przedziale 
[O, 2rc] oraz funkcj i Bessela J/1 (Ą';,/") z wagą "r" w przedziale [O, R] możemy otrzymać 
układ równań na nieznane funkcje r,;;(t) podobny jak (4), przy czym obecnie: 


( ) FI) 
F;/I/1 t = 
m l rch lll /1 


F (t) 


(26) 


gdzie: 


li 
h llllJ = f ln (Ą';/lr }dr 
o 


(27) 


Obecnie wyrażenia odpowiadające (7) 
przyjmują postać: 


, 
UJ]}}}}) 
 


, 
D?mn' 


2(J)1łJ1nŚlrnn, 


'2w2mnŚ2mn 


2 NI Ą';/I k 
wI/l 11J =-rc-+- 
mi R m, 


, N, Ą';/I k 
W
IIIIJ =
rc-+- (28) 
Iłh R m, 
- - 


c C 
2(!)1/J/1I'
11J/1I = 2W2ulf1Ś2łJ111 = 
mi m, 


Równanie charakterystyczne układu jednorodnego (F mn (t) = O) przyjll1ie postać 
identyczną jak (9), zmianie ulegną jedynie współczynniki tego równania. W miejsce 
współczynników (7) należy podstawić współczynniki (28). Dalsze rozważania zmie- 
rzające do wyznaczenia funkcji korelacji KII'I'" (r,p:t l ,!2) przebiegają podobnie jak 
w rozdziale pierwszym. 
W podobny sposób ll10żna przeanalizować drgania układu dwóch płyt kołowosy- 
ll1etrycznych połączonych elementem lepkosprężystYIl1. Zmianie ulegną funkcje własne 
i obecnie przyjmą postać [8]:
>>>
56 


Józef N izioł 


W;"" (r,cp) = [J" (A,;;r) + A"J"UA;';r)](sin mcp + Bm cos mcp). i = 
 (29) 


Współczynniki A", Bm wyznacza się z warunków brzegowych. Dla r = R mo- 
ment zginający, siła poprzeczna i siła osiowa przyjmują postać: 


' 1 - D[ 02W ( leW I el CW ]] 
J" -- -+v --+-- 
ar 2 r aR r C e
c 


T = D(I - v) 
 [ 
 
 . W ] 
er r e
 


(30) 



 [ 
C W l 
1. V I 
cr.ł7 ] 
N=-D
 
+-
+-
 
"" ") "" , -.. ") 
er r:r- r er r- e
- 


Przykładowo dla płyty swobodnie podpartej: W(R,
)=O, M(R,
)=O. 
N(R,
)= O. 


4. PODSUMOWANIE 


W pracy przedstawiono ogólną ll1etodę tłumienia drgałl jednego dwuwYll1iarowego 
układu ciągłego przez podobny drugi układ ciągły. Nowościąjest analiza w ujęciu proba- 
bilistycznYIl1. Dla układów detenninistycznych zjawisko tłull1ienia dynamicznego wystę- 
puje [4], gdy spełnione są relacje: p I = Q,5( ro JIj + W CII ) . gdzie: PJ- częstość wYll1uszają- 
cej siły hannonicznej, Częstości rolli' W CIj są częstościall1i determinującymi drgania 
przeciwbieżne. 
Podane rozwiązanie dotyczyło wYll1uszeń hannonicznych i dodatkowo nie uwzględ- 
niono tłumienia, Podobnie jak dla układów dyskretnych dostrojony eliminator jest bardzo 
czuły ze względu na dużą ..stromość" charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej 
w pobliżu antyrezonansu. Dlatego jego przydatność praktyczna jest wątpliwa. Wprowa- 
dzenie tłull1ienia w sposób zasadniczy łagodzi ten efekt. Wydaje się, że w przypadku 
wymuszeń losowych poprzez odpowiedni dobór wspólczynnika sprężystości ..k" czy też 
sztywności walcowej płyty i współczynnika tłumienia ..c" można dostroić elill1inator tak, 
by tłumił on drgania układu podstawowego w szerokill1 zakresie. Dostrojenie będzie zale- 
żeć od charakteru wymuszeń, Inne będzie dla wYll1uszenia szerokopasmowego (zbliżone- 
go do białego szumu), a inne dla wąskopasmowego. Przykładowo gdy funkcja korelacji: 
KIJ =al
exp{-alt: -tll}cosPI(t: -t l ) 
nastrojenie będzie jak dla wymuszenia harmonicznego (gdy a jest ll1ale a p I duże). 


LITERATURA 


[l] Nizioł J., 200 l. Tłumienie drgań układów ciągłych w ujęciu probabilistycznym. 
Zesz. Nauk. PK, Mechanika 83. Kraków.
>>>
Tłumienie drgań płyt i ll1embran ... 


57 


[2] Nizioł J., 1999. Tłull1ienie drgań przewodów i osprzętu linii elektroenerge- 
tycznych. Zesz. Nauk. A TR Bydgoszcz, Mechanika 44. 
[3] Nizioł L Kozień M.. 2001. Drgania lepko-sprężystych powłok małowyniosłych 
poddanych działaniu wymuszeń losowych. Materiały V Konferencji MARDiH, 
Kraków-Krynica. 
[4] Oniszczuk Z.. 1977. Analiza drgań złożonych układów ciągłych z więzami sprę- 
żystymi. Oficyna Wyd. Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów. 
[5] Piszczek K.. Nizioł L 1986. Random Vibrations of Mechanical Systems. PWN - 
Polish Scientific Publishers Warszawa and EHis Horwood Limited Chichester. 
[6] Snamina J.. 2003. Mechaniczne zjawiska falowe w przewodach elektroenerge- 
tycznych linii napowietrznych. Monografia 287, Wyd. Politechniki Krakowskiej. 
[7] Nizioł L 2003. Tłumienie drgań dwuwYll1iarowych układów ciągłych w ujęciu 
probabilistycznYIl1. Wiestnik Technologicznego Uniwersiteta Podilja, Naukowyj 
Żurnał 6, Chmielnickij. 
[8] Babakow J.M., 1968. Teoria kolebanij. Nauka Moskwa. 


PROBABILISTIC APPROACH TO VIBRA TION DAMPfNG 
OF PLATES AND MEMBRANES 


SUll1ll1ary 


The paper is concerned with the analysis of the cOll1plex 2-dimensional continuous 
systems cOll1posed ol' two plates Ol' mell1branes connected by a viscoelastic element. 
One plate (mell1brane) is subject to a continuous loading which is a stochastic process 
with a known autocorrelation function. The second plate (ll1embrane) serves as a dy- 
namic vibration absorber. The vibrations of square thin plates and circular ll1ell1branes 
have been studied. The criterion of the optill1al choice of the absorber is taken as the 
ll1inimum dispersion ofthe displacements ofthe system to which the loading is applied. 
Keywords: vibration damping, plates, membranes, stochastic processes
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM, JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243- MECHANIKA 54 
 2004 


METODA ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH 
W ZASTOSOWANIU DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ 
POCZĄ TKOWO-BRZEGOWYCH 


Adam Podhorecki 


Katedra Mechaniki Konstrukcji 
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska ATR 
ul. Pro!". S. Kaliskiego 7, 85-796 Bydgoszcz 


Pr/edmiotcm pracy jest zastosowanie metody elementÓw czasoprzcstrzennych 
do ro/\\ią;) wania lagadnień pouątkO\\o-brzegowych. Rozpatrzono rÓwnanie róż- 
niukO\\e c/ąstkO\\ć opisujące sIeroki \\achlarz takich zagadnień, jak np. nieustalo- 
n) pr;eplyw ciepła. konsolidacja gruntu Iwiązana z przepływem cieczy w porach 
gruntu, nik tłumione itp. 


Słowa kluclO\\c: metoda elementÓw uasoprzestrzennych, zagadnienie początko- 
\\ o-br/egowe 


l. WSTĘP 


Problell1Y forll1ułowane i analizowane w mechanice kontinuull1 sprawdzają się do 
rozwiązywania układów cząstkowych równań różniczkowych względell1 zmiennych 
przestrzennych i czasu. Do rozwiązywania takich zagadnień stosuje się obecnie głównie 
ll1etody numeryczne (komputerowe), a wśród tych metod bezwzględnie przoduje metoda 
elementów skończonych (MES). Przy stosowaniu MES dokonujemy aproksymacji np. 
pól przemieszczeń. odkształceń. naprężeń i innych pól w całYIl1 analizowanYIl1 obszarze 
przestrzennym, co sprowadza zagadnienie początkowo-brzegowe do układu równań 
różniczkowych zwyczajnych. które następnie rozwiązujemy metodami analitycznYll1i lub 
innymi metodall1i numerycznymi. Podstawy teoretyczne metody elementów czasoprze- 
strzennych (MECZ) opracowal w 1975 roku Kączkowski [1.2]. MECZ jest pewnym 
wariantem :Y1ES, polegającym na aproksYll1acji pól w całym analizowanym obszarze 
czasoprzestrzennym, co sprowadza zagadnienie początkowo-brzegowe do układu rów- 
nań algebraicznych [I c-5]. Dotychczas MECZ stosowano głównie do rozwiązywania 
szczegółowych problemÓw początkowo-brzegowych mech
miki ciała stałego (np. 
[6c-11]). Ostatnie prace wykorzystują metody elementÓw czasoprzestrzennych przede 
wszystkill1 do roZ\\ lązywania problemów nieustalonych z zakresu mechaniki ciała stałe- 
go i mechaniki płynów (np. [ł 2
 14 D. 
Do sformulowania równań ruchu MECZ stosuje się najczęściej zasadę czteropracy 
wirtualnej (zasaJę czasopracy wirtualnej), która odpowiada uogólnionej zasadzie Ha- 
miltona [10]. Możliwe też jest inne sforll1ułowanie MECZ. wykorzystujące do tego celu 
ważona metodę residualną (W szczególności metodę Galerkina). Pierwsze takie sfonnu- 
lowanie 'vIECZ przedstawiono w pracy [10]. Równanie czasopracy wirtualnej. a więc
>>>
60 


Adam Podhorecki 


także i zasada Hamiltona w postaci uogólnionej nie zawsze dadzą się wyrazić prosto 
jako minimum dobrze określonego funkcjonału. Na tYIl1 tle powstają pewne niejasności 
i nieścisiości, Wydaje się więc celowym dokladne przedstawienie równań ruchu MECZ 
dla ogólnego przypadku procesów nieustalonych pola i zagadnień dynall1icznych. Do 
tego celu wykorzystano ważną metodę residualną. 


2. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA PROCESÓW 
NIEUSTALONYCH POLA I ZAGADNIEŃ DYNAMICZNYCH 


Zakres zagadnieIl ze zmienną czasowąjest duży i obejll1uje np. procesy nieustalone 
przepływu ciepła. rozchodzenia się fal w cieczach. dynamikę budowli. 
Wiele zagadnień fizycznych opisuje się równaniem quasi-harmonicznym. w któ- 
rym występują także pochodne nieznanej funkcji rjJ względem czasu [5]: 



 ( kc 
 . 
 1+ 
 . (1 . 
 ( k \ 

 J + 

 . 
' ( k 2 
 . 
 1+ ( Q _ 
l (
 . 
 
 p (
c 
 I = O. 
m: ex) cy . cy c:: c::) et cr- ) 
x,y,:: E V, t E O,c.c), 


( I ) 


gdzie: k,. k" k" Q są zadanYll1i funkcjall1i zależnymi od wspólrzędnych x, .v.:: oraz od 
czasu t. 
Sens fizyczny tych wielkości zależy od rodzaju i charakteru rozpatrywanego za- 
gadnienia. Na przykład w przypadku przeplywu ciepla k. k.. k są anizotropowYll1i 
współczynnikami przewodnictwa cieplnego, Q jest funkcją prędkości wytwarzania ciep- 
la, a 
 jest tell1peraturą. Równanie (l) uzupełniają warunki brzegowe i początkowe. 
Przy p = O równanie (l) jest równaniem nieustalonego przeplywu ciepla lub konsolida- 
cją gruntów związaną z nieustalonym przepływem cieczy w porach gruntu. Jeżeli fl = O. 
to wtedy równanie (I) staje się równaniem ralowYIl1 (fale elektromagnetyczne, raiowanie 
powierzchniowe cieczy, fale ciśnieniowe itp.). Przy 
l 70 P 70 O mall1Y do czynienia 
z równaniem fali tłumionej. które jest bardzo ważnym równaniem w ll1echanice cieczy. 


3. RESIDUALNE SFORMUŁOWANIE MECZ 


Najogólniej uznanym sposobem przedstawienia metody elementów skOliczonych 
(MES), a co za tym idzie i metody elementów czasoprzestrzennych (MECZ) jest mini- 
malizacja pewnego runkcjonaju X w obszarze V (w przypadku MES) lub w czasoprze- 
strzeni Q E V x t (w przypadku MECZ). 
Istnieją liczne zagadnienia mechaniki procesów nieustalonych. ktÓre nie dadzą wy- 
razić się jako minimull1 dobrze określonego funkcjonału. np. w przypadku obciążeń 
niezachowawczych. W takiej sytuacji należy stosować inne ll1etody bezpośrednie. Jedną 
z takich efektywnych metod jest ważna metoda residualna, !(tóra jest sposobem przybli- 
żonego rozwiązywania równań różniczkowych. 
Do sformulowania istoty \-1ES lub \-IECZ można dojść na drodze matematycznej 
wychodząc z równań różniczkowych opisujących zagadnienie. N iech tym I'Ownaniem
>>>
Metoda elementów czasoprzestrzennych ... 


61 


różniczkowYIl1 będzie równanie (I). Dla rozwiązania przybliżonego podzielmy nasz 
obszar czasoprzestrzenny O na skończone elementy czasoprzestrzenne (SKECZ), czyli 
na skończoną liczbę podobszarów O. dla których nieznaną funkcję 
 opisujemy 
w następujący sposób: 



,. (x, .\', ::, t) = N,
 (x, .V, ::, t) ,. 
(1.=1.2,...,/1, x.y,::.t "!),,, 


(2) 


e=1.2,...,E, 


gdzie: N" są funkcjami ksztahu zależnymi od współrzędnych x, y,:: oraz od czasu t. 
zaś r" reprezentuje zbiór /1 parall1etrów węzłowych, będących w tym przypadku wprost 
wartościami 
 w węzlach SKECZ. 
Jeżeli przybliżenie (2) podstawimy do równania (ł), to równanie to nie będzie 
równe zeru, lecz wygeneruje resztę R: 


(
 (k " (
 .. 
 . (' J (
 Ik " t . 
' J I . ""' l ' k J
 . " J (0 " " c
" e C . 2 .. 
" J - R e 
-::;- x -:::- + -::;- \ -:::- + -::;- o -:::- + 
 - 
l 
 - p --,,- - , 
('X n (.1'\ IY (':: c ct er (3) 


x.}'. ::, t E O,.. 


W tej sytuacji należy zredukować resztę R do najll1niejszej wartości we wszyst- 
kich punktach czasoprzestrzeni O. Minimalizacji reszty R można dokonać w obszarze 
Q z funkcją wagi Wrj = IliJ...,y,::.t): 


f { 
L J JW1\'R'dVdt=L JJWr{'R"dQ=O, 
('=]',! L'=1 Q, 
, , 


(4) 


gdzie: runkcja wagi w szczególności może być równa funkcji kształtu, czyli Wf3 = N rJ 
(metoda Galerkina). W tym przypadku funkcję ksztahu definiujemy w sposób charakte- 
rystyczny dla ll1etody elementów skończonych. Takie postępowanie nosi nazwę ważonej 
metody residualnej [15], W naszym przypadku ll1amy do czynienia z wyrażeniem: 


f J J 'w/ 

 (k
 (
P' I+
( ..  (

" I+ : . 
 l k
 (
 . ( . V I_
I'
' _p,'
e +Q,' 1 dVdt. 
L I I IX l (X I (V i (\' I (:: I:: ) ( 5) 
,=1 1 , l L \ ). \ - / 
 
. (-(P .. {

 
(p=-, (P=-----,--, 
(C t a- 


gdzie: runkcja (P zadanajest wzorem (2), 
Całka w podanej postaci wymaga ciągłości pierwszych pochodnych w obszarze 
między elementami, aby uniknąć nieskończonych wartości drugich pochodnych, Ograni- 
czenie to możell1Y ominac dokonujac przeksztaJceń poszczególnych całek poprzez za- 
stosowanie przekształcenia Gaussa-Osrrogradskiego i całkowania przez części:
>>>
62 


Adall1 Podhorecki 


I:' [ [ ew.e "',h c eW,e "',h c eW,e' 
,h" 
" f f p k" C't' .' p k . c ('t' . . I; kC C't' v
(' e' ,he' 
L. 
 X --::;- + 
 ,--::;- + 
 C ---:;- - /; P 't' + 
c=1 I, I'" ex ex: cy cy e:: e:: 
+ W. ''; 
I C,hC - T y' R" O e J l U ! f fw ,e (k " cj" " k " ej" " 

 't' r 
 _ C r ( t - I,. al'" /; x ("'x n, + ,. el' n, + 
+ k J
: n; ]d(av)Jt+ t" p' 
dvl:; = o. 
gdzie: n" n, i n, są kosinusall1i kierunkowymi normalnej zewnętrznej kolejno wzglę- 
dem osi x, y,::, natomiast eV jest powierzchnią graniczną (brzegiem) obszaru V, 
Druga całka przedstawia całkę po brzegu z przepływu kJ:j/ ("'n, tzn.: 


(6) 


f f ruc (k " eje . e k " cj , c . e k c' cj .., c c J 1( 1 / " )1 = ff r .ł/" k e Cj , " d( '":r-.. ) 
rrp x 
 n, + l' 
 n\" + : 
 n: (( (t rY/; II", (,
, , (7) 
I"al
 ex . C).' c:: ('£2, en 
eQ" = al"" x te' 


W analizie poszczególnych problemów występują często złożone warunki brzego- 
we. Warunek brzegowy (7) 1l10żna wzbogacić o dodatkowe elell1enty. np.: 


ff TUC (k C ('":j . c ". c,he 1 . 1 /( 
r-.. ) 
rY /; II 
 + q t- a.. 't' j " (
', 
an" cn 


(8) 


gdzie: w przypadku przewodnictwa cieplnego q przedstawia przepływ ciepła przez jed- 
nostkę powierzchni i czasu, natoll1iast a..j oznacza straty konwekcyjne. Po wprowadze- 
niu (2) i (8) do równania (6) otrzymujell1Y układ równań algebraicznych w postaci: 


/:' 
L k
pl:, - FI\') = o, 
L':;::::] 


(9) 


gdzie: 


{ av." "'II,! e av." av' (
W" cy' 
K
r; = f 
 . I; k:: c
 (1 _
 . 1\ k
'
 . !l +
 . 1\ (
+ 
n" ex ex ( :l' . ev ( :: (:: 
-Wp"p('iV
 +


'
t"V(
 }/Q, 
) 


( 10) 


F;p" = fI . WI{QCdQ + fI . fVr{1 k;'; 
" - e/ + a..'j' cI((
Q)- fWI;p[
e clv l ' , ;: 
ą en, \ (n I' r', 


Po agregacji, równanie ruchu (9) ma postać: 


x = K c. - E. = Q. 


(I i)
>>>
Metoda elell1entów czasoprzestrzennych ... 


63 


4, REKURENCYJNY CHARAKTER RÓWNAŃ MECZ 


Niezależnie od sposobu dyskretyzacji (rys. l), struktura równania ruchu MECZ jest 
następująca: 


..( 8 'l F" 
r 
c' .-l' +D' 8' , F' 
r 
( 12) 
C' A +D' 8 r F' 
l c" D' " F" 
r 


gdzie: J.'. Jl.'. C i D ' są kwadratowymi macierzami czasoprzestrzennymi po agregacji, 
w chwili i. W macierzach tych uwzględnione są występujące warunki brzegowe. Macie- 
rze te oczywiście mogą ulegać zll1ianie \V czasie. Równanie (12) ll10żna zapisać w po- 
staci: 


I c' + /[ c' = E' 
( '" ( , , ) , E l' F ' 
-,-C + J. +Q C +_c =_ 


( " , ( " D , ) , E ' ,., .F ' 
_c. +.0:.'.+_ c.+_c. =_ 


i = 0, L 2 .... 


J' 
r-- 


O' 
I c---,--.-- 
" 


Q 


, 1 
,
------O--.


 
"/ 


...L 


() I, ". /\ 
I
'
-\ 
2 ( . ();\(../ 
, j (/ ",,\ 
 
:/// " 


/, 


. (. 
-----:\ 


'" 


Rys. I. Prz) klad) ci) skrdyzacji obvaru oasoprzestrzcnnego 


(ł3) 


J' 
/ 
()I XYV X ! 
I 0 X)/YxX 
20 . y
j

 
K.X XX . Y ; . 1 
/'" .x" X ) (! 
i 
 ...,"" -k ...,
.... ...,x-::'" .,.1 
I'X ,/ y 'x' x' 
V V'-/"v v'" 
'"
>>>
64 


Adall1 Podhorecki 


Przy analizie zagadnień początkowo"brzegowych na ogół znane są warunki po- 
czątkowe, np. w postaci: 


!(t = O) = 
", 
(t = O) = 
(). 


( 14) 


Pierwszy warunek początkowy, na podstawie (2), prowadzi do znajomości para- 
metrów węzłowych: 


( ) ." 
c.t=O =c. . 


( 15) 


natomiast drugi warunek początkowy dotyczący prędkości tkwi we wzorze na impulsy 
węzłowe F/I (I Oh Ostatecznie istotne jest to, że znane warunki początkowe ( ] 4) UIl10Ż- 
liwiają przekształcenie równań ruchu MECZ (13) w formułę rekurencyjną: 


c.J+1 = (!l' t k' - C c.,-I - (A' + Q' k ]. 


( 16) 


Przy stosowaniu elell1entów czasoprzestrzennych o kształtach sYll1plektycznych 
uzyskujell1Y naturalne rozseparowanie poszczególnych równań ( ł 3) lub ( 16) na mniejsze 
układy łub pojedyncze równania zjedną niewiadomą [3.4]. 
Metoda elementów czasoprzestrzennych należy. w podanym sformułowaniu. do 
metod warunkowo stabilnych, stąd na wymiary SKECZ nałożone są pewne ograniczenia 
[10.16]. 
Zbadajll1Y, jak niewielki błąd w chwili początkowej {i' wpływa na proces rekuren- 
cYJny: 


c.() = !t, £' = Q. i = 0, 1,2... 


( 17) 


Wzór rekurencyjny ( 16) zależy od zaburzenia początkowego 2" w następujący spo- 


sób: 


,-' = Ik-I Q (), k =1,2..., 


( 18) 


gdzie: 


I" = -
" tIA(), 
t =-(Blt[
1 +(i +QI)I"], 


( 19) 


II = -(!l' t [
I II-2 + (Al + QI )II-I]. 


j =2,3. .... 
są macierzami przemieszczenia [16]. Schemat obliczeniowy będzie stabilny, tzn. C. 
pozostanie ograniczone Ci 
 x;), jeżeli wszystkie wartości wlasne macierzy przemiesz- 
czenia Z' spełniają następującą nierówność: 


lAl:; I. j = o, I. 2.... 


(20)
>>>
Metoda elementów czasoprzestrzennych ... 


65 


Istotną (doll1inującą) częstość własną Ą
J/{f\ 1l10żna przyjąć wykorzystując różne osza- 
cowania proll1ienia spektralnego ll1acierzy p
/): 


p(
I)
l"'rIlz!,I, p(/)
""ltr[(
/)f"', IĄ
J/(/\I
p(£/} )=0,1,2,... (21) 
I
I 


5, ZAKOŃCZENIE 


Rozpatrzono równanie różniczkowe cząstkowe opisujące szeroki wachlarz zagad- 
nień początkowo-brzegowych (nieustalony przeplyw ciepła. konsołidację gruntu zwią- 
zaną z nieustalonym przepływem cieczy w porach gruntu. fale elektromagnetyczne. 
falowanie powierzchniowe cieczy, fale ciśnieniowe itd.). Do rozwiązania takiego ogól- 
nego i złożonego równania użyto ll1etody elell1entów czasoprzestrzennych (MECZ). 
Do sforll1ułowania równań ruchu MECZ użyto ważnej metody residualnej. Równa- 
nia ruchu MECZ to układ równań algebraicznych. Przy znanych warunkach początko- 
wych równania te przechodzą w fonnę równań rekurencyjnych. Metoda elementów 
czasoprzestrzennych wydaje się być bardzo dobrym narzędziem do rozwiązywania tego 
typu problell1ów. 


LITERATURA 


[I] Kączkowski Z.. 1975. The method of tinite space-till1e elements in dynall1ics of 
structures. J. Techn. Phys. 16. l. 
[2] Kączkowski Z., ł 976. Metoda czasoprzestrzennych elell1entów skończonych. 
Arch. Inż. Ląd. 22, 1976. 
[3] Kączkowski 2., 1983. O stosowaniu nieprostokątnych elell1entów czasoprzestrzen- 
nych. Mech. Teoret. Stos. 21. 
[4] Bajer Cz.. 1987. Triangular and tetrahedral space-till1e tinite elell1ents in vibration 
analysis.lnt. J. NUIl1. Meth. Eng. 23,1721-1739. 
[5] Bajer Cz.. Podhorecki A.. 1989. Space-till1e elell1ent method in structural dy- 
namics. Arch. Mech. 41. 
[6] Kączkowski 2., Żyszko M.. 1979. Drgania giętne pręta metodą czasoprzestrzen- 
nych elell1entów skończonych. Arch. Inż. Ląd. 24. I. 
[7] Kączkowski Z.. 1985. O stosowaniu metody elell1entów czasoprzestrzennych do 
zagadnieri przewodnictwa cieplnego. Arch. Inż. Ląd. 31. 3. 
[8] Witkowski M.. 1986. Dynamics analysis ol' hoist cable using triangular space-till1e 
elements. Enging. Trans. 34.4. 
[9] Podhorecki A.. 1986. The viscoelastic space-time element. COll1p. Struct. 23. 
[10] Podhorecki ,\.. ł 991. Metoda czasoprzestrzennych elementów w geometrycznie 
nieliniowej teorii lepkosprężystości. Zesz. Nauk. /\ TR Bydgoszcz. Rozprawy 45.
>>>
66 Adam Podhorecki 


[ł I] Huang H., Costanzo F., 2002. On the use of space-till1e finite elements in the sou- 
lution of elasto-dynall1ics problems with strain discontinuities. COll1p. Meth. App!. 
Eng. 191,46. 
[12] Sin-Chung Chang, Xiao-Yen Wang, Wai-Ming To, 2000. Application of the 
Space- Time Conservation Element and Solution Element Method to One- 
Dimensional Convection-Diffusion Problems. J. Comp. Phys. 165, I. 
[13] Shaw S., Whiteman J.R., 2000. Adaptive space-time finite element solution for Vol- 
terra equations arising in viscoelasticity problell1s. J. Comp. App!. Math. 125. 1-2. 
[ł4] HUbner 8.. Walhorn E., Dinkler D.. 2004. A monolithic approach to tluid-structure 
interaction using space-time finite elell1ents. T. COll1p. Meth. App!. Mech. Eng. 193. 
[15] Zienkiewicz O.c.. 1972. Metoda elementów skończonych. Arkady Warszawa. 
[16] Podhorecki A" 1989. Stabilność rozwiązań w metodzie elementów czasoprze- 
strzennych, Rozp. Inż. 37, I. 


THE SP ACE- TIME FINITE ELEMENT METHOD 
IN AN APPLICATION TO THE ANAL YSIS 
OF INITIAL-BOUNDARY PROBLEMS 


SUll1mary 


The scope of the task is an application of the space-time finite elell1ent method to 
the analysis of initial-boundary problell1s. The paper present dirferential equation which 
defines a wide variety of such problem s, for example: a transient heat-tlow, a consolida- 
tion of a soil influenced by a liquid-flow in a porous soi!. damped waves, etc. 
Keywords: the space-time finite element method, initial-boundary problell1s
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 u MECHANIKA 54 
 2004 


VIBRATIONS OF THE PLATE WITH 
A VISCOELASTIC INTERLA YER 


Katarzyna Cabańska-Płaczkiewicz. Maciej Wilczyński 


B) dgoszcz Acadcmy. Departmcnt of Mathematics, 
Teehnics and NaturaI Seience. Institute ofTechnology 
85-064 Bydgoszcz. Chodkiewicza 30 str. 


In this paper thc uniform analytical mcthod [11] has been used lal' solving 
a prohkm ol' vihrations ol' the plate with a viscoelastic interlayer. External layers 
are modelkd as Kirchhof1
Love's plates. while the internal layer possesses the 
characteristics ol' a viscoelastic, one-directional Winkiel' l'oundation. In the ease 
smali transvcrse vibrations ol' the complex system with damping is exeited by the 
dynamical stcady !()rcc /1 (x, y. t) = f'iii( x - :"(Ii ),i( v - v() ) sin( (O ol) at the point 
'"(ii" y" and varying in timc I. Numerical results are presented in the diagrams. 


Kc) words: vihrations. complex plate, numerieal results 


l. INTRODUCTION 


Compound systell1S coupled together by viscoelastic constraints play an important 
role in various engineering and building structures. Since ł 923, Timoshenko's model [I] 
for various eompound constructions has been applied. Vibration analysis ol' lall1inated 
plates was presented in [2, 3] and in many other works. 
The problem ol' nonaxisYll1metrical derorll1ation ol' flexible rotational shells was 
solved in [4] with the used ol' the classical Kirchhoff-Love 1l10del and improved 
Timoshenko's model. The dynamie problell1 ol' elastic homogeneous bodies was pre- 
sented in [5]. Vibration analysis ol' systems ol' solid and deformable bodies for eomplex 
Illotion was considerated in [6]. 
Vibrations ol' elastically connected rectangular double-plate compound systems 
under moving loading are presented in l7]. Vibration analysis ofcoll1pound systems with 
vibration dall1ping is a difficult problem. In the above eomplex cases, especiałly where 
viscosity and discrete elelllents oeeur. it is recomlllended to adopt the method ol' solving 
a dynamie problell1 for a system in the dOlllain changing ol' a complex runction [8,9]. 
The property ol' orthogonality ol' rree vibrations ol' eOll1plex types was tirst described in 
[8] 1'01' diserete systems with damping. for diserete-eontinltous systems with damping in 
[9] and 1'01' continuous systell1s with dall1ping in [10]. 
The goal ar this paper is to present a method roI' solving the problell1 and dynamic 
analysis ar rree and forced vibrations for a eumplex system with damping, which con- 
sists or rwo elastic plates eoupled by a viseoelastic interlayer. for various types ol' dy- 
namic loading.
>>>
68 


K. Cabańska-Płaczkiewicz, M. Wiłczyński 


2. FORMULA TION PROBLEM 


Now consider the free and forced vibrations problems for the complex system with 
a viscoelastic inertial interlayer. The external layer of the complex system is made as the 
plate from elastic material which is coupled by a viscoełastic inertial interlayer (Fig. 1). 
The elastic plate is described by the Kirchhoff-Love's model and simply supported at 
their ends. The viscoelastic inertial interlayer possesses the characteristics of a homoge- 
nous continuous one-directional Winkler's foundation and has been described by the 
Voigt-Kelvin' s model. 
In the practical the complex system with a viscoelastic inertial interlayer is treated 
as the platform but the dynamical non-steady 10ading as the mass of coal. 


the stifffoundation 


w 


Fig. l. Vibration ofthe complex system from elastic plate coupled by a viscoelastic inertial inter- 
layer 


In the case smali transverse vibrations of the complex system with damping is ex- 
cited by the dynamical steady force fI (x,y, t)= p)o(x - xo)8(y - Yo)sin(root) at the point 
xv' y" and varying in time t. 
Here8(...) is the Oirac's delta function; H(...) is the Heaviside's function; 
x' = v' t, v' is the constant speed; y = 0.5 b; w(x,y,t) is the first iteration of the dy- 
namic displacement ofthe complex plate with damping from the force fi; jj(xI,y),t) 
is the displacement of the complex plate under mass of coal; v n is the complex eigen- 
frequencies offorced vibrations; Xv' y" are the co-ordinate coal for time t = O; bet) IS 
the displacement of coal in the direction ofaxis ::. 


3. NUMERICAL RESULTS 


In the case smali transverse vibrations of the complex plate with damping is ex- 
cited by the dynamical steady loading li(x,y,t) = fi8(x-x v )8(y- y,,)sin(mJ) at the 
point x()' Yv and varying in time t. Całculations are carried out for the following data:
>>>
Vibrations ofthe plate with ... 


69 


EI 
 IO I() PL ' I. E - -:IO 
 . 10 7 . 10 6 ) P " *IO ' N ) 4 h O 
 
_ _ a, PI = L. ' 
. s' m -, I = .L.m, 
h = [0.4, 0.6. 0.8, I J 11/, v() = 0.2, a = lm, b = 10m, c = [O. 0.000 l} s, 

=2*IO"N, x()=O.5a, y()=O.5b. v*=IOOms'-'-. 


In order to solve the bOllndary value problell1 the folłowing bOllndary conditions 
are lIscd: 


ffil ,
() = O. 


Wil \
" =0, 
d'-fVi 
------,--1,. =" = O. 
de 


f Vii \
() = O, 
) 
d'v
 I\
() = O, 
c(v 


vViI.'=h = O, 
d'-WJ 
------,--1 \ 
 h = O 
cź v ' 


(I) 


d'-vv; I 
------,-- \",.1) = O, 
de 


In ordcr to find the Fourier's ct:" coeftlcients the following initial conditions have 
been assllmed: 


1lX 
\I'()J = A'l sin(-), W()I = O, A" = 0.0002 cm, 
a 


(2) 


1lX 
H"" = ..(, sine -), w() = O. A'2 = 0.000 ł 5 cm . 
- a 


SOll1e results ol' this problelllS given in Figures 2-3 present values ol' moduli ol' de. 
terminant 161 and values ol' complex eigenfrequencies 1'11 , 11, = i 'lll III, :t Wili'" of free 
vibrations 1'01' 11 1 = I. 11,- = I and damping coefficient c = 0.000 l s. The complex 
eigenrrequencies for the various Young's moduli E = (10 6 , 10 7 , lOS) Pa and for a 
sll1all thickness ol' the inertial interlayer h = 0.4 111 are shown in Figure 2. The complex 
eigenfi-equencies for various thicknesses ol' the inertial interlayer h = [0.6, 0.8. I) In 
and 1'01' the YOllng's module E = 10 7 Pa are shown in Figure 3, 
The diagram of the natural frequencies WIlIII. of free vibrations for ni = l, no = l 
and damping coet1icient c = O s and for parall1eters: E = 10 7 Pa, h = 0.6 In is shown 
in Figure 4. 
The erfect ol' various thicknesses h = [0.4, 0.6] 111 of the viscoelastic inertial 
intcrlayer 1'01' the complex plate on the fi-ee vibrations is shown in Figures 5-6. 
The diagrams in Figures 5-6 show dynamie displacements ol' the complex plate 
with a viscodastic inertial interlayer 1'01' x = 0.5 a, y = 0.5 b in two cases: in the tirst 
case - Figure 5 where a large thickncss ofthe interlayer h = 0.6 m occurs, in the second 
case - Figure 6 where a smalI thickness of the interlayer h = 0.4 111 occurs, Calcllłations 
ordynamic displacements 1\'1_ \I' 1'01' the two cases are compared. 
In the tirst case dynamic displacell1ents 1'01' the large thickness ofthe interlayer are 
fading slowly with time { than dynamic displacell1ents for which accollnt ol' a sll1alł 
thickness of the interlayer (in the second case).
>>>
70 


K. Cabańska-Płaczkiewicz, M. Wilc?)'ński 


ZO 


I
I 


zo I
I 


l. 


I]
16 
E=IO'Pa 


15 


10 


I]
)5 
E
IOb Pa 


m[I/s] m[I/s] 
.00 1000 1500 zaca 2500 1000 2000 3000 łOOO 
zo I
I 
l' 
10 '1
'7 
E
IO'Pa 
ro[lls] 
1000 2000 3000 4000 


Fig.2. Values of module of determinant I
I and values of complex eigenfrequencies 
V l1 , I1 2 = i'lI1, 11 2 :tliJ l1 , 11 2 of free vibrations for n) = I. n2 = ł and 
x = 0.7 a, y = 0.8 b. = = O. E = {l 0 6 . J07, J08) Pa. h = 0.4m. c = O.OOOls 


1000 


Z5 I
I 
ZO 
15 
10 
5 
w[l/s] 
)000 4000 1000 


ro[l/s] 


25 I
I 
20 
1]=5 
15 h
lm 
10 


1]=10 
h=0.8m 


2000 


ZOOO 


3000 


4000 


za 
I 


15 


1]=25 
h=0.6m 


/' 


10 


£0[1/5] 


500 1000 1500 2000 :500 


Fig. 3. Values of module of determinant I
I and values of complex eigenfrequencies 
V I1 '''2 = i'lI1,I1, :t {ol1,,,, of free vibrations tor nI = l. n2 = ] and 
x = 0.7 a. y = 0.8 b. :: = O. h = :0.6. 0.8. n m. E = 10 7 Pa. c = O.OOOls
>>>
Vibrations ofthe plate with ... 


71 


.o 1L\j 


'0 '1
 


ZO 


10 


«Ul I i.] 


1000 


ZOoo 


'000 


.000 


Fig. 4. Values or module of detcrminant 161 and values or natural frequencies w nl ": or free 
vibrations tor ni" ł, n;! = I and x = 0.7 a. y = O.Sb, =.. O. E.. 10 7 Pa, 
h = 0.6 m. C" O s 


a) 


b) 


_l["a) 


w[ca,J 


o. 


0.00015 


o z o. 


\ t[,,) 
.6 


Fig. S. Free vibralions ofthe complex plate \\ith damping lor thickness h 3 0.6 m: al the elastic 
plate. b) the viscoe1astic inertiai inlerlayer 


a) 


b) 


_l[ca) 


_(cal 


0.0003 
O.OOOZ 
0.0001 


\ 
I 


o 1 o z O. O. 


-0.0001 
-O.OOOZ 
-0.0003 


Fig. 6. Free vibrations ofthe complex plate with damping tor thickness h = 0.4 In: a) the elastic 
plate. b) lhe viscoelaslic inenial interlayer 


Amplitudes of free vibrations for an elastic plme and a viscoelastic inertial 
imerla}er for thickness h = 0.6 m achieve a value approximately 7°0 lager than ampli- 
tudes of free vibrations for an elastic plate and a viscoelastic inertial imerlayer for 
thickness h = 0.4 m . 
The etTect of various damping coefficients c = {O, O.OOOI}s of the inertial 
imerlayer for the complex plate on the free vibrations is shown in Figures 5-7 for a large
>>>
72 


K. Cabańska-Płaczkiewicz, M. Wiłczyński 


thickness of the interlayer h = 0.6 m. The diagrams in Figure 7 show dynarnic dis- 
placements of the complex plate with an elastic inertial interlayer for 
x = 0.5 a, y = 0.5 b. 
Całculations of dynamic displacements w l , w for the two cases where damping 
coefficient c = O.OOOls occurs - Figure 5 are compared with dynamic displacements for 
wI' w where damping coefficient c = O s does not occur - Figure 6-7. 
a) b) 


vl[ca] 


0.0004 


..(ea] 


0.1 02 


o . 0002 


-0.0002 


Fig. 7. Free vibration ofthe complex plate with damping for thickness h = 0.6 m: a) the elastic 
plate. b) the elastic inertial interlayer 


The functions of fTee vibrations of the complex plate with a viscoelastic inertial 
interlayer can be wrilten in the form of dual interference: 


TO Y.! 
w. =" "e-'1n 1n 2 t / 1nn I rReWl n n Cos(ron n t+in n )+ 

 L. I :!
' I 2 I 2 I .2 
n l =ln 2 =1 
+ Im Win n sin{ ro n n t + in n )]. 
I 2 I l I 2. 


(3) 


"" '" 
W = I Ie-'1n,n2t/1n,n2VReWn,n, COS{Wn,n 2 t+in,n 2 )+ 
n,=ln,=1 
+ Im W n,n2 sin{ ro n ,n 2 t + in , n 2)). 


For the complex plate where no damping occur the equality (3) can be rewrilten in 
the folIowing form: 


"" '" 
WI = L Le -'1n,02'11 I/l n 2/ U'ln , n 2 cos( liJl/,n/ + P",n2 ), 
nl=ln:!:_. 


Y.! '" 
W = L Le -'1n,., t 11 n , n2/ W;"n, cos( liJ"'''2 t + PI/In, ) . 
I/J=ln,=! 


(4) 


Amplitudes of fTee vibrations for an elastic plate and a viscoelastic inertial 
interlayer achieve a value approximately 12% smaller than amplitudes of free vibrations 
for an elastic plate and an elastic inertial interlayer. 
In the case smalI transverse vibrations of the complex plate is excited by the steady 
dynamical loading fi (x,y.t) = 
J'(x-x,,)c5(y- y")sinliJ,,t acting at the point 
x" = 0.5 a. y = Oj b and varying in time t. Figures 8-9 present the amplitude-
>>>
Vibrations ofthe plate with ... 


73 


frequency diagrams for the complex plate. The influence of various damping coefn- 
cients on the amplitude-frequencies diagrams is iIIustrated in Figures 8 for c = O s and 
9 for c = 0.000 I s . 
After analysing the results presented in Figure 9 where damping occur in the 
interlayer we state that the inertial inerlayer can be the vibration damper for the elastic 
plate which is excited by the dynamical steady loading fi(x,y,t) at the point 
x" = 05 a, Yo = 05 b and varying in time t. 


Aaplltud" [ca] 


0.003 
0.0025 
0.002 
0.0015 
0.001 
0.0005 


lw.I 


tr"qu"ncy( 11"] 
500 1000 1500 2000 2500 3000 


Fig. 8. The amplitude-frequency diagram ofthe complex plate with an elastic inertial interlayer at 
the point x = 0.7 a. y = 0.8 b. = = O for E = 10 7 Pa, h = 0.6 m. c = O s 


Aaphtucl.. [ca] 


0.001 


tr"qu"ncy[ li"] 
500 1000 1500 2000 2500 3000 


0.002 


0.0015 


0.0005 


Fig. 9. The amplitude-trequency diagram of the complex plate "ith a viscoelastic inertial 
interlayer at the point x = 0.7 a. y = 0.8 b. = = O for E = 10 7 Pa. h = 0.6 m. 
c = 0.0001 s 


In the case when the damping coefficient is equal to zero presented in Figure 8 the 
resonance occur in the complex plate for w" = {800. 1400, 1500. 2000} S-I because 
frequency ot" free vibrations (Fig. 4) is coinciding with frequency w" of t"orced vibra- 
tions.
>>>
74 


K. Cabańska-Płaczkiewicz. M. Wilczyński 


REFERENCES 


[ł] Timoshenko S.P" Wojnowsky-Krygier S., 1959. Theory ol' Plates and Shell. 
Arkady. New York, Toronto, London. 
[2] Taranto R,A., McGraw J.R.. 1969. Vibratory bending ol' dall1ped laminated 
plates. Trans, ASME, J. Eng. lndustry 91. 1081-1090. 
[3] Kurnik W., Tylikowski A., 1997. Mechanics ol' Laminated Elements. Pub!. War- 
saw Univ. of Tech. Warsaw. 
[4] Pankratova N.D., Nikolaev B.. Świtoński E., 1996. Nonaxisymmetrical deforma- 
tion ol' flexible rotation shells in classical and improved statements. J. Eng. 
Mech. 3(2), 89-96, 
[5] Grinchenko V.T.. 1978, Equilibriull1 and Steady-State Vibration of Elastic Bod- 
ies of Finite Dimensions [in Russian], Naukova Dumka, Kiev. 
[6] Gulyaev V.I., Lizunov P.P., 1989, Vibration ol' Systems ol' Solid and Defornmble 
Bodies under Complex Motion [in Russian]. Vyshcha Shkola, Kiev. 
[7] Szcześniak W., 1998. Vibration ol' elastic sandwich and elastically connected 
double-plate systems under 1l10ving loads, [In:] Building Engineering. Pub!. War- 
saw Univ. ofTech.. No. 132, 153-ł72. 
[8] Tse F., Morse 1., Hinkle R.. 1978. Mechanical Vibrations: Theory and Applica- 
tions. Allyn & Bacon, Boston. 
[9] N izioł J" Snamina J., 1990. Free vibration ol' the discrete-continuous system with 
damping. J. Theor. App!. Mech. 28(1-2),149-160. 
[ł O] Cabańska-Płaczkiewicz K.. 2000. Problems ol' vibration control in ecologically- 
dangerous engineering systems, [In:] The Role ol' Universities in the Future In- 
formation Society (RUFIS 2000). Kiev. 26-27. 
[II] Cabańska-Płaczkiewicz K.. ł 999. Free vibration of the systell1 ol' t\\O 
Timoshenko beams coupled by a viscoelastic interlayer. Engineering Transac- 
tions 47 (1), 21-37. 


DRGANIA PL YTY Z LEPKOSPRĘŻYSTĄ PRZEKŁADKĄ, 


Streszczenie 


W pracy zastosowano analityczną jednolitą metodę [II] do rozwiązywania zagad- 
nienia drgań płyty z lepkosprężystą przekladką, Zewnętrzne warstwy zall1odelowano 
płytą Kirchhoffa-Love'a, której wewnętrzna warstwa posiada charakter lepkosprężys- 
tego, jedno-kierunkowego podloża Winkiera. Małe drgania poprzecznego zlożonego 
ukladu z tłumieniem są pobudzane dynamiczną ustaloną siłą 
/1 (.\.y.1) = 
.5C'-.\o)(5(y-vo)sin((.uo[) w punkcie 'o' v" i zmieniająca się w czasie I. 
Wyniki numeryczne przedstawiono na rysunkach. 
Siowa kluczowe: drgania. złożona płyta, wyniki numeryczne
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


ZASTOSOWANIE GRANICZNYCH MODELI PRZESTRZENI 
PORÓW DO INTERPRETACJI DANYCH 
POROZYMETRII RTĘCIOWEJ 


Mieczysław Cieszko. Marcin Kempiński 


Instytut Mechaniki Środowiska i Informatyki Stosowanej 
Wydział Matcmatyki. Tcchniki i Nauk Przyrodniczych 
Akademia Bydgoska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkic\\icza 30,85-064 Bydgoszcz 


W pracy zapropono\\ano wykorzystanic kapilarnego i łańcuchowego mo- 
delu architektury porÓw do wyznaczania granicznych rozkladów wymiarÓw po- 
rÓw matcrialÓw porowatych w oparciu o krzywc potencjału kapilarncgo otrzymy- 
wane metodą wciskania rtęci. Okrcśląią one zakrcs występowania rozkładu wy- 
miaró\\ porów hadanego materiału. Wykazano, że model kapilarny. standardowo 
wykorzysty wany w porozymctri i rtęciowej, oraz modeł lańeuchowy są dwoma 
granicznymi przypadkami modelu sieciowego architektury porów dla danego roz- 
kladu ich \\ymiarów. Anałizę przeprowadzono w oparciu o wzory dła potencjału 
kapilarnego \\arstwy ośrodka o kapilarnej i lańcuchowej architekturze porów, dla 
dwustronncgo \\ciskania rtęci. 


SIO\\a kłuc/lJ\\c: porozymctria rtęciowa, rozktad wymiarów porów, potcncjał ka- 
pi lamy 


l, WSTĘP 


Rozkład wymiarów porów jest podstawową charakterystyką mikroskopowej struk- 
tury przestrzeni porów materiałów porowatych. Umożliwia określenie szeregu ll1akro- 
skopowych parall1etrów struktury porów (np. porowatości objętościowej, przepuszczal- 
ności, powierzchni wewnętrznej) współdecydujących o przebiegu procesów fIltracji, 
transportu masy i .::nergii. reakcji chell1icznych, a także o własnościach akustycznych 
materiałów porowatych [1-3]. 
Najbardzi.::j rozpowszechniona metoda wyznaczania rozkladu wymiarów porów 
polega na interpretacji krzywych potencjału kapilarnego, otrzymywanych z pomiaru 
objętości rtęci wciśniętej w próbkę [4], lub z pomiaru objętości cieczy zwilżającej (wo- 
da. alkohol etylowy) LIsLIniętej z próbki 
np. przez wyciskanie gazell1 [2]) pod wpływell1 
progresywnie wzrastającego ciśnienia. Podstawę tej interpretacji stanowi założenie. że 
ze wzrost'::ll1 ciśnienia 11ęĆ jest wciskana przeciwko siłom kapilarnym w coraz to Il1niej- 
sze pory. Jest to równoważne założeniu, że struktura porów rzeczywistego materiału 
porowatego może być modelowana wiązką równoległych kapilar o statystycznym roz- 
kladzie ich promieni. Umożliwia to bezpośrednie zastosowanie wzoru Washburna wią-
>>>
76 


M. Cieszko, M, Kempiński 


żącego ciśnienie w cieczy z promieniem cylindrycznej kapilary. w której menisk cieczy 
jest w stanie równowagi. W rezultacie otrzYll1uje się kumulacyjne krzywe objętościowe- 
go rozkładu promieni porów w tak ll1odelowanym materiale porowatym. Podobnie in- 
terpretuje się dane uzyskane przy wyciskaniu cieczy. Oczywistym niedostatkiem takiego 
modelu jest nieuwzględnienie sytuacj i występujących w rzeczywistych materiałach, 
w których duże pory połączone są z pozostałyll1i porami poprzez wąskie przejścia. 
Uniemożliwia to zapełnienie (opróżnienie) tych porów rtęcią (z cieczy) przy ciśnieniu 
odpowiadającYIl1 ich promieniowi. Dlatego wyznaczone w ten sposób krzywe rozkładu 
wymiarów porów znacznie zaniżają objętość zajll10waną przez duże pory przenosząc ją 
na objętość zajmowaną przez pory ll1ałe. W konsekwencji wielkości określane na pod- 
stawie tak otrzymanego rozkładu obciążone są dużym błędem, Krytyka bezpośredniego 
wykorzystania wzoru Washburna do interpretacji krzywych potencjału kapilarnego 
w porozymetrii rtęciowej znalazła odzwierciedlenie także w pracach innych autorów 
(np. [8]). 
Celem pracy jest pokazanie możliwości wykorzystania kapilarnego i łańcuchowego 
modelu architektury porów do wyznaczania granicznych rozkładów wYll1iarów porów 
materiałów porowatych w oparciu o krzywe potencjału kapilarnego otrzymane ll1etodą 
wciskania rtęci, Wykazano, że oba modełe są granicznYll1i przypadkami modelu siecio- 
wego architektury porów dla danego rozkładu ich wymiarów, a rozkłady wyznaczone 
w oparciu o te 1l10dele określają zakres występowania rozkładu wymiarów porów bada- 
nego ll1ateriału. 
W pracy wyprowadzono wzory dla potencjału kapilarnego warstwy ośrodka o ka- 
pilarnej i łańcuchowej strukturze porów. dla dwustronnego wciskania rtęci. w których 
rozkład wymiarów porów jest parametrem funkcyjnym. Właściwy dobór tej funkcji (np. 
ll1etodą optymalizacji) umożliwia uzyskanie jakościowej i ilościowej zgodności teore- 
tycznych i eksperymentalnych krzywych potencjału kapilarnego. 


2. MODELOWANIE WCISKANIA RTĘCI W MATERIAL 
POROWATY 


W pracy rozważać będziell1Y modele ośrodków porowatych. w których poszcze- 
gólne pory są cylindrycznymi kapilarami (ogniwall1i) o jednakowej długości i staty- 
stycznym rozkładzie promieni r opisywanym funkcją gęstości rozkładu prawdopodo- 
bieństwa \[f(r). O strukturze przestrzeni porów takiego ośrodka decydują dwa niezależne 
czynniki: rozkład wymiarów ogniw \[f(r) oraz sposób połączenia ogniw między sobą. 
Ten drugi czynnik będziell1Y nazywali architekturą przestrzeni porów. Architektura po- 
rów powoduje, że dla takiego samego rozkładu promieni ogniw w modelu ll1ateriału 
jego struktura przestrzeni porów może być różna. 
Ze względu na architekturę w pracy będziell1Y wyróżniać trzy rodzaje 1l10deli prze- 
strzeni porów: kapilarny. łaIicuchowy oraz sieciowy. W modelu kapilarnym ogniwa 
o jednakowym proll1ieniu połączone są szeregowo, tworząc dtugie. przenikające cały 
materiał kapilary o stałej średnicy. W modelu łańcuchowym ogniwa połączone są szere- 
gowo w sposób losowy tworząc kapilary o skokowo zmiennej średnicy. W modelu sie- 
ciowym natomiast połączone losowo ogniwa tworzą przestrzenna sieć. 
Aby opisać proces statycznego wciskania rtęci w materiat porowaty rozważymy 
układ, w któryll1 ośrodek taki o pustych w chwili początkowej porach zajmuje półprze-
>>>
Zastosowanie granicznych modeli przestrzeni porów... 


77 


. strzeń z  O, natomiast rtęć będąca z nim w bezpośrednim kontakcie zajmuje półprze- 
strzeń z  O (rys. I). Dla przestrzeni porów szkieletu przyjmujemy łańcuchowy model 
ich architektury. Ogranicza to stopień złożoności matematycznego opisu procesu wcis- 
kania rtęci, nie eliminując możliwości oceny wpływu architektury porów na krzywe 
potencjału kapilarnego ośrodka. 


rtęć 
I 



 


l, 
tfl 
--' 
W 
rr 

 
,i 
..L 


"'= 


. 
porowaty 
mat
r
 


Rys. ł. Schemat układu porowaty materiał - rtęć 


Biorąc pod uwagę, że rtęć nie zwilża powierzchni większości materiałów, pod 
wpływem ciśnienia p rtęć wejdzie w kapilary półprzestrzeni ośrodka porowatego, a jej 
meniski zatrzymają się na tych ogniwach, w których ciśnienie w nęci zostanie zrówno- 
ważone ciśnieniem kapilarnym, tzn. na ogniwach o promieniu r mniejszym od promienia 
,* określonego wzorem: 


, * = 2acos(O)/ p, 


(I) 


gdzie a jest współczynnikiem napięcia powierzchniowego rtęci, a B jest kątem zwilża- 
nia materiału szkieletu przez rtęć. 
Ogniwa, których promień spełnia warunek (I) nazywać będziemy za pracą [5] 
ogniwami krytycznymi. Dzielą one wszystkie pozostałe ogniwa na dwie klasy: ogniwa 
nadkrytyczne - o promieniu większym od krytycznego, w które rtęć może wnikać przy 
danym ciśnieniu, oraz ogniwa podkrytyczne - o promieniu mniejszym od krytycznego, 
których zapełnienie przez rtęć o danym ciśnieniu jest niemożliwe. 
Używając zaproponowanej nomenklatury. możemy powiedzieć, że w procesie wci- 
skania, rtęć zapełnia tylko nadł-.rytyczne ogniwa początkowe kapilar, aż do miejsca, 
w którym po raz pierwszy wystąpi ogniwo podkrytyczne. Ze względu na statystyczny 
charakter rozkladu promieni ogniw i stałą wartość jego długości, głębokość położenia 
menisków w kapilarach będzie przyjmowała dyskretne wartości statystyczne równe 
wielokrotności długości ogniwa. Jedynie w kapilarach. w których pierwsze ogniwo jest 
podkrytyczne, meniski wystąpią na powierzchni półprzestrzeni ośrodka porowatego. 
Oznaczmy przez prawdopodobieństwo wystąpienia rtęci w dowolnej kapilarze na 
głębokości - od powierzchni półprzestrzeni. Funkcja ta dla = = O przyjmuje wartość 
jeden: 


F(O) = I. 


(2) 


natomiast dla O  = 
 a funkcja ta jest równa prawdopodobieństwu
>>>
78 


M. Cieszko, M. Kempiński 


OC! 
'7 = f ljI(r) dr 
r* 


(3) 


wysta'pienia ogniwa nadkrytycznego wśród pierwszych ogniw kapilar. Mamy: 


F(::) = 11. 


(4) 


Aby wyznaczyć równanie określające postać funkcji F(::) wewnątrz półprzestrzeni 
::  a przyjmujell1Y, że w jednostce powierzchni półprzestrzeni występuje (średnio) 171 
kapilar. a przez 171 0 oznaczymy liczbę kapilar w jednostce powierzchni, w których rtęć 
występuje na głębokości ::. Z częstotliwościowej interpretacj i prawdopodobieństwa 
otrzYll1ujemy: 


m==mF(::). 


(5) 


Ze wzoru (5) bezpośrednio otrzYll1ujell1Y. że liczba mo_a kapilar zapełnionych rtę- 
cią na głębokości ::-a dana jest wzorem 


m =_(/ = m F ( :: - a) . 


(6) 


Jednakże. jeżeli wziąć pod uwagę jedynie te kapilary jednostkowej powierzchni 
w których na głębokości ::-a występuje rtęć. to wśród tych kapilar część będzie zapel- 
niona rtęcią również na głębokości ::. Prawdopodobieństwo wystąpienia kapilar zapeł- 
nionych rtęcią na głębokości:: wśród kapilar zapełnionych na głębokości ::-a jest równe 
prawdopodobieństwu wystąpienia ogniwa nadkrytycznego wśród ogniw łączących po- 
ziom ::-a i::. Mamy: 


m=/m=_(/ = 'l. 


(7) 


Po uwzględnieniu wyrażeń (5) i (6) otrzymujemy: 


F(::) = 'l F(::-a). 


(8) 


Jest to poszukiwane równanie funkcyjne dla prawdopodobieństwa F(::) wystąpienia 
rtęci na głębokości:: od powierzchni półprzestrzeni. Jest ono określone dla::  a . Funk- 
cja ta musi spełniać warunki (2) i (4). 
Rozwiązaniem równania (8), spełniającYIl1 warunki (2) i (4), jest wyrażenie: 


r 11 k (/]
 I 
F(::) = 
 k ,, ] 
l 'l 


d/a - (/ \t N 
d/u :: a E N 


(9) 


w którym [::!a] jest częścią całkowitą liczby ::/u. Może być ono aproksYll1owane z góry 
runkeją: 


F;;(::)='l= 


(/ + I 


(10) 


a z dołu funkcją postaci: 


F ( ' ) : a 
j)::='l . 


( 1\ )
>>>
Zastosowanie granicznych modeli przestrzeni porów... 


79 


3, POTENCJAŁ KAPILARNY WARSTWY OŚRODKA 
POROWATEGO 


3.1. Model jednostronnego wciskania rtęci 


Wykorzystall1Y funkcję F(::) głębokości wnikania rtęci, określającej prawdopodo- 
bieństwo wystąpienia rtęci na głębokości:: od powierzchni półprzestrzeni ośrodka po- 
rowatego, aby wyznaczyć zależność objętości VL(p) rtęci wciśniętej w powierzchniową 
warstwę ośrodka porowatego o grubości L i polu powierzchni S. od ciśnienia p w rtęci. 
Zależność taka jest ściśle związana z architekturą porów i rozkładem ich wielkości 
w ośrodku i jest nazywana potencjałem kapilarnym ośrodka porowatego, 
Ogólna postać runkcji potencjału kapilarnego ośrodka porowatego o łańcuchowej 
strukturze porów dana jest wzorem: 


v/ (p) 
V 
" 


-v 
r C l f. 
----;- - f F(::) d:: 
r- L () 


( 12) 


gdzie: 


-.Y l CI) 
r c = - f r c IV (r) dr, 
/7 r* 


( 13) 


- 
, 
jest średnią wartością kwadratu promieni ogniw nadkrytycznych. Przez r oznaczono 
natoll1iast średnią wartość kwadratu promieni wszystkich ogniw, a przez V o całkowitą 
objętość porów w wyróżnionYIl1 elemencie ośrodka: 


v" = ITmLSr c 


Wielkość Iv(r)/11 może być interpretowana jako gęstość rozkładu prawdopodobień- 
stwa promieni ogniw w zbiorze ogniw nadkrytycznych. Mamy: 


.I) 
f \1 1 (r) 11 dr = l. 


r* 


Wprowadzając funkcję: 


,1(r)=r2Iv(r) r', 


(ł 4) 


opisującą !.!estość rozkladu prawdopodobieństwa względnej objętości ogniw kapilar 
w ośrodku: 


f) 
f ,1(r) dr = l , 
() 


wyrażenie (12) możemy przedstawić w postaci: 


V/(p) 
/. 
,) 


( ' . 
l i. I Je 
1- f FI::) d:: I f ,1(r)dr. 
/ 7 L J . 
\ I) / r" 


( 15)
>>>
80 


M. Cieszko, M. Kempiński 


Wyrażenie w naWtaSle określone jest- przez architekturę porów modelowego 
ośrodka porowatego oraz sposób prowadzenia procesu wciskania rtęci w próbkę. 
Model kapilarny 
Z modelem kapilarnym ośrodka porowatego w warstwie będziemy mieli do czy- 
nienia, jeśli założymy, że grubość warstwy jest mniejsza od długości ogniwa: 
O  z  L  a. 


Wówczas funkcja głębokości wnikania rtęci (9) przyjmuje stałą wartość: 


F(z) = f}, 
a funkcja potencjału kapilarnego (5) redukuje się do postaci: 


VI. (p) 
V o 


co 
f 9(r) dr. 
r* 


(16) 


]Ii/odel łańcuchowy 
Dla modelu łańcuchowego struktury porów ośrodka porowatego, rozkład rtęci 
w warstwie przy jednostronnym wciskaniu dany jest wzorem (9), dlatego funkcja poten- 
cjału kapilarnego (15) przyjmuje postać: 
VI.(p) _ _ _ 1 l-T{ co f 
9(r) dr 
V o N l-f} r* 


(17) 


gdzie N= L/a jest liczbą ogniw w każdej kapilarze warstwy. 


3.2. Model dwustronnego wciskania rtęci 
Wykorzystamy funkcję potencjału kapilarnego (17) dla wciskania rtęci w półprze- 
strzeń porowatego ośrodka, aby wyznaczyć taką funkcję dla procesu obustronnego wcis- 
kania rtęci w warstwę o grubości L (rys. 2). 


r

 


porowaty 
materiał 


- .,", 
,rtęć 


i. 


,. 
.. ,.,./
 - -'-----Ł :.". 
-
-____?:_
 -----..,...,... --ł---... ----- m.
 
..... 
:
 


Rys. 2. Dwustronne wciskanie rtęci w warstwę ośrodka porowatego
>>>
Zastosowanie granicznych ll10deli przestrzeni porów... 


8ł 


Przebieg wciskania obustronnego rtęci w warstwę może być rozważany równo- 
ważnie jako proces realizowany w dwóch etapach, najpierw wciskania np. lewostronne- 
go. a następnie prawostronnego. Przy wciskaniu lewostronnym rtęcią zostaną zapełnione 
całkowicie wszystkie kapilary nadkrytyczne (o ogniwach nadkrytycznych), a przebieg 
wciskania prawostronnego rtęci w kapilary podkrytyczne (zawierające również ogniwa 
podkrytyczne ) będzie niezależny od przebiegu wciskania lewostronnego. Wyznaczymy 
rozkład rtęci w warstwie, tj. prawdopodobieństwo G(::) wystąpienia rtęci na głębokości 
- od jej powierzchni. 
Ponieważ wielkość (patrz wzór (9)) 


F( L) = 11\ 


(18) 


określa prawdopodobieństwo wystąpienia rtęci w dowolnie wybranej kapilarze na głę- 
bokości L od powierzchni warstwy, przy lewostronnym wciskaniu rtęci (kapilara jest 
całkowicie zapełniona rtęcią). liczba m.v kapilar całkowicie zapełnionych rtęcią (nad- 
krytycznych) w jednostce powierzchni warstwy dana będzie wzorem: 


\ 
m \ = m F(L) = 111 11 . 


( 19) 


Oznacza to że liczba mI' kapilar podkrytycznych (częściowo zapełnionych rtęcią) 
będzie różnicą liczb m i 111\. Mamy: 


v 
mI' = 111 (ł - 11 ). (20) 
Wykorzystując z kolei fakt, że funkcja F(::), dana wzorell1 (9), określa prawdopo- 
dobieństwo występowania rtęci na głębokości :: dowolnie wybranej kapilary przy lewo- 
stronnym wciskaniu 11ęci, liczba mt kapilar w jednostce powierzchni warstwy, w któ- 
rych taka sytuacja występuje określona jest wzorem: 


mt = m F(::) , 


(2 ł) 


natoll1iast liczba mi'! kapilar podkrytycznych zapełnionych lewostronnie rtęcią na głę- 
bokości:: będzie różnicą I11t oraz liczby my kapilar nadkrytycznych (całkowicie zapeł- 
nionych): 


m t,! = m (F(::)-F(L)), 


(22) 


Ponieważ zagadnienie wciskania rtęci w kapilary podkrytyczne jest symetryczne. 
otrzYll1all1Y podobne UO (22) wyrażenie określające liczbę m),1' kapilar podkrytycznych 
zapełnionych na głębokość s od prawostronnego brzegu warstwy. 
Mamy zatem: 


111;,1' = m (F(s)- F(L)). 


(23) 


Ze względu na zależność ::
\' = L otrzYll1ujemy 


mt,!, = m(F(L-::)- F(L)). 


(24)
>>>
82 


M, Cieszko, M. Kempiński 


Dlatego liczba mf, wszystkich kapilar podkrytycznych zapełnionych na głębokości 
_ przy obustronnym wciskaniu rtęci w warstwę. będzie SUll1ą kapilar podkrytycznych 
zapełnionych lewostronnie i prawostronnie do głębokości -, 


- - 
mi' = mi'!' + m 1'1. . 


(25) 


Po uwzględnieniu (22) i (24) otrzymamy: 


mf, = m(F(::)+F(L-::)-2F(L)), 


(26) 


Liczba /1/ wszystkich kapilar zapełnionych rtęcią na głębokość:: przy obustronnym 
wciskaniu rtęci będzie natomiast sumą liczby mv kapilar nadkrytycznych i liczby mf, 
kapilar podkrytycznych zapełnionych na głębokość ::. 
Biorąc pod uwagę, że prawdopodobieństwo C(::) występowania rtęci w kapilarze 
warstwy na głębokości:: przy obustronnym wciskaniu dane jest wzorem: 


C(::) = mO / m. 


(27) 


z (19) i (26) mamy: 


C(::) = F(::) + F(L -::)- F(L). 


(28) 


Dla aproksymacji z dołu wzorem (11) otrzYll1ujemy 
C(Z) = 11 (11V" +I1VII-II -!lv) 


(29) 


gdzie: Z = z/L, 


Funkcja potencjału kapilarnego warstwy przy dwustronnYIl1 wciskaniu rtęci dana 
będzie wzorem analogicznYIl1 do wyrażenia ( 15): 


VI (p) 
V" 


[ 
 II C(::)d :: ] 
'7 L li ,." 


-n 
I [} (r) dr, 


(30) 


które po uwzględnieniu (28) redukuje się do postaci: 


VI (p) = ( 2 
 _ I1V-II} [}(r) dr. 
V" NI-11 ),., 


(31 ) 


4. WPŁYW STRUKTURY PORÓW NA POTENCJAL KAPILARNY 
OŚRODKA 


W poprzednim podpunkcie otrzymaliśll1Y dwa różne wyrażenia dla runkcji poten- 
cjału kapilarnego warstwy ośrodka porowatego. Funkcja ta dla 1l10delu kapilarnego 
struktury porów w warstwie ośrodka porowatego dana jest wzorell1 (16), natomiast dla 
modelu łańcuchowego przy jednostronnym i dwustronnym wciskaniu rtęci dana jest 
wzorami (17) i (3 I). Z ich postaci wynika, że względna objętość porów w wyróżnionej 
części ośrodka, zapełnionych rtęcią przy danym ciśnieniu określona jest przez iloczyn 
dwóch wielkości: udział objętościowy ogniw nadkrytycznych w ośrodku dany całką
>>>
Zastosowanie granicznych modeli przestrzeni porów... 


83 


'l) 
f & (r) dr, 


r': 


oraz współczynnik charakteryzujący stopień zapełnienia ogniw nadkrytycznych rtęcią, 
którego wartość określona jest wyrażeniell1 występującym przed tą całką. Współczynnik 
ten zależy od przyjętego 1l10delu architektury porów ośrodka, od sposobu realizacj i 
procesu wciskania rtęci, a także od względnej grubości warstwy ośrodka N = L/a. Po- 
stać tego współczynnika określa różnicę pomiędzy uzyskanymi w pracy postaciami 
funkcji potencjału kapilarnego. Wynika z nich, że jedynie w przypadku 1l10delu kapilar- 
nego wszystkie ogniwa nadkrytyczne zapełniane są rtęcią przy danYIl1 ciśnieniu. Jest to 
ewidentny niedostatek tego modelu, 
Na rysunku 3 przedstawiono przebiegi krzywych potencjału kapilarnego dla war- 
stwy ośrodka porowatego o kapilarnej i łańcuchowej architekturze porów szkieletu przy 
dwustronnym wciskaniu rtęci. Założono przy tYIl1. że rozkłady rozmiarów porów w obu 
przypadkach opisane są trójparall1etrową runkcją wYll1ierną postaci: 


( ) lI1+n . ( n-I ) (r/rJIII 
\v r =-s/n -rr 
rrr m+n 1+( ' I ) '11+11 
" f / r() 


(32) 


której parall1etry 1"" ' /11 i n są związane z wartością średnią promienia ogniwa r i śred- 
nią wartością jego kwadratu r C zależnościall1i: 


- sin((rr(n-I);(m+I1)) 2 c sin (rr(n-I)/(m+n)) 
r = r() s i n (rr (11 - 2) (111 + n)),r = /
) S in ( rr ( n - 3) / (111 + n)) . 


(33) 


Taka postać funkcji (32) zapewnia, że zarówno w zakresie dużych, jak i ll1ałych 
wartości proll1ieni porów ich rozkłady są runkcjami potęgowymi. Wykresy na rysunku 3 
sporządzono dla takich samych waI10ści parametrów funkcji rozkładu: r" = 0,05 
Lm, 
m = 3. n = 6, przy N = 30, (J = 0,485 N/m. e = 130. Oznacza to. że w obu przypadkach 
objętościowy rozkład porów w ośrodku jest identyczny. Różnią się one jedynie archi- 
tekturą przestrzeni porów. tj. sposobem połączenia ogniw. Różnica w przebiegu krzy- 
wych potencjału kapilarnego określa zatem stopień ich zależności od architektury prze- 
strzeni porów. 
Z rysunku 3 wynika. że w całYIl1 zakresie ciśnień objętość rtęci wciśniętej w ośro- 
dek o architekturze łańcuchowej porów jest mniejsza od objętości rtęci, jaka przy takim 
samym ciśnieniu zostałaby wciśnięta w ośrodek o architekturze kapilarnej. Obie krzywe 
reprezentują przy tym graniczne przebiegi runkcji potencjału kapilarnego, jakie dla 
danego rozkładu objętościowego promieni ogniw mogą osiągać ośrodki o różnej ich 
architekturze. W 1l10delu kapilarnym wszystkie ogniwa nad krytyczne ośrodka są zapeł- 
niane rtęcią przy danym ciśnieniu. Natoll1iast w modelu łańcuchowym o statystycznym 
charakterze połączeń ogniw liczba ogniw nadkrytycznych zapełnianych rtęciąjest ll1ini- 
maina, ze względu na brak połączeń pomiędzy łaJ1cuchami ogniw. Wystąpienie takich 
połączeń w ośrodku zmienia architekturę porów z lańcuchowej na sieciową, powodując 
jednocześnie wzrost liczby ogniw nadkrytycznych zapełnionych przy danYIl1 ciśnieniu. 
W modelu sieciowym bowiem znacznie wzrasta liczba dróg zapełniania każdego ogni- 
wa. W rezultacie krzywe potencjalu kapilarnego ośrodka o sieciowej architekturze po- 
rów będą leżaly pomiędzy krzywymi potencjału kapilarnego ośrodków o architekturze
>>>
84 


M. Cieszko, M. Kempiński 


kapilarnej i łańcuchowej porów. Oznacza to, że modele kapilarny i łańcuchowy są 
dwoma granicznymi przypadkami sieciowych modeli architektury przestrzeni porów. 
Funkcje potencjału kapilarnego dla obu tych granicznych przypadków mogą być zatem 
traktowane jako estymatory funkcji potencjału kapilarnego modeli sieciowych architek- 
tury przestrzeni porów materiałów porowatych. 


t (K) 
V/Vo 
0.9 """ 
0.8 
0.7 
0.6 
0.5 
0.4 
0.3 
0.2 
0.1 
00 10 20 30 40 SO p [kPal 60 


Rys. 3. Krzywe potencjału kapilarnego warstwy porowatego ośrodka o kapilarnej (K), lańcucho- 
wej (Ł) i sieciowej (Slo S1) architekturze porów otrzymane dla takiego samego rozkładu 
promieni ogniw 


Na rysunku 3 liniami przerywanymi przedstawiono przykładowe krzywe potencja- 
łu kapilarnego dla dwóch modeli sieciowych struktury przestrzeni porów utworzonych 
z ogniw o takim samym rozkładzie promieni jak ogniwa tworzące model kapilarny 
i łańcuchowy. Z odmienności przebiegu tych krzywych wynika, że obok rozkładu pro- 
mieni ogniw w modelu, o kształcie krzywych potencjału kapilarnego ośrodka decyduje 
także architektura przestrzeni porów. 


5. ESTYMACJA ROZKŁADU WYMIARÓW PORÓW 


Procedura wyznaczania rozkładów wymiarów porów w materiałach porowatych na 
podstawie eksperymentalnych krzywych potencjału kapilarnego otrzymywanych metodą 
porozymetrii rtęciowej wymaga zastosowania modelu struktury przestrzeni porów mate- 
riału do interpretacji wyników pomiarów. O jej dokładności decyduje stopień zgodności 
przyjętego modelu struktury ze strukturą porów badanego materiału porowatego. Ze 
względu na złożoność struktury porów rzeczywistych materiałów modele takie znajdują 
się wciąż jeszcze w fazie opracowywania. Uwarunkowania te powodują, że w standar- 
dowych porozymetrach rtęciowych rozkłady wymiarów porów wyznaczane są w sposób
>>>
Zastosowanie granicznych modeli przestrzeni porów,.. 


85 


przybliżony w oparciu o prosty. kapilarny model struktury przestrzeni porów materiałów 
porowatych. 
W punkcie tym pokażemy. że wykorzystanie modelu kapilarnego i łańcuchowego 
arch itektury przestrzen i porów do interpretacj i eksperymentalnych krzywych potencjału 
kapilarnego materiałów porowatych umożliwia wyznaczenie granicznych rozkładów 
określających zakres występowania rozkładu promieni porów badanego ll1ateriału. Aby 
to wykazać przyjmiemy założenie. że model sieciowy dobrze opisuje przestrzeń porów 
ll1ateriału porowatego oraz wykorzystall1Y fakt że model kapilarny i łańcuchowy prze- 
strzeni porów są granicznymi przypadkami modelu sieciowego. 
Zgodnie z rozważaniami przeprowadzonymi w poprzednill1 punkcie, wyznaczona 
eksperyll1entalnie krzywa potencjału kapilarnego materiału porowatego będzie przebie- 
gać pOll1iędzy krzywymi potencjału kapilarnego dla kapilarnego i łańcuchowego 1l10delu 
architektury porów wyznaczonymi dla takiego sall1ego rozkładu promieni ogniw jak 
w ll1ateriale (rys. 3). Rozkład ten mógłby być określony na podstawie każdej z tych 
trzech krzywych potencjału kapilarnego, jeślibyśmy do ich interpretacji zastosowali 
odpowiadający ill1 1l10del architektury porów. Jednakże, w przypadku badanego mate- 
riału porowatego nieznany jest model (sieciowy) jego architektury porów, a w pozosta- 
łych dwóch przypadkach sytuacja jest odwrotna; znane są modele, nieznane są natomiast 
przebiegi krzywych potencjału kapilarnego. Dokładne określenie rozkładu wYll1iarów 
porów ll1ateriału w tym przypadku jest niemożliwe. Możemy jednak zastosować oba 
znane 1l10dele architektury porów do interpretacji krzywej potencjału kapilarnego mate- 
riału. Umożliwia to wyznaczenie krzywych rozkładu ograniczających zakres występo- 
wania krzywej rozkładu proll1ieni ogniw w materiale. Wynika to z faktu, że niezależnie 
od architektury porów modelu, każdemu przesunięciu krzywej potencjału kapilarnego 
w kierunku większych ciśnień (rys. 3) odpowiada przesunięcie generującej ją krzywej 
rozkładu wYll1iarów porów w kierunku mniejszych promieni, i odwrotnie. Oznacza to. 
że interpretacja krzywej potencjału kapilarnego ośrodka o architekturze sieciowej porów 
za pOll1ocą 1l10delu kapilarnego umożliwia wyznaczenie granicznego rozkładu porów 
w zakresie małych ich wymiarów, natomiast taka interpretacja za pOll1ocą 1l10delu łańcu- 
chowego ull10żliwia wyznaczenie rozkładu granicznego w zakresie dużych porów. Jest 
to bezpośrednia konsekwencja raktu, że krzywe potencjału kapilarnego dla modeli sie- 
ciowych leżą pomiędzy krzywYll1i potencjału dla modelu kapilarnego i łańcuchowego. 
Dlatego rzeczywiste krzywe rozkładu porów w materiale będą leżały pomiędzy wyzna- 
czonYll1i w ten sposób rozkładami granicznymi. 
Na rysunku 4 przedstawiono wykresy krzywych rozkładu promieni porów odpowia- 
dające krzywym potencjału kapilarnego przedstawionYIl1 na rysunku 3 linią ciągłą (R) 
i wykreślono krzywą rozkładu promieni ogniw na podstawie której sporządzono wykresy 
potencjałów kapilarnych ośrodków o kapilarnej (AJ i łańcuchowej (Ł) architekturze porów. 
Krzywa ta reprezentuje także rozkład wymiarów porów w ośrodkach o sieciowej architek- 
turze, których potencjały kapilarne wykreślono na rysunku 3 liniami przerywanymi (S, 
i S2). Liniami przerywanYll1i na rysunku 4 przedstawiono natoll1iast dwie pary wykresów 
rozkładów porów wyznaczone z krzywych potencjału kapilarnego SI i 5'= w oparciu o mo- 
del kapilarny i łańcuchowy architektury porów. Linie SI!; i Sil reprezentują rozkłady gra- 
niczne dla krzywej SI, a linie S2J.: i S21 rozkłady takie dla krzywej S2'
>>>
86 M. Cieszko, M. Kempiński 
a)S(r" b) " 
9 (r) 
" " 
(SIK) 
(S,.) 
" " 
" 
" 
" " 
,. 
" , 
, 


Rys. 4. Krzywa rozkładu promieni porów porowatego materiału (R) oraz jej rozkłady graniczne 
wyznaczone dla dwóch sieciowych architektur porów przedstawionych na rysunku 3: 
a) dla SI, b) dla S2 


Wyznaczane na podstawie tych rozkładów wartości średnie promieni ogniw wyno- 
szą odpowiednio: 


r S1K = 0,04, YsIŁ = 0,063 ; r.."2K = 0,033 , r S 2Ł = 0,077 


(r R = 0,050) . 


Liczby YsIK i r S1Ł estymują rzeczywistą wartość średnią r R rozkładu porów w ośrodku 
o sieciowej architekturze porów, dla którego potencjał kapilarny dany jest krzywą S.. 
natomiast liczby r.'I2K i rS2Ł estymują wartość średnią rR w ośrodku o potencjale kapi- 
larnym S2. 


6. PODSUMOWANIE 


W pracy zaproponowano wykorzystanie kapilarnego i łańcuchowego modelu ar- 
chitektury porów do wyznaczania granicznych rozkładów wymiarów porów materiałów 
porowatych w oparciu o krzywe potencjału kapilarnego otrzymane metodą wciskania 
rtęci. Rozważono modele ośrodków porowatych, w których poszczególne pory są cylin- 
drycznymi kapilarami (ogniwami) o jednakowej długości i statystycznym rozkładzie 
promieni r opisywanym funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa \jf(r). O struktu- 
rze przestrzeni porów takiego ośrodka decydują dwa niezależne czynniki: rozkład wy_ 
miarów porów (ogniw) \jf(r) oraz sposób połączenia ogniw między sobą, nazywany 
w pracy architekturą przestrzeni porów. Ze względu na architekturę w pracy wyróżniono 
trzy rodzaje modeli przestrzeni porów: kapilarny, łańcuchowy oraz sieciowy. W modelu 
kapilarnym ogniwa o jednakowym promieniu połączone są szeregowo, tworząc długie, 
przenikające cały materiał kapilary o stałej średnicy. W modelu łańcuchowym ogniwa 
połączone są szeregowo w sposób losowy tworząc kapilary o skokowo zmiennej średni- 
cy. W modelu sieciowym natomiast połączone losowo ogniwa tworzą przestrzenną sieć. 
W pracy wyprowadzono wzory dla potencjału kapilarnego warstwy ośrodka o ka- 
pilarnej i łańcuchowej strukturze porów, dla dwustronnego wciskania rtęci, w których 
rozkład wymiarów porów jest parametrem funkcyjnym. Umożliwiło to uzyskanie wyra- 
żeń określających krzywe potencjału kapilarnego ośrodków o kapilarnej i łańcuchowej 
strukturze porów. Wykazano, że obie krzywe reprezentują przy tym graniczne przebiegi
>>>
Zastosowanie granicznych modeli przestrzeni porów... 


87 


funkcji potencjału kapilarnego, jakie dla danego rozkładu objętościowego promieni 
ogniw mogą osiągać ośrodki o różnej ich architekturze. W modelu kapilarnym wszystkie 
ogniwa nadkrytyczne ośrodka są zapełniane rtęcią przy danym ciśnieniu. Natomiast 
w 1l10delu łańcuchowym o statystycznym charakterze połączeń ogniw liczba ogniw nad- 
krytycznych zapelnianych rtęcią jest minimalna. ze względu na brak połączeń pomiędzy 
łańcuchami ogniw. Wystąpienie takich połączeń w ośrodku zmienia architekturę porów 
z łańcuchowej na sieciową, powodując jednocześnie wzrost liczby ogniw nadkrytycz- 
nych zapełnionych przy danYIl1 ciśnieniu. W modelu sieciowym bowiem znacznie wzra- 
sta liczba dróg zapełniania każdego ogniwa, W rezultacie krzywe potencjału kapilarne- 
go ośrodka o sieciowej architekturze porów będą leżały pomiędzy krzywymi potencjału 
kapilarnego ośrodków o architekturze kapilarnej i łańcuchowej porów. Umożliwia to 
wyznaczenie krzywych rozkladu ograniczających zakres występowania krzywej rozkła- 
du promieni ogniw w materiale. 


LITERATURA 


[I] Scheideger A.E.. 1957. The physics ol' tlow through porous ll1edia. Univ. Press 
Toronto. 
[2] Aksielrud G.A., Altszuler M.A.. 1987. Ruch masy w ciałach porowatych. WNT 
Warszawa. 
[3] Leclaire P., Swift MJ.. Horoshenkov V., 1998. Detennining the specific area of 
porous accustic material from water extraction data. J. Appl. Phys. 
[4] Webb P.A., 01'1' c.: Analyticalmethods in fine particie technołogy. Micrometitics 
Instrument Corporation. Norcross, GA USA. 
[5] Czuzmadżew LA.. Markin W.S.. Transewicz M.R.. 1971. Makrokinetyka proce- 
sow w poristych sriedach. Nauka Moskwa. 
[6] Cieszko M., Kempiński M. Zastosowanie łańcuchowego modelu porów do opisu 
procesu wnikania cieczy w materiał porowaty (praca przygotowana do druku). 
[7] Gerstenkorn L Sródka T.. 1976. KOll1binatoryka i rachunek prawdopodobień- 
stwa. PWN Warszawa. 
[8] Diamond S., 1971. A critical comparison ol' mercury intrusion porosi metry and 
capillary condensation pore size distribution ol' Portland cell1ent pastes. Cem, 
Concr. Res. 11(5).531-545. 


APPLICA nON OF LIl'vIIT PORE SIZE DISTRIBUTION OF POROUS 
MA TERIALS FROM MERCUR y INTRUSION CURVES 


Sumll1ary 


The distribution ol' pore diameters is the fundall1ental characteristics ol' micro- 
scopic pore space structure or porous materials. lt enables one to determine basic macro- 
scopic parameters ol' such materials (e.g. volume porosity. permeability Ol' internal sur- 
race) that play ill1portant role in many physical and chell1ical processes appearing in
>>>
88 


M. Cieszko, M. Kempiński 


permeable porous' materials (e.q. filtration, transport ol' ll1ass. momentUIl1 and energy, 
wave propagation Ol' chemical reaction). 
The wide spread method ol' determination ol' pore diameters consists in the inter- 
pretation of capillary potential curves obtained from measurement ol' ll1ercury intrusion 
into porous sample Ol' from measurement ol' volull1e ol' wetting fluid (water Ol' ethyl 
alcohol) removed from sample (e.g. by gas extrusion) at progressively increasing pres- 
sure. Such interpretation is based on the assumption that at increasing pressure the ll1er- 
cury is intrudes against the capillary forces in pores ol' decreasing diameter. It is 
equivalent to the assumption that the pore structure ol' real porous material can be mod- 
eled by a bundle ol' capillaries with ran dom distribution of diameters. Similarly, the data 
obtained rrom fluid extrusion are interpreted. That simplified model, however, do not 
take into account the very comll1on situations appearing in real porous ll1aterial. where 
large pores are often joined with other pores by narrow necks. It unable the mercury to 
fulfilI these large pores at pressure corresponding to their diameter. As a result the 
curves of pore diall1eter distribution deterll1ined in such way reduce the volume ol' large 
pores contained in measured materia!. enlarging the real volull1e ol' smali pores. 
The purpose of this paper is to present the ll1ethod ol' determination ol' limit pore 
size distribution in porous material based on interpretation experill1ental capillary po- 
tential curves obtained rrom the mercllry intrusion measurell1ent. It is shown that the 
capillary and chain models ofpore architecture applied in the paper are the lill1it cases ol' 
the web 1l10del for a given pore size distribution and distributions obtained on the basis 
of these models detennine the range ol' occurrence of pore size distributions if investi- 
gated ll1aterial. 
Keywords: mercury porosimetry, pore size distribution, capillary potential
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


OPIS ANIZOTROPOWEJ STRUKTURY PRZESTRZENI PORÓW 
WIĄZKI KWADRATOWYCH WŁÓKIEN UŁOŻONYCH 
W SIATCE KWADRATOWEJ. 
ZASTOSOWANIE METRYKI PRZESTRZENI MINKOWSKlEGO 


Mieczysław Cieszko, Wojciech Kriese 
Instytut ivkchaniki ŚrodO\viska i Informatyki Stosowanej 
Wy dzial ivlatematy ki Techniki i Nauk Przyrodniczych 
Akademia Bydgoska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkiewicza 30. 8S-0M Bydgoszcz 


\\ pracy sl\mmdO\vano uogÓlniony makroskopO\v y opis anizotropowych 
\\ lasności metrycznych przestrzeni porÓw ośrodka porowatego utworzonego 
przez wiązkO; rÓ\\I1oleglych włÓkien o przekroju kvvadratowym i osiach ułożonych 
regułamie \\ \\o;zlach siatki kvvadratowej. Wykorzystano przy tym podejście, 
w ktÓrym przestrzeń porÓw szkieletu rozważana jest jako anizotropowa przestrzeń 
\!Iinkowskiego. ktÓrej lensor metryczny ndgrywa podstawową rolę w opisie zja- 
wisk transportu w takim ośrodku. 


SIO\\a kluczom:: matcrial pOrlmaty. nrzcstrzeli lvIinko\\skiego. grupy symetrii 


I. WSTĘP 


W pracy przedstawiono uogólniony makroskopowy opis anizotropowych włas- 
ności metrycznych przestrzeni porów ośrodka porowatego utworzonego przez wiązkę 
równoległych włókien o przekroju kwadratowYIl1 i osiach ułożonych regularnie w wę- 
złach siatki kwadratowej (rys. 1). Z układami takimi mall1Y do czynienia przy rozwią- 
zywaniu problemów inżynierskich w różnych dziedzinach. Dotyczy to zarówno własno- 
ści tiltracyjnych i akustycznych ukladu wlókien zanurzonego w płynie, własności ter- 
micznych układu prętów paliwowych. chłodzenia wytwarzanych włókien syntetycz- 
nych. a także wlasności elektrycznych osrodka o nieprzewodzących włóknach umiesz- 
czonych w przewodzącym materiale. np. w elektrolicie. 
We wszystkich pracach dotyczących opisu procesów transportu zachodzących 
w takill1 ośrodku przyjmuje się, że jest on izotropowy w płaszczyźnie prostopadłej do 
osi włókien (prętów). Jest to bezpośrednią konsekwencją założenia liniowej zależności 
pOll1iędzy wektorem gradientu potencjału wywołującego proces transportu i wektorell1 
gęstości strumienia transportowanej wielkości. Wiążący te dwie wielkości współczyn- 
nik jest wówczas symetrycznym tensorem drugiego rzędu. Narzuca to silne ogranicze- 
nia na rodzaj anizotropii ośrodka. jaki może być opisany takim prawell1. Ze względu na 
symetrię tensora, w najogólniejszym przypadku jest to ortotropia. Opis taki odniesiony 
do układu włókien uporządkowanych IV siatce kwadratowej pociąga za sobą koniecz-
>>>
90 


M. Cieszko, W. Kriese 


ność lłznania takiego ośrodka za makroskopowo izotropowy w płaszczyźnie prostopa- 
dłej do osi włókien, a cały ośrodek za transwersalnie izotropowy. 
Taka rozbieżność pomiędzy rzeczywistą symetrią mikroskopowej struktury porów 
rozważanego materiału porowatego a symetrią własności makroskopowych takiego 
ośrodka powodowaną zastosowaniem liniowego prawa opisującego proces transportu 
budzi szereg wątpliwości co do dostatecznej ogólności takiego opisu. 


I . 
-
-----
------ 
I I' "" I 
I I '" I 
- G -L ----- Qr - ; - e___
__ EB L . 
I "I ł 
" 
I I I 
" I 
" I 
" I 
" I 
"I I 
,': -' e , +H ------ H-+ 
" 


I " 
I " 
__.f__ _ 
". 
" . 


e2
 


Rys. I. Wiązka kwadratowych włókien uporządkowanych w siatce kwadratowej 


Odmienne podejście zaproponowano w pracach [1-3] poświęconych modelowaniu 
ruchu płynu w nieodkształcalnym ośrodku porowatym o anizotropowej strukturze prze- 
strzeni porów. W pracach tych ruch płynu w porach szkieletu tworzących anizotropową 
strukturę rozważany jest jako ruch kontinuum materialnego w anizotropowej przestrzeni 
metrycznej Minkowskiego. Takie podejście .umożliwiło otrzymanie opisu. w którym 
nawet powolne procesy transportu masy płynu. czy procesy propagacji falo małej am- 
plitudzie opisywane są prawami nie liniowo zależnymi od kierunku przebiegu procesu. 
Podstawową rolę w tych prawach odgrywa tensor metrycznej przestrzeni porów rozwa- 
żanej jako przestrzeń Minkowskiego [1,4,5]. 
Celem niniejszej pracy jest sformułowanie ogólnej postaci makroskopowej metry- 
ki dwuwymiarowej przestrzeni porów ośrodka porowatego utworzonej w płaszczyźnie 
prostopadłej do osi równoległych kwadratowych włókien uporządkowanych w węzłach 
siatki kwadratowej. Do opisu własności metrycznych takiej przestrzeni wykorzystano 
tensor czwartego rzędu o symetriach tensora sztywności, występującego w liniowej 
teorii sprężystości anizotropowych materiałów. Dokonano rozkładu widmowego tego 
tensora oraz wyznaczono grupę tensorów opisujących punktowe symetrie siatki kwa- 
dratowej. Umożliwiło to zredukowanie ogólnej reprezentacji metryki określonej przez 
tensor czwartego rzędu do postaci, w której jawnie występują jedynie dwa skalarne 
parametry, ściśle związane z parametrami krętości porów w kierunkach głównych prze- 
strzeni porów. Wyznaczono także graniczne wartości stopnia anizotropii, jakie może 
osiągać dwuwymiarowa przestrzeń o symetriach siatki kwadratowej.
>>>
Opis anizotropowej struktury przestrzeni porów... 


91 


2. OZNACZENIA l PODSTAWOWE DEFINICJE 


Wi!klOIT i tel1.\'ol\'. W rozważaniach prowadzonych w pracy przez V będziell1Y 
oznaczali 3-wymiarową przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych R, 
a przez V* przestrzeń wektorową dualną do V. Elementy przestrzeni V oznaczamy 
przez u. v, w i nazywamy wektorall1i. natoll1iast elell1enty przestrzeni V* nazywamy 
kowektorami i oznaczamy ..gwiazdką", np. lI*, v*, w*. Jeśli u E V i v* E V*. wówczas 
skalar: 


u.v* = v*.u E R 


nazywać będziell1Y iloczynem dualnYIl1 wektora II i kowektora v*. Kropką (.) oznaczać 
będziemy biliniowe działanie zewnętrzne określone na elell1entach przestrzeni V oraz 
V* i nazywać będziemy mnożeniem dualnYIl1. 
T ensory są rozważane w pracy jako wieloliniowe odwzorowania przestrzeni wek- 
torowych. Są one elementami przestrzeni liniowych będących iloczynall1i tensorowYll1i 
przestrzeni wektorowych. Na przykład ten SOI' A E V&N* jest endomorfizll1ell1 prze- 
strzeni V i V*. Dla II E V i v* E V* mamy: A.u E V i v*.A E V*. Iloczyny tensoro- 
we wektorów UQv* są najprostszYll1i postaciami tensorów w przestrzeni V@V*. 
Ponieważ w dalszych rozważaniach będziell1Y ll1ieli do czynienia z tensorall1i dru- 
giego i trzecieg\J rzędu. dla uproszczenia działań wykonywanych na tych obiektach 
wprowadzamy alternatywne oznaczenia iloczynów tensorowych. Dla u, v, w E V ll1amy: 


, ( Ul V . V 
' V 2 -c, ( lI j \ ''' V 1 r '" H ( liX ) p, v 3 
w.v '" \ V) Ec i -.') , UC9V(,-,W '" l 
 E 'i:) " U0.1V(yX0Y == V Y E 0 . 


L"110J'mOmll1e pr::e.l'tr::enie wektorowe. Przestrzeń wektorowa V nazywana jest 
przestrzenią unormowaną. jeśli została na niej określona rzeczywista funkcja u = L\(u). 
która spełnia następujące aksjoll1aty [4]: 


L \(11) O dla 11"* O oraz L,(O) = O. 


( ł ) 


L \(k II) = k L \(11) dla lo;.  O, 


(2) 


L \(u + v)  L \(u) + L\(v) 


(3) 


dla liniowo niezależnych wektorów u, v E V. 
Funkcja L \( u) o własnościach ( 173) jest nazywana normą przestrzeni wektorowej V. 
'\Jorma L \\ u I umożliwia określenie odległości między elementami przestrzeni V 
spełniającej aksjomaty uogólnionej metryki. Mamy: 


d(lI. v) == L\(v - u) 


(4) 


:V1etryka (4 L jak wynika z aksjomatów ( 173). w ogólnym przypadku nie musi być 
symetryczna \ d( u. v) '"' d( v, u) ). 
W wielu rrzypadkach wykorzystując unormowaną przestrzeń wektorową, zamiast 
metryki L \( li) wygodniej jest postugiwać się tensorem metrycznym tej przestrzeni.
>>>
92 


M. Cieszko. W. Kriese 


Tensol' taki definiowany jest wzorem [6]: 


,",1 -, 
) I n-L-:\(u) 
M\(u = - 
.
 
2 nu nu 


E V*0V* 


(5) 


i ze względu na jednorodność normy L\(u). daną wzorem (2). ma on następujące wła- 
sności: 


u.M\(u).u", Li (u). 2 M\(u).u '" (
Li (u)/?u. 


(6) 


M\(k u) '" M\(u), dla k  O. 


(7) 


Z własności (7) wynika, że w ogólnym przypadku tensol' metryczny M \(u) zależy 
od kierunku wektora u, natomiast nie zależy od jego długości. Ta własność tensora 
lVL.(u) określa anizotropowe własności unormowanej przestrzeni wektorowej. 
Pr::estr::enie ufinic::ne. Parę (P, V) złożoną z punktu P i przestrzeni wektorowej V 
będziemy utożsall1iali z afiniczną przestrzenią punktową. Takie utożsamienie jest 1l10Ż- 
liwe. bowiell1 struktura obu obiektów jest izomorticzna. Punkt P jest nazywany punk- 
tem odniesienia, a V przestrzenią wektorów położenia punktów. Przestrzeli (P, V) jest 
unormowana, jeśli przestrzeń wektorowa V jest unorll1owana. 


3. METRYKA MINKOWSKlEGO ANIZOTROPOWEJ 
PRZESTRZENI PORÓW 


W niniejszYIl1 punkcie sformulujemy ogólną postać makroskopowej metryki I 
L\(r) dwuwYll1iarowej przestrzeni porów (r E V : dim(V) = 2). wykorzystując w roz- 
ważaniach tensol' C E2c) V*
 czwartego rzędu o symetriach tensora sztywności, wystę- 
pującego w liniowej teorii sprężystości anizotropowych ll1ateriałów. Metryka ta ma 
postać [1.2]: 


L-ł(r) = ( r ) :c: ( ri .. 
.-\ r r! 


(8) 


przy czym tensol' C ma następujące symetrie: 


( U \] : C : ( Xi = (v' ) ': C J x \ = ( U J " : C : ( y \1 = ( x" . :: C : r u \) ( 9 ) 
\V) y) ,u \.y) V \x/ y; \v) 


gdzie u, v, x. y E V są dowolnymi wektorami. Tensor C będziell1Y nazywali tensorem 
struktury anizotropowej przestrzeni porów. Skladowe tensora C, obok warunków ,y- 
ll1etrii (9) oraz żądania dodatniej określoności, ograniczać będzie także warunek wypu- 
kłości funkcji (8) lub generowanej przez nią indykatrysy metryki 
)rzestrzeni porów 
danej równaniem 


(N\' C . ( N ) 
(N)" '\N 


I. 


( 10) 


I ponk\\aż norma L.,tr) przL:strzcni V gcnL:rujL: Il1ctr;k.; !.,(r - si tL:.i rr/L:str/L:lli, hL:d/iCI11; la- 
l11iL:lllliL: uży\\ali obu tyd1 poj.;ć.
>>>
Opis anizotropowej struktury przestrzeni porów.., 


93 


Norma (8) w sposób jednoznaczny określa postać tensora metrycznego lvlir) 
anizotropowej przestrzeni. Otrzymujemy [I]: 


I ?h"( r J l [ ( j ] 
M I ( r) = 
 I
 = _ . _ L -\ ( r ) (2 C + er) - 2 C: ' r ' r r : C . r (I l) 
2 eri'r L()(rJ I' I 
.1 


Interesującą postać metryki (8) otrzymamy dokonując rozkładu widmowego tenso- 
ra C. W tym celu w przestrzeni tensorów symetrycznych drugiego rzędu: 
S* =sym( @V*" l. 


definiujemy iloczyn skalarny UoV dowolnych tensorów U, V E S*. Przyjmujemy: 


[ Jr l ) 
U V = U: M-I . V 


( 12) 


gdzie M-i jest tensorem metrycznYIl1 euklidesowej dualnej przestrzeni wektorowej V*. 
Przestrzei1 S* jest trójwymiarowa, zatem dowolne trzy liniowo niezależne tensory tej 
przestrzeni tworząjej bazę, np. (Sm) (m = I. 2,3). Ponieważ w przestrzeni S* określony 
zostal iloczyn skalarny (12), wśród wszystkich możliwych baz możemy wyróżnić bazy 
ortogonalne. np. : K"/}, spełniające warunek: 


K", oK" = 8",,/, (m, /1 = 1,2.3). 


( ł 3) 


Wówczas dowolny tensol' T E S* będzie ll1iał reprezentację postaci: 


T=T m K", 


( 14) 


gdzie: T,,, = T ) K", jest m-tą składową tensora T w bazie l Km}. 
Wykorzystując przestrzeń S* tensorów sYll1etrycznych drugiego rzędu możell1Y 
utworzyć dziewięciowymiarową przestrzei1 S*@S* tensorów czwartego rzędu. Wów- 
czas tensol' struktury C będzie elementem tej przestrzeni 


C E S*r'9S* 


i może być przedstawiony w postaci [6.7]: 
C = CXi KI KI + CX2 K, K 2 .,.. CX; K; K" 


( 15) 


o ile tensory K" E S* (/1 = I. 2, 3) ortonormalnej bazy przestrzeni S są tensorall1i wła- 
snYll1i tcnsora czwartego rzędu C. Wówczas skalarne wspólczynniki cx" występujące we 
wzorze (15) będą odpowiednill1i jego wartościami własnymi. Wielkości te spełniają 
równanie: 


(M-Ii 
C .'1 _I I. 1\11 
\\/ ) 


CX I1 1\11 . 


( 16) 


Wykorzystując tensory ortogonalnej bazy: K,,) można utworzyć tensory ortogo- 
nalnego rzutu Pll postaci: 


Pll 


M-l 
M-I 


:K II 


Kil' 


( 17)
>>>
94 


M. Cieszko, W. Kriese 


spełniające warunki: 


P . p -JPI1 
111' 11 - I O 
l 


111=11 . 


111 *-11 . 


Tensory te ull10żliwiają ortogonalny rozklad jednostkowego autoll1ortizmu .J prze- 
strzeni S*, dany wzorem: 


_ 1 (( 1\. . ( III 
J -"2 \I)-C. I))' 


( 18) 


Zachodzi równość: 


P1+Pc+P,=,J. 


( 19) 


Za pomocą tensOl-ów rzutu (ł 7) reprezentacja ( 15) tensora struktury C może być 
przedstawiona w postaci: 
c=(
):(alPI u.oPc"'-CJ.3P,), 


(20) 


Z kolei uwzględnienie reprezentacj i ( 15) w definicj i metryki (8) daje wyrażenie: 


l l l 
L;\ (r) = a l ( KI: U) r + a 2 ( K 2 : U) r ;- a 3 ( K 3 : (
) r (21) 


z którego można wnioskować, że norma L:\ (r) będzie dodatnio określona. jeśli 
wszystkie wartości własne a n będą nieujemne. 
Wzory (21) i (11) są ogólnYll1i postaciam i normy i tensora metrycznego dwuwy- 
ll1iarowej przestrzeni porów w materiałach, w których makroskopowa struktura 1l10że 
być charakteryzowana tensorell1 czwartego rzędu. 
Z reprezentacji (20) tensora C wynika. że tensol' ten będzie wyznaczał metrykę 
przestrzeni porów o określonej symetrii. jeśli wyróżnione tensory rzutu będą niezmien- 
nicze względell1 grupy symetrii obrotowej charakteryzującej symetrię tej przestrzeni. 


4. GRUPA PUNKTOWYCH SYMETRII SIATKI KWADRATOWEJ 


Aby otrzymać jawną postać metryki anizotropowej przestrzeni określonej przez ten- 
SOI' czwartego rzędu, właściwej dla przestrzeni porów ośrodka porowatego, utworzonej 
przez układ kwadratowych włókien uporządkowany ch w siatce kwadratowej (rys. l). 
wyznaczymy ortogonalne tensory tworzące grupę punktowych symeu-ii tej siatki. Za 
punkt wyjścia przyjmiemy ogólne przedstawienie tensora ortogonalnego Q E V@V* 
trójwymiarowej przestrzeni wektorowej V za pomocą jednostkowego tensora przeciw- 
sprzężonego: 


W= E,. ,vi 


(22) 


gdzie Ec E /\ V c jest tensorell1 antysymetrycznym reprezentującym element powierzchni 
o jednostkowym polu mierzonym względem metryki Euklidesa. 
Reprezentacja tensora ortogonalnego Q ma postac: 


Q = I -;- sin(u) W 
 ( I - COS(U)) W:. 


(23)
>>>
Opis anizotropowej struktury przestrzeni porów... 


95 


gdzie a jest kątem obrotu tensora Q dookoła osi będącej wektorem osiowym tensora W. 
Wykorzystując jednostkowy tensol' antysymetryczny E} E 1\ V} trzeciego rzędu, wektor 
osiowy e} tensora antysymetrycznego E 2 możell1Y przedstawić w postaci: 


e, = E, : S : E 2 . 


(24) 


Wówczas. oznaczając przez el i e2 dowolne dwa wersory, które wraz z e} tworzą 
bazę ortonormalną w przestrzeni V. tensol' W dany będzie wzorem: 


l 2 
W=e2iSJe -e1iSJe 


(25) 


gdzie: 


e l = M. e , 


(26) 


są wersorami dualnymi do e l , spełniającymi zależność: 


el.e/=o/ 


(27) 


Wektor ei w takim przypadku jest wersorem własnYIl1 tensora ortogonalnego Q. 
Z (23) ll1amy: 


Q . e3 = e}. 


(28) 


Jeśli założymy. że przestrzeń V jest dwuwymiarowa (dim(V) = 2) i zawiera wekto- 
ry el i e2- wówczas z (25) otrzymujemy: 


W 2 = - L 


(29) 


a reprezentacja (23) redukuje się do postaci: 


Q = I cos(a) + W sin(a). 


(30) 


Przyjmujemy teraz. że wersory el i e2 pokrywają się z głównymi osiall1i sYll1etrii 
siatki kwadratowej (rys. I). Podstawowa symetria siatki kwadratowej wynika z jej nie- 
zll1ienniczości przy obrocie o kąt ex = ;-(/2. W takim przypadku tensol' obrotu (30) redu- 
kuje się do postaci: 


Q=W. 


(3 I) 


Pon ieważ 


W2
-L W'=-W. W
=W2, 


automortizmy 


W. L - L 


(32) 


będą należały do grupy symetrii siatki kwadratowej. 
Tensol' I jest automortizmem tożsamościowYll1, natomiast - I okresla symetrię 
środkową siatki kwadratowej. Nie są to jednakże wszystkie symetrie punktowe tej siat- 
ki. Pełną grupę otrzymamy. żądając dodatkowo spełnienia symetrii osiowych siatki 
kwadratoweJ. 
Wyznaczymy postać tensora. ktÓry IV dwuwymiarowej przestrzeni reprezentuje 
odwzorowanie właściwe symetrii osiO\\ej. Niech vektor m wyznacza kierunek osi sy- 
metri i. Pon ie\\ aż wektor: 


n=W.m
>>>
96 


M. Cieszko, W. Kriese 


jest prostopadły do m. zatell1 wektory n i m tworzą bazę ortonormalną w 2-wymiaro- 
wej przestrzeni V. Dla dowolnego wektora u E V mamy: 


u = Uli/ m -!- Uli n 


(33 ) 


gdzie 


U/II = u.M'm , 


Uli = u.M'n . 


(34) 


Tensor Y/II E V@V* będzie odwzorowywał wektor u na wektor v symetryczny do 
wektora u względem osi wyznaczonej przez wersor m. tj.: 


v= VII/' u, 


(35) 


jeśli reprezentacja wektora v będzie postaci: 


v = Uli/ 111 - Uli n. 


(36) 


Wykorzystując zależności (3..ł) i (36) w (35). oraz dowolność wektora u. dla tenso- 
ra Y/II otrzymamy wyrażenie: 


Viii = m@m.M - n@n.M. 


(37) 


Ze wzoru (37) wynika, że ten SOI' symetrii względem osi el ma postać: 
VI=el@el-e"@e", 


(38) 


natomiast względell1 osi e" dany jest przez wyrażenie: 


, I 
V"=e"@e--el@e =.-V I . 


(39) 


Biorąc pod uwagę. że wersor e wyznaczający przekątną prostokąta (rys. I) może 
być przedstawiony poprzez wersory el i e" za pomocą wzoru: 
e = (el -'- e")/J2 
tensor Y symetrii względem osi e przyjmie postać: 


, . I 
V=el @e--e"@e. 


(40 ) 


Tensol' Y. podobnie jak tensory (32), jest elementem grupy symetrii siatki kwa- 
dratowej. Ponieważ: 


-Y,W = W.V = el @ e l - e" @ e" c= Y I . 
zatell1 pe!na grupa symetrii siarki kwadratowej skladać Stę będzie z następujących li- 
niowo niezależnych elementów: 


L V. VI. W. 


HI) 


Tensory: L V, VI sa samosprzeżone. a tensol' W jest przeciwsprzężony. Tensory V 
i VI tworzą zbiór generatorow grupy symetrii siatki kwadratowej. Oznacza to. że każd: 
elell1ent tej grupy tensorów może być uzyskany jako iloczyn tensorów V i VI.
>>>
Opis anizotropowej struktury przestrzeni porów... 


97 


5, MAKROSKOPOWA METRYKA PRZESTRZENI PORÓW 
UKŁADU WŁÓKIEN KWADRATOWYCH 


Wykorzystamy liniowo niezależne, sall1osprzężone tensory: I, V, V l, charaktery- 
zujące symetrię siatki kwadratowej. aby ogólną postać ll1etryki (21) zredukować do 
postaci opisującej makroskopową strukturę przestrzeni porów ośrodka utworzonego 
przez układ kwadratowych włókien ułożonych w siatce kwadratowej. W tym celu 
z tensOl'ów L V, V I utworzYIl1Y bazę ortonorll1alną w przestrzeni tensorów symetrycz- 
nych S*= ,IYI71 ( :;;,y*2:. Mnożąc tensory L V. V I lewostronnie przez tensol' ll1etryczny M 
otrzYll1ujemy symetryczne tensory będące elementami przestrzeni S*: 


M = M.I , 


V = M.V , 


VI = M .V l . 


(42) 


Ponieważ przestrzeń S* jest trójwymiarowa, a tensory M, V, VI są liniowo nie- 
zależne. zatem tworzą one bazę tej przestrzeni. Latwo można sprawdzić. że tensory te są 
ortogonalne względell1 iloczynu skalarnego. zdetiniowanego wzorell1 (12): 


M ej VI = O . M V = O , VI V = O . 


Tensory M, V. VI nie są natomiast unormowane. Biorąc pod uwagę, że 


-l -- 
M O M = M: M = 2 . VI O VI = 2 , V O V = 2 , 


jako ortonormalne tensory, przyjll1ujemy: 


I 
KI =-M 
.fi 


I l ( li (2 Y J l l ( l ' li (2 r 
.fi 1,:1) + l:2) , K 2 = .fi VI = .fi l :1) -l:2)j 

 ((:
 j + (:
 j J . 


1- 
K, =-V 
.' .fi 


(43 ) 


Wykorzystując zależności (43), tensory rzutu ortogonalnego ( 17) przyjll1ą postać: 


I ( l 
I e I e I e 2 e- 
Pl = -:;- M -l 8J M. P 2 = l + 2 - PI' P 3 = J - PI - P 2 . 
ele le2 e 
Tensory (43) umożliwiają przedstawienie wyrażenia (21) dła ll1etryki przestrzeni 
porów, w postaci odpowiadającej strukturze o sYll1etrii siatki kwadratowej. Przyjmuje 
ono postać: 


(44) 



 ' ( . ' , ) 
L\ ( r) = fJ ( re r ( + q (r o e I ) - + (r c e: ) - . 


(45) 


gdzie u o v 
natomiast 


u. M. v jest iloczynell1 skalarnYIl1 wektorów u i v w przestrzeni V. 


p = G, .;.. (Gl - (2)e. q= G2 - G,. 


(46) 


"iiezmienniczość metryki (45) przy zamianie miejscami wersorów el i e2 jest od- 
zwierciedleniem symetrii przyjętej struktury porów ośrodka.
>>>
98 


!VI, Cieszko. W. Kriese 


Występujące w (45) parametry skalarne p i q ll10gą być wyrażone przez wielkości 
o ściśle określonym znaczeniu geoll1etrycznym, jeśli uwzględnimy bezpośredni związek 
metryki L,(r) przestrzeni porów z krętością porów o(n) porowatego ośrodka. Związek 
ten, dla dowolnego kierunku określonego euklidesowYIl1 wersorem n, dany jest wzorem 
[1.2]: 


8 C (n) = n.MA(n).n = L,
(n). 


(-m 


Wówczas metryka (45) może być przedstawiona w postaci: 
L
(r) = 8
 [(ror)C + 4(a -1)(roeJ)C (roec)c]. 


(48) 


gdzie: 


a = 8
; /8
 . 


(49) 


przy cZYIl1 parall1etry 8 0 i 8 p są krętościami porów ośrodka porowatego w kierunkach 
głównych (odpowiednio) el (lub e c ) i e przestrzeni porów (rys. I). Z postaci norll1Y (48) 
wynika, że jest ona dodatnio określona dla dowolnych wartości parametrów 8,) i bp. 
Parall1etr a jest ll1iarą anizotropii struktury przestrzeni porów. Dla przestrzen i izotropo- 
wej a = I. Zakres zmienności tego parametru dodatkowo ogranicza warunek (3) wypu- 
kłości funkcj i L,,( r). Z warunku tego otrzYll1ujemy: 


1/:2  a  :2. 


Oznacza to, że maksymalny stopień anizotropii przestrzeni porów o symetrii siatki 
kwadratowej nie może przekroczyć wartości -:{fi . 
Wykorzystując normę (48). funkcję krętości porów, daną wzorem (47), możemy 
zapisać za pomocą wyrażenia: 


8 4 (0) = 8:
 [l + 4(a-l)(ooe i )C (nJec)C], 


(50) 


a we współrzędnych biegunowych redukuje się do postaci: 


8 4 = b
 [I + (a -I) sin C (:2ip)J. 
gdzie ip jest kątell1 pomiędzy wersorami ej i n. 
Biorąc pod uwagę. że wektor: 


(51 ) 


ren) = n 'o(n). 


ma jednostkową długość względell1 metryki Minkowskiego, odwrotność funkcji kręto- 
ści porów będzie opisywać dwuwymiarową powierzchnię indykatrysy przestrzeni :Vlin- 
kowskiego. 
Na rysunku 2 przedstawiono wykresy linii indykatrys dla granicznych wal10ści 
krętości porów bp oraz odpowiadające im wykresy runkcj i krętości porów O( n). Z posta- 
ci tych wykresów wynika, że żądanie wypukłości indykatrysy przestrzeni Minkowskie- 
go nie pociaga za sobą wypukłości runkcji krętości porów 0(n).
>>>
Opis anizotropowej struktury przestrzeni porów... 


a) 


a = 1/2 


l 
I 
I 
I 
J 
/ 
--
 


99 


b) 


a=2 


/' .,,
. 
/ '" 
, O ......... 
a = 1/2 , 


05 1 


/ 
// 


_/ 


Rys. 2. Wykresy indykatrysy (a) i funkcji krętości porów (b) anizotropowej przestrzeni porów 
o punktowych symetriach siatki kwadratowej. odpowiadające granicznym wartościom pa- 
rametru krętości Dp 


6. PODSUMOWANIE 


W pracy sformułowano ogólną postać makroskopowej metryki dwuwymiarowej 
przestrzeni porów ośrodka porowatego utworzonej w płaszczyźnie prostopadłej do osi 
równoległych włókien o przekroju kwadratowym uporządkowanych w węzłach siatki 
kwadratowej. Do opisu własności metrycznych takiej przestrzeni wykorzystano tensor 
czwartego rzędu o symetriach tensora sztywności występującego w liniowej teorii sprę- 
żystości anizotropowych materiałów. 
Dokonano rozkładu widmowego tego tensora oraz wyznaczono grupę tensorów 
opisujących punktowe symetrie siatki kwadratowej. Umożliwiło to zredukowanie ogól- 
nej reprezentacji metryki określonej przez tensor czwartego rzędu do postaci. w której 
jawnie występują dwa skalarne parametry ściśle związane z parametrami krętości porów 
w kierunkach głównych przestrzeni porów. Wyznaczono także- graniczne wartości stop- 
nia anizotropii. jakie może osiągać dwuwymiarowa przestrzeń o symetriach siatki kwa- 
dratowej. 
Otrzymana w pracy postać metryki może być wykorzystana do opisu procesów 
transportu masy. ciepła, ładunku. a także opisu własności akustycznych nasyconych 
płynem ośrodków porowatych. których anizotropowa struktura przestrzeni porów cha- 
rakteryzowana jest przez grupę punktowych symetrii siatki kwadratowej. Przeprowa- 
dzone rozważania wykazały, że nawet w przypadku (ak prostej struktury przestrzeni 
porów szkieletu. pełny opis zachodzących w nim procesów wymaga wykorzystania 
rozszerzonego podejścia. w którym koncepcja anizotropowej przestrzeni Minkowskiego 
odgrywa podstawową rolę.
>>>
100 


M. Cieszko. W. Kriese 


LITERA TURA 


[1] Cieszko M., 200 l. Mechanika płynu w anizotropowej przestrzeni porów materia- 
łów przepuszczalnych. Zastosowanie przestrzeni M inkowskiego. Wyd. Akademii 
Bydgoskiej. 
[2] Cieszko M., 2000. Application ot' Minkowski Space to Description ol' Anisotropic 
Pore Space Structure in Porous Materials. ZAMM 80, 129-132. 
[3] Cieszko M., 2000. Mechanics ol' Fluid in Anisotropic Space. ModelIing ol' Fluid 
Motion in Porous Medium. [In:] Theoretical and Numerical Methods in Continuum 
Mechanics ol' Porous Materials, W. Ehlers (ed.), KluYer Academic Publishers. 
Dordrecht - Boston- London. 
[4] Rund H., 1959. The DitTerential Geometry ot' FinsieI' Spaces. Springer- Verlag. 
Bel'I in-Gotti ngen- H eide I berg. 
[5] Tholl1pson A.C., 1988. Minkowski Geometry. Encyclopaedia ol' Mathematics and 
its Applications. Cambridge University Press. 
[6] Rychlewski J., ł988. Symmetry ol' Tensol' Functions and SpectralTheorell1. Ad- 
vances in Mechanics l ł(3), 77-125. 
[7] Rychlewski J., 1995. Unconventional Approach to Linear Elasticity. Arch. Mech. 
47, 149-ł 71. 


DESCRIPTION OF ANISOTROPIC PORE SP ACE STRUCTURE 
OF BUNDLE OF SQUARE FIBRES ARRANGED IN SQUARE NET. 
APPLICA TION OF iVIINKOWSKI SP ACE METRIC 


Summary 


In the paper the generalized macroscopic description is rormulated 1'01' anisotropic 
pore space structure of porOlIS material formed by bund le ol' square tibres arranged in 
square net. In considerations the pore space ol' porous material is modeled as anisotropic 
Minkowski space the metric ten sol' ol' which plays the fundamental role in description 
oftransport phenoll1ena in such medium. 
Keywords: porous ll1aterial, Minkowski space. groups ol' symmetry
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 
 MECHANIKA 54 
 2004 


OPTYMALIZACJA DRGAŃ WYDZIELONEGO OBSZARU 
UKŁADU DYSKRETNO-CIĄGŁEGO 


Paweł Frankowski, Henryk Holka 


Katedra ivkchaniki StosO\vanej 
Wydział Mechaniczny A TR 
ul. Prot'. S. Kaliskiego 7, 85-796 Bydgoszcz 


W pracy omÓwiono dwa wydzielone zagadnienia. W pierwszym za pomocą 
strukturalnej syntezy podatności określono warunki jakie muszą być spełnione, 
aby w wyznaczonych punktach konstrukcji drgania byly równe zeru. Rozważana 
konstrukcja reprezentuje uklad dyskretno-ciągly. W dalszej części pracy ilość 
punktów rozszerzono do trzech, a następnie poszukiwano takich optymalnych 
warunków. aby drgania we wszystkich wybranych punktach były minimalne. 


Słowa kluczowe: drgania. optymalizacja drgań. podatność 


1. WSTĘP 


Jedną z metod sterowania drganiami w wybranych punktach konstrukcji jest mo- 
dyfikacja strukturalna. Polega ona na zll1ianie jego struktury poprzez dołączenie układu 
dodatkowego. W niniejszej pracy rozpatrywano układ dyskretno-ciągły. Problell1em 
otwartYIl1 tak postawionego zadania jest metoda opisu rozpatrywanego modelu. Ponie- 
waż w rozpatrywanej pracy układy ciągłe są gabarytowo duże i trudne do opisu anali- 
tycznego, wybrano ll1etodę opisu bazującą na syntezie podatności dynamicznych [l], 
Metoda ta jest o tyle wygodna, że pozwala łączyć podatności układów ciągłych 
i dyskretnych. Po drugie. podatność układów ciągłych można wyznaczyć analitycznie. 
numerycznie 
 metodą MES lub zmierzyć doświadczalnie. Liczba punktów w których 
będziell1Y ll1ierzyli podatności - i to jest wielką zaletą tej metody 
 jest ograniczona 
tylko do liczby polączeli z ukladami dyskretnymi i ewentualną liczbą dodatkowych 
wybranych punktów konstrukcji. Wymienioną powyżej ll1etodą określono warunki. 
jakie muszą być spełnione, aby w wybranym punkcie konstrukcji drgania były równe 
zeru. Jeżeli ilość interesujących nas punktów zwiększymy (w niniejszej pracy do 
trzech). to zadanie znacznie się komplikuje. a drgania w dodatkowych dwóch punktach 
nie będąjuż równe i mogą nawet osiągać znaczne wartości, 
Celem pracy był optymalny dobór dołączonej lub istniejącej w innym punkcie 
konstrukcji masy tak. aby drgania w wybranym obszarze konstrukcji były ll1inimalne. 
Powyższe zadanie można opisać bardziej praktycznie: posadowić istniejącą ll1a- 
szynę w takim miejscu, aby drgania w wydzielonym obszarze hali (obszarze labora- 
toriull1) były ll1inimalne.
>>>
ł02 


P. Frankowski. H. Holka 


2. SYNTEZA PODATNOŚCI 


Analizowany będzie układ liniowy ciągły o podatności y, do którego w obszarze C 
zall1ocowano podukład dyskretny o podatności 0, rysunek l. 


Pj{t) 


Rys. l. Model ukladu 


Należy zapewnić wymagany i optymalny poziom drgań w obszarze B w punktach 
B ł , B 2 i B 3 , poprzez dobór lub odpowiednie umiejscowienie istniejącej w punkcie 
w obszarze C konstrukcji. układu o podatności 0. jeżeli w obszarze A działa "n" sil 
o postaci P, = sin (w ,t + cpJ. Dła uproszczenia obliczeń przy określonej liniowości 
układu założono. że w obszarze "A" działa tylko jedna siła, co nie ogranicza ogólności 
rozważań. Układ ciągły y opisany jest macierzą podatności. w której elell1entami są 
podatności pomierzone w interesujących nas punktach konstrukcji. 


[y" Y ,w Y"j 
y(iro)= y/),I y/)/) y/)( ( l) 
y( ', y c/) Y("(' 


Zachodzi równość y'/ = Yf/" Ogólny schemat polączenia przedstawiono na rysunku 2. 
Interesująca nas podatność a,B po syntezie wyznaczana jest ze schell1atu przed- 
stawionego na rysunku 3. 
Po zwinięciu obwodu otrzYll1ujemy poszukiwaną podatność alL\( iw): 
y/))y(( +p(( )-y/)(y(/ 
a/),,/ = 
. ¥e( +0(( 


(2) 


Ze wzoru (2) wynika. że dobierając odpowiednio podatność p", możemy sterować 
poziomell1 drgań w punktach B,. 
Można bowiell1 zapisać: 


I a w u" r')1 
r
 I a L _ j 

/) =i a R -/ aJiJi a/)( I O I (3) 

-( L a(j a("JJ a,( J O J
>>>
Optymalizacja drgań wydzielonego obszaru ... 


103 


lub inaczej: 


ZH (iw) = aHiCiw) .p(t) 


(4) 


A 


B 


'- 


Rys. 2. Schemat strukturalny połączenia 


A 


.R 


Rys. 3. Schemat blokowy podatności Qg.\ 


Współrzędna ZH (w) będzie równa zeru, gdy agiA(iw) = O. co będzie spełnione, gdy 
licznik (2) jest równy zeru. 


IBLI (i" T 
cc) - IB,C'(c.\ = O 


(5) 


W powyższYIl1 wzorze wszystkie występujące podatności z wyjątkiem 
'(' są 
dane. Można stąd dobrać takie 
((, aby warunek (5) został spełniony. 


3. OPTYMALIZACJA PODATNOŚCI 


Przyjęto, że kryterium oceny optymalizacji podatności będzie miało postać: 


miI1L[a H (.I! 


(6)
>>>
104 


P. Frankowski. H. Holka 


Wobec czego funkcja dla której będziemy szukali optimum przyjll1uje postać: 


/1 I ¥ HIC '¥ es I 
a&IOpI = I ¥ HI," + 
 
1=1 ¥CC + CC 


(7) 


Przy założeniu, że masa jest sztywno przytwierdzona do podłoża otrzymujemy: 


I 

 = -------;- 
mw- 


(8) 


i podstawiając do (7) otrzymujemy podatność ali1,i w funkcji ll1asy. 
Dla tej funkcji szukane będzie minimum, obliczając: 


oa HI,Wpl 
cm 


=0 


(9) 


4. PRZYKŁAD LICZBOWY 


Analizowany będzie układ dyskretno-ciągły o podatności ¥, do którego w obszarze 
"c" przymocowano na stałe pod układ dyskretny o podatności 
. 
Należalo zapewnić wymagany i optymalny poziom drgań w punktach Bj, B2' B3 
dobierając odpowiednio masę m w punkcie "Ci". 
Dla rozpatrywanego przykładu podatności aHl.1o Cl/C.i' alnl wyrażać będą się 
wzorem: 


a HI,i = l HI,.j 


¥ HI,'!,.I 


(10) 


lU +
u 


dla i = 1.2,3. 
Przy założeniu, że ll1asa m jest na stałe przYll1ocowana w obszarze .,c., otrzYll1u- 
Jemy: 


I 

 u = -------;- 
II](J)- 


(II ) 


Podstawiając (II) do (10) otrzymujemy aHIi (m): 


_, '( Hill, .1 
a HI..j - V l!I.i - I 
fu 
- 
111 W 


( 12) 


Przyjęto następnie. że należy znaleźć taką ll1asę. przy której SUll1a podatności 
będzie najmniejsza. Wobec tego funkcja, której minimum będzie szukane przyjll1ie po 
przekształceniach postać: 


_ , . -'1, _ flil"(lllI1w: 1 
ali.i')!'I - LiV HI." : I 
1=/: (,(II1W - 


( 13)
>>>
OptYll1alizacja drgań wydzielonego obszaru ... 


105 


i stąd: 


, I ' ) I 
_ 
 YIiI,.IYer,mw- -YH/."! -J/ii('Y('A mro - 
a H,
(}f" - L ) 
,
f Yer,mro--J 


(ł4) 


Zakładamy. że układ pracuje przy częstości w = 90 rad/s. Rozpisując wartości bez- 
względne otrzymujemy: 


r y HI. der rrK.D" -y HIA -y HlcYclrmc 
y ccnxJ/ - J 


I Y HI,
Y(( f'/7J/ -y Hi. I, -y HI(Y( 
Yer f'lXJ)- -I 


dla 
lJXJ)
 I = 


, , 
¥ Hi..IJn fJXJ )" -y HIA -y HlcYc.lrK.J/ 
'20 


y((mro
 -I 


( 15) 


) ) 
Y/i/
Y( (JlXJ)- -y H/
 -¥ Hi! Y( 
nm - 
Yn -trKJ}
 -I 


, 1 
Ylii,IY(f'/m" -Y8/..I-Y/ii!'Yu mro - 
dla -:;,0 
¥( I1m
 -I 


Po rozwiązaniu nierówności: 


1 , 
¥Hi.
YC(mw- -y HL! -Ylii!,y(,.
mó)- 
-:;,0 
y((mw- -I 
otrzymujell1Y wartości mas. przy których runkcje: 


( 16) 


) ) 
a - Y/i,I{n lnW - -y iii! -Y/iIC¥U mro - 
/i,.
 - 1 I 
Y((lnW- - 


(17) 


zmieniają znak: określa nam to przedziały: w których funkcja aHm!,1 ma taką samą 
postać. Dla naszego przykładu otrzymano następujące wartości ll1as: mi = -4,26 kg. 
1n2 = 1.23. m} = 1.84. 1n4 = 2.39. 
Dla wszystkich punktów 8 , i zmierzonych wartości podatności y oraz dla przyjętej 
częstości ro funkcja a/iWIJI przyjmie postaci: 


1 
a - {/ilł-Y((mw- -{Hl.I -YHli'Y(IIIJW + 
HA(
JI - 1 
Y erllJw- - I 


1 1 
+ '(w:'..I{er lnll )- -'(11':'.1 -YH2(Yi,jIlJW- + 
{((Inw:'. - I 


(ł 8) 


1 1 
+ {W:'..I¥((I17W- -{a:'..1 -{/i2C{U l17ro - 
'(i (IIJW:'. -I 
dla m E (-:.::-4,26 u  2,39:+ x;)
>>>
106 


P. Frankowski, H. Halka 


o o 
Yfiuy((mw- -y fiU -Yf!1(YI.
!nW- 
afiA(}fi l = 2 + 
Yllmw -I 
+( - Ym.iy((.!n0)2 -Y/ni -YH21Yu 111ro2 ] + 
l Y((1110) -1 


(19) 


l o 
+ YH2!YI(!nro- -YH2j -YH2(Y('i mw - 
Y (11110) 2 - l 


dla 111 E (4,26; ł,23  


) ) 
Y BL.iYCC mw - -y BLI -y BICYCi 111ro - 
aBAOpt=- ) + 
YCCfnO)- -1 


) ) 
y B2.!¥CCfnW- -y B2,/ -y B2CYCI1110)- 
) + 
Ycc!nw- -I 


(20) 


) ) 
Y B2,1Y CC!nO)- - Y m.
 - Y mcY c.
111(1)- 
) 
YCTfnW- -1 


dla fn E (1,23; 1,84  


) ) 
y BLlYeCfn(!)- - Y BL! - Y meY C1/11W- 
aK,Wpt = ) + 
y Ccmro- -I 


) ) 
_ y B2.(( Cc/11ro- - y B2./ - Y B2CY c//11ro- + 
:CC/11W 2 -I 


(21 ) 


) ) 
y B2,/{ CCfnro- - y B2,1 - Y B2CY C //11W- 
) 
Yee/11W- -l 


dla fn E (1.84:2,39) 


Spelniając warunek konieczny wystarczający istnienia ekstremum lokalnego 
obliczall1Y: 


Da H.
( )1" 
D/11 


=0 


(22) 


Dla m E (-x: - 4,26   2.39: + X) pochodna będzie ll1iała postać:
>>>
Optymalizacja drgań wydzielonego obszaru ... 


107 


caR/I)!'1 
cm 
(ycm(J)c - 1 


') , ')? ') 
YHI.
y".(J)- -Y/!IIY,'.j(J)- -y,.(.(J)- YRuY"m(J)- -YRU -YRlcYC..jm(J)- + 
(yc,m(J)c -IJ 
J J J ( J o 
YHc.
Y("UJ- -YHc(,y,,
(J)- -yc.(J)- YRoAY,cm(J)- -YRcA -YmcY,._lm(J)- + 
(yc,m(J)c -IJ 


(ycm(J)C -I 
+ 


+ ( XYR'IYI'(W c --(R]cY(I Wc 


) 
.'!mro- 


(23) 


Warunek (22) będzie spełniony. gdy: 


(l((mw C - łhRl.dnroc -YRlcY(.i roc )+ 
O ( J ' ) 
-y((w- 1/iI./I"mro- -YRU -Y/ilCY(',i mro - + 
- (Yn,mro c -IXy /ic.'!Yn ro2 - Y RcCYU (2 )+ 
' ( ' ' ) 
-Y(('w- l/ic,/Y"mw- -YR2,
 -Yl5ccYu mw - + 
-(Yn,mw 2 -IXYm,
Yn'roc -Imcy(,jro c )+ 
' ( ' ' ) 
- In ro - Y m./YLc mw - - Y m,i - Y f33cYu mro - = O 


(24) 


Po przekształceniach otrzymujell1Y: 


..., ..., ! , ') .., 
- y BIłY CC W - + y BI( ,y CJO)- + Y ccY BUW- - Y B2AY ccO)- + y B2CY C.i ro - + Y ceY B2AO)- + 
l .., .., 
-YB3,jl('('0)- +YB3CYClro
 +YCCYB3..10)
 =0 


(25) 


Równanie (25) nie jest spełnione dla żadnej wartości m. wobec czego m E 0 , 
Dla pozostałych przedziałów zachodzi podobna relacja, wobec czego ekstrema 
funkcji będą na końcach przedziałów. 
Po podstawieniu wal10ści mas do (14) otrzymujell1Y dla 111 = -4.26158 a\BOpt = 
= 0,000105, dla m = 1.842639 a-\BOpt = 0,000125909, dla 111 = 2.399808 a\BOpt = 
= 0.000083, Jako optymalną przyjęto masę 111 = 2,399808 kg i obliczono podatności, 
Wyniki przedstawiono na wykresie.
>>>
108 


P. Frankowski, H. Holka 


0.000300 1 
XBJ.\ 
._ . 

 aR"o 

 :==. 
 - / x o ::= _ _ 
o /'....-.. .-........... 
.s 
,OOO100 , 
 - & 

 ,: 
o . 
Q.. 
.000200 - - I. 
,: 
1;- & 
/.' 
/T'
 
,: X8HO 


......---..--. 



000300 


XB
.\ 


XOJ.\O 


.o.OCI04OO 


.o 000500 
70 



 


80 


lGO 


no 


120 


Częstość 


Rys. -I. Wykresy etBIA " funkcji częstości :? przed opt)'malizacją. .:.:.: po opt
malizacji 


Analizując otrzymane wyniki stwierdzono, !e dla częstości 90 rad/s nastąpiło 
zmniejszenie 
ICthUl z 0,00013 przed optymalizacją do 0,000079 po optymalizacji. 
Nastąpiło równie! zmniejszenie 
ICthUl dla sąsiadujących częstości, np. dla częstości 
80 rad/s z 0.000687 do 0,000139. 


5. 'W'NIOSKI 


ł- Dobierając odpowiednio podatność dodatkowego układu 13("(" mo2:emy sterO\....ac 
drganiami w wybranych punktach konstrukcji. 
') Po optymalizacji znacznie zmniejszyła się podatność dla okreslonej częstoSci w wy- 
branych punktach konstrukcj i. 
3. Wydaje się celowym przeprowadzenie powy1sZ)ch zadań optymalizacji innymi me- 
todam i. 


LITERA, TURA 


(I] Holka H.. 1987. Receptances Synthesis by Means or Block diagrams. VII \\iorld 
Congress on IFTooM Sevilla. 
(2] Kaczorek K.. 1999. Teoria sterowania i systemów. \\'NT Warszawa. 
(3] Niederliński A.. 1971. L"kłady wielowymiarowe automatyki. WNT Warszawa. 
[4] Frankowski P.. 2004. Optymalizacja drgan układów dyskretno-ciągłvch. Jubile- 
uszowa Międzyn. Konf. Nauk. Olsztyn.
>>>
Optymalizacja drgań wydzielonego obszaru ... 


109 


OPTIMIZATION OF VIBRATION OF THE SEPARETED AREA 
OF DISCRETE-CONTINUOUS SYSTEMS 


Summary 


The paper consists ol' two separated problems. In the first by the structural 
synthesis of receptances were described conditions, which have to be done for in the 
selected points ol' the construction vibrations were equal zero. Consider construction 
represents discrete-continuous system. In the second part amount of points was 
increased to three and optill1ized conditions were found that vibrations in alI selected 
points was minimized, 
Keywords: vibrations, optimization ol' vibration, flexibility
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


DETEKCJA NIECIĄGŁOŚCI W PRĘCIE NA PODSTAWIE 
ANALIZY PROPAGACJI F ALI LAMBA 


Joanna Grabowskal. Marek Krawczuk 3 , 
Wiesław Ostachowicz", Magdalena Palacz ' 
l Instytut Maszyn Przepływowych PAN. ul. Fiszera 14. 80-952 Gdańsk 
2 Akadcmia Morska. Wydział Nawigacyjny, Al. Zjednoczenia 3, 81-345 Gdynia 
'Wydzial Elektrotechniki i Automatyki, PeJ, ul. Narutowicza II, 80-952 GdaI1sk 


Praca przedstawia opis metody wykrywania nieciągłości w pn;:tach z wyko- 
rzystaniem zjawiska propagacji t
\li Lamha w ośrodku sprężystym. Do zamodelo- 
wania omH\\ianego zagadnienia zastosowano metodę elementÓw spektralnych. 
Opracowano elementy prętowe z nieciąglościami w postaci pęknięcia zmęczcnio- 
\Vego. skokowcj zmiany pola przekroju poprzecznego czy niejednorodności mate- 
rialu, z jakiego wykonane są hadane pn;:ty. wedlug teorii prętów elementarnej 
i Lo\e'a. Przedstawiono wplyw nieciągłości na zmiany w propagująccj fali Lamha. 


Słom\ kluczO\le: dell1enty spektralne, detekcja uszkodzeń 


l. WPROWADZENIE 


Artykuł omawia próbę identytikacji nieciągłości występujących w elemencie prę- 
towym na podstawie analizy zmian propagującej fali Lamba. Wykrywanie uszkodzeń 
w elementach konstrukcji budowlanych lub ll1echanicznych w początkowej fazie ich 
rozwoju stanowi poważne wyzwanie dla wspólczesnej techniki. W ostatnich latach 
prowadzone są intensywne prace nad zastosowaniell1 metod wibracyjnych do oceny 
sLll1U konstrukcji. Do chwili obecnej opracowano wiele ll1etod detekcji uszkodzeń 
opartych o analizę modalną. Techniki te są z powodzeniem stosowane do monitorowa- 
nia stanu technicznego urządzenia, w którym pojawienie się uszkodzenia powoduje 
zmiany w kilku niższych częstościach i postaciach drgań własnych. Analiza wyższych 
częstości prowadzi do wyznaczenia parametrów modalnych z większYll1i błędami. 
Można temu zapobiec zwiększając stopień złożoności modelu, co prowadzi do znacz- 
nych utrudnień numerycznych zwiazanych ll1iędzy innymi z czasell1 obliczeniowym. 
Wiadomo również, że małe uszkodzenia powodują niewielkie zmiany parametrów 1110- 
dalnych. Są to zmiany rzędu błędów pomiarowych. Dlatego też ostatnie badania prowa- 
dzone sa w kierunku wykorzystania zmian w propagowaniu się fal w strukturach. 
Przedmiotem niniejszej pracy jest omówienie zagadnienia propagacji fali Lamba 
w prętach z nieciągłościami w postaci jednostronnego. nie propagującego pęknięcia 
zmęczeniowego. skokowej zmiany pola powierzchni czy niejednorodności materiału, 
z jakiego wykonane są badane pręty. Modele prętów zbudowane są z wykorzystaniem 
metody elementów spektralnych, która podobna jest do metody elementów skończo- 
nych. z ty m, że w ll1etodzie elementów spektralnych elementy macierzy sztywności są
>>>
112 


J. Grabowska, M. Krawczuk, W. Ostachowicz. M. Palacz 


wyznaczane w dziedzinie częstotliwości. Pozwala to na dokładny opis tak zwanej 
sztywności dynamicznej układu. 
Pierwsza część artykułu omawia sposoby budowania macierzy sztywności dyna- 
micznej spektralnych elementów prętowych według teorii elementarnej i Love'a. Na- 
stępnie przedstawiona jest procedura wyznaczania podatności elementu sprężystego 
modelującego poprzeczne pęknięcie zmęczeniowe. Ostatnia część pracy zawiera opis 
proponowanej metody detekcji uszkodzeń opartej o zmiany w propagujących sygnałach 
wraz z podsumowaniem i wnioskami. 


2. MODELE PRĘTÓW 


Rozdział ten zawiera opis opracowanych modeli elementów spektralnych wg teorii 
elementarnej i Love'a. 


2.1. Teoria elementarna 


Model spektralnego elementu skończonego opartego na teorii elementarnej przed- 
stawiony jest na rysunku la. Element ma długość L i stały przekrój A. Element posiada 
dwa węzły, po jednym stopniu swobody w każdym węźle (przemieszczenia wzdłużne). 


qj 


't 
-+______n 


b) --- P+--------S 


a) 


L 


c) t ' 1 J q, . x 
.. -- 
L, 
L. 
tv 


Rys. l. Model spektralnego elementu skończonego dla teorii elementarnej i teorii Love"a - a). 
model elementu throw-otf - b). model elementu z nieciągłością- c) 


Teoria elementarna zakłada. że odkształcenia wzdłuż osi neutralnej pręta są stałe 
we wszystkich punktach przekroju. Odkształcenia poprzeczne są niewielkie i można ich 
nie uwzględniać. Równanie różniczkowe opisujące zagadnienie dla pręta wg teorii ele- 
mentarnej przedstawia się następująco: 


...'" ....." 
EA C-uD _ pA C-UD = O 
ax 2 at 2 
Warunki brzegowe przyjmują postać: 
. _ Cito 
Ito. QII - E.-I
 
ex 


(I) 


(2)
>>>
Detekcja nieciągłości w pręcie ... 


ł 13 


gdzie: 110 to średnie przemieszczenia os.iowe, E to 1l10duł Y ounga, A jest polem prze- 
kroju poprzecznego pręta, a p oznacza gęstość ll1ateriału. 
Elell1ent spektralny opracowany zgodnie z teorią elementarną opisany jest przez 
Doyle'a [I]. Macierze sztywności dynall1icznej dla dwuwęzłowego elementu spektral- 
nego Kuf oraz elementu throw-off Kut można przedstawić w następującej fonnie: 


ikEA [ ł + e -!.Ikl. 
Ki/I = ( 1- e-!.fk! ) _ 2e- Ikl 


'"' -Ikr ] 
- L.e 
1+ e- 2lkl 


(3) 


Ki/I = ikEA 


gdzie: k jest liczbą falową obliczaną w funkcji częstości OJ oraz własności materiało- 
wych p. E wyznaczamy z zależności: 


k = ::!::w jĘ- 


(4) 


2.2, Teoria Love'a 


Model spektralnego elementu skończonego opartego na teorii Love'a jest przed- 
stawiony na rysunku I. Element ll1a długość L i stały przekrój poprzeczny A. Posiada 
dwa węzły, w każdYIl1 węźle jeden stopień swobody - przemieszczenia wzdłużne. Mo- 
dyfikacja teorii Love'a oparta jest na założeniu, że każdy punkt materialny pręta ma 
prędkość w kierunku poprzecznym, Oznacza to, że energia kinetyczna zależy od dodat- 
kowych wielkości, niemniej jednak energia naprężeń jest taka sama jak dla teorii ele- 
mentarnej. Pole przell1ieszczeń jest więc identyczne, a równanie różniczkowe charakte- 
ryzujące zagadnienie jest w niewielkim stopniu zmodyfikowane i może zostać wyrażo- 
ne w następujący sposób [I]: 


-c' 
o ( 
' J "') 
E f 1 . ' . -11 0 !. / L , "- : C . - 110 _ c- lI o - O 
.; _ ' + y p, 
 'I _) pA _, - 
(x- eX-- \. er or 


(5) 


przy cZYIl1 warunki brzegowe przyjmują postać: 


110: 


"" ",'" 
O _ E / CliO !.. J c-uo 
_II - ,; _ + y p, " ' 
CI:" er 


(6) 


gdzie: .J oznacza biegunowy 1l10ment bezwładności pola przekroju poprzecznego pręta, 
a v to współczynnik Poissona materiału. 
Liczberalową dla tego modelu określa zależność: 


k = IW 


p.-l 
E
 - Y!.pJw!. 


(7) 


Należy zauwazyc. że liczba falowa k, w przeciwieństwie do teorii elell1entamej, 
może przjjmowac postać czysto urojoną. W takim przypadku cała energia wejściowa 
zostanie wykorzystana przez ruch poprzeczny.
>>>
114 


J. Grabowska, M. Krawczuk, W. Ostachowicz, M. Palacz 


2.2. ł. Prętowy element spektralny wg teorii Love'a 
Model elementu przedstawiony jest na rysunku I a, 
muje się jak w przypadku teorii elell1entamej: 
. 4 -Ikr B -Ik(/-x) 
U o = " oe + oe 


Rozwiązanie równania przyj- 


(S) 


Stałe Al} i Bo wyznacza się z warunków brzegowych w węzłach: 
110 (x = O) = cfl 
110 (x = L) = cf2 


(9) 


co prowadzi do następującego układu równań: 


[ A J = [ I. e- ,kl ] -I [ C!I-1 
B e iAI I q2 J 


Fi = Qu (x = O) 
F 2 = Q" (x = L) 


(10) 
Siły wę- 
( 11 ) 


Siły wewnątrz elementu ll10gą być wyrażone za pOll1ocą równania (6). 
złowe zaś wyznacza się stosując warunki węzłowe: 


Biorąc pod uwagę wyrażenia opisujące przemieszczenia wzdłużne oraz siły wę- 
złowe otrzYll1uje się następujące wyrażenie: 
[ Fi ] = [ ik ! - EA + 
v2 
Cl)2) ik(- . EA + PJCl)
 )PI ][ A o ] 
F 2 lk EA - pv-J(J)- )PI k(EA - pv-Jw- ) Bo 


( 12) 


Wykorzystując zależności pozwalające na wyrażenie stałych Ao i BI) w funkcji 
przemieszczeń węzłowych 1l10żna obliczyć zależność pOll1iędzy siłami węzłowymi 
i przemieszczeniall1i węzlowymi. Wyznaczona w ten sposób macierz jest kwadratową, 
symetryczną macierzą określającą dynamiczną macierz sztywności Kit elell1entu spek- 
tralnego opartego na teorii Love'a. 


2.2.2. Spektralny element throw-off dla teorii Love'a 
Dla elementu throw-otT (rys. I b), opartego na teorii Love'a, przemieszczenia 
wzdłużne ogólnie mogą być zapisane w podobny sposób. jak dla teorii elementarnej: 


- -Ikr 
Uo = Aoe 


( 13) 


Stałą A można znaleźć z następującego warunku węzłowego: 
110 ( x = O) = (fi 


( 14) 


co prowadzi do następującego równania: 


.-lo = (fi 


( 15) 


Sily wewnętrzne elementu 1l10żna wyrazić przy użyciu form ul} z równania (6). 
Siły węzłowe można znaleźć z następującego warunku węzłowego:
>>>
Detekcja nieciągłości w pręcie ... 


J ł5 


Fi = Q" (x = O) 


(ł 6) 


Biorąc pod uwagę wzory na przemieszczenia osiowe i zwężenie boczne siły wę- 
złowe można wyrazić w następujący sposób: 


Fi = 
k(- EA + pv
J(j)2)] ąl 


(17) 


Zależność w nawiasie kwadratowym w równaniu (17) opisuje dynamiczną macierz 
sztywności Kcll spektralnego elementu throw-orf opartego na teorii Love'a. 
2.2.3. Spektralny element prętowy z poprzecznym pęknięciem zmęczeniowym 
dla teorii Love'a 


Wyprowadzenie macierzy sztywności dynamicznej dla elell1entu zbudowanego 
w oparciu o teorię elementarną przedstawione jest w [3]. Spektralny element prętowy 
z poprzecznYIl1 pęknięciem zmęczeniowYIl1 oparty na teorii Love'a został przedstawio- 
ny na rysunku ł c. Element posiada dwa węzły. w każdym węźle po jednym stopniu 
swobody. Przemieszczenia wzdłużne 1I1) dla lewej i prawej części pręta elell1entu: 


. ( ) -Ikr B -Ik(/-x) 
lIO,1 X = Ale + le ' 


dla xE(O.L I ) 
dla xE(0,L-L 1 ) 


(I S) 


. ( . ) _ .j-lk(!,H) + B -lk[/-(j.,rX)] 
1I 0 ."'. .t -, "'.e "'.e 


przy czym liczba falowa k opisana jest równaniem (7). 
Stałe .I j , BI' Ac i B,' można wyznaczyć stosując następujące warunki brzegowe: 
- na lewYIl1 końcu elementu: (x = O): 
l/O JO) = cli ' (19) 


- w miejscu pęknięcia (x = L I dla 110 l, ) i x = O dla 110 l, )): 


, ( ) . ( ) ("'llO](LI) 
lI o ."'. O - 1I 0 . 1 LI = 8 II' 
eX 


(20) 


('zi OI ( LI ) _ ('z/,u( () ) 


(eX 


I..t 


(21 ) 


gdzie :)" jest podatnością w kierunku wzdłużnym. wyznaczaną zgodnie z prawall1i 
ll1echaniki pękania (patrz rozdział 3) zależność (20) określa skokową zmianę prze- 
mieszczeń wzdłużnych, natomiast zależność C ł ) wyraża zgodność sił osiowych, 
- prawy koniec elementu (x = L-L I): 


110"'. (L - LI ) = Li"'. ' 


(22) 


przy czym Lii i c/: to przell1ieszczenia węzłowe. 
Wykorzystując funkcje aproksymujące przell1ieszczenia spektralne w prawej i le- 
wej części elell1entu oraz uwzględniając warunki brzegowe ll10żna wyznaczyć stałe A I. 
B " ..J e i Be jako funkcje spektralnych przemieszczeń węzłowych:
>>>
116 


J, Grabowska, M. Krawczuk, W. Ostachowicz, M. Palacz 


l A .. I l (ii 
Bj = W-I. O 
A., O ' 
B 2 (i: 


(23) 


przy czym: 


e-tk\\J 1 


o 


-iA.,,
/ . .-1') - 
e . 
. k -,.,,(;-/')1' 
-, "e J 


(24) 


( 1+ . k 8 ) -,k,,1, 
rV= - '"we 
. k -iA,,1, 
-, we 


(-I-ik,,8,,) 


e-1k"IJI 


o 


o 


ik e" lkJ , 
IF 
e -lk\1' I. 


ik" 


Węzłowe siły osiowe wyznacza się z następujących zależności: 
- w lewym węźle (x = O): 
, cziol(O) 2 2 i"zi'II(O) 
FI=DI 
 -vp.J.(J) 
 ' 
ex cy 


(25) 


- w prawym węźle (x = L-LI): 
Cli O ., ( L - L I ) 
F, = EA .
 
- ex 


2 2 (
1I02 (L - LI ) 
V p.J.(J) 
 
cx 


(26) 


Zależność pomiędzy siłami węzłowymi a przell1ieszczeniami węzłowymi 1l10żna 
przedstawić w postaci: 


[ 
 ] =K",. [ (!I ] " 
F 2 (/c 


(27) 


gdzie: Kil jest macierzą sztywności dynamicznej daną związkiell1: 


K" ( c c) lik!, - ik" e-lkl1II O oj. W-I (28) 
= EA - v p. J . (!) . 'k" / 
l O O - ik"e ik",-, 


3. PODATNOŚĆ W MIEJSCU PĘKNIĘCIA 


Podatność w miejscu pęknięcia dla skończonego spektralnego elementu prętowego 
wyznacza się zgodnie z teorią Castigliano: 


i;cU 
c =- 
I{ _ p _ p 
c' II' { 


(29) 


gdzie U oznacza energię odkształcenia sprężystego elell1entu w którym pojawiło się 
pęknięcie. P oznacza niezależne siły węzłowe działające w elemencie.
>>>
Detekcja nieciągłości w pręcie ... 


117 


! 


a 


a 


.... 


I 
.-.-.-.-.-.r.-.-.-.-.-. 


d 
a 


h 


z 


b 



 


ł y 


Rys. 2. Przekrój poprzeczny pręta w miejscu pęknięcia 


Zakładając, że pęknięcie nie powoduje sprzężeń między przemieszczeniami po- 
przecznymi i wzdłużnymi energię odkształcenia sprężystego można zapisać jako: 


u=
 f(Ki
A. 
E ,ł 


(30) 


gdzie A oznacza pole powierzchni pęknięcia, KI jest współczynnikiem intensywności 
naprężeń wywołanych siłami osiowymi dla pierwszego przypadku powstawania pęk- 
nięć. Współczynniki te wyznacza się następująco: 


KI = : &'fw( 
 ) 


(3 I) 


gdzie P są siłami odpowiednio osiowymi i zginającymi działającymi na układ, a i H są 
pokazane na rysunku '2./ jest funkcją korygującą przyjętą w następującej postaci: 
J. ( a ) =! ( a ) = tan(na, '2h . 0.752+2,02(a/h)+0.37[I-sin(1ta/2h)( (32) 
w h p h na / 2h cos( na / 2h) 
Po prostych przekształceniach podatności elementu sprężystego modelującego 
pęknięcie poprzeczne w elemencie wyraża się w następujący sposób: 


2 ii f -' J ( - ) -= . 
c=- cij; a ua. 
Eb o 


(33) 


d . - a - a k "" 
g Złe a = -, a = - - P atrz rvsune L.. 
- h h .
>>>
118 


J. Grabowska, M. Krawczuk, W. Ostachowicz. M. Palacz 


W postaci bezwymiarowej podatność w miejscu pęknięcia wyznacza się korzysta- 
jąc z następujących formuł matematycznych: 


8=EA.c 


(34) 


4. WYNIKI ANALIZY NUMERYCZNEJ 


Obliczenia numeryczne wykonano dla pręta wspornikowego zawierającego nastę- 
pujące rodzaje nieciągłości: skokową zmianę przekroju poprzecznego, niewielkie. po- 
wstałe w procesie wytwarzania różnice własności fizycznych materiału oraz jedno- 
stronne pęknięcie zmęczeniowe. Przyjęto następujące wymiary geometryczne pręta 
i lokalizacje nieciągłości: długość 6 m, wysokość 0,02 m. szerokość 0,02 m. Własności 
fizyczne materiału to: moduł Y ounga E = 2, l . łO
 MPa, gęstość p = 7850 kg'm -3, liczba 
Poissona v = 0,3. Dla każdego przykładu nieciągłość zlokalizowano w odległości 
2/3 długości od utwierdzonego końca pręta. Do modelowania pręta wykorzystano spek- 
tralnyelement prętowy opracowany według teorii Love'a Koniec swobodny pobudza- 
no sygnałem trójkątnym modulowanym sygnałem sinusoidalnym o przebiegu zilustro- 
wanym na rysunku 3a. 


40 

 
..!!! O 
'in 
-40 
1.6 1.8 



 
2- 
';01 

 
r 
Ol 


2
 


2 2.2 
czas Is] 


2.4 2.6 
x 10- 3 


o 


, , 
CZęSlothwość 1Hz] 


5 
1(10" 


c) 40 


odpowiedz ukladu z pękmęciem o różnych 
wieikoscIach g/ębokosci względnej 


.
 20 
E 


Ol 
'c 
" 

 
" 
.
 
,., 

 -20 


pierwsze odbicie 
/ 


/ 


drugie odbicie 


--łO 


2 .., "' :; 35 -ł 
.5 
czas [s] x 10- 3 
Rys. 3. Sygnał wymuszający - al. FFT sygnału wymusząiacego - b). prZ)'kladowa odpowiedź 
układu - c)
>>>
Detekcja nieciągłości w pręcie ... 


119 


Przykładową odpowiedź układu wyznaczoną dla pręta z nieciągłością przedsta- 
wiono na rysunku 3e. Można zauważyć pojawienie się dodatkowego odbicia od tej 
nieciągłości. Na podstawie przeprowadzonej analizy można powiedzieć, że dla różnych 
rodząjów nieciągłości kolejne odbicia pojawiają się przesunięte w czasie, zwłaszcza 
w przypadku tych związanych ze zmianą własności fizycznych materiału. Zjawisko to 
spowodowane jest inną prędkością propagacji fali w ośrodku. Z otrzymanych rezulta- 
tów wynika również, że między wymuszeniem a poszczególnymi odbiciami pojawiają 
się przesunięcia fazowe. inne w każdym z przypadków nieciągłości. 
Z wyżej wymienionych przyczyn podjęto próbę identyfikacji rodzaju nieciągłości 
na podstawie zmian wskaźnika alItokorelacji informującego o występowaniu przesunię- 
cia fazowego między sygnalami. Współczynnik autokorelacji, który jest zależnością 
pomiędzy sygnałem odniesienia lub wymuszeniem x ret a sygnałem odbitym od niecią- 
głości lub utwierdzenia, dla przesunięcia czasowego lub opóźnienia T dany jest związ- 
kiem: 


\" 
R(T)= IXret(t)X(t+T)' 
1=1 


(35) 


gdzie .V jest liczbą próbek. Wartości dodatnie tego współczynnika oznaczają zgodność 
w fazie badanych sygnałów, natomiast ujemne - przesunięcie fazowe między badanymi 
sygnałami. 
Drugą analizowaną wielkością była chwilowa moc sygnału dla dwóch kolejnych 
odbić. która jest proporcjonalna do kwadratu wartości chwilowych lub wartości bez- 
względnych sygnału. Moc sygnału w dziedzinie czasu zapisuje się: 


.\'.., .\' J 
xf'wr = I x-(n)= I Ix(n
- 
1l=1 11=1 


(36) 


gdzie V oznacza liczbę próbek. 


Wyniki analizy wpływu rodzaju nieciągłości na przebieg zmian współczynnika 
alItokorelacji pokazane są na wykresach z rysunku 4. Badania przeprowadzono dla 
prętów opisanych w rozdziale 2. W pierwszej kolejności analizowano nieciągłość 
w postaci jednostronnego pęknięcia zmęczeniowego. Badano wpływ zmian względnej 
głębokości pęknięcia (od 0.5% do 50% wysokości pręta) na przebieg zmian współczyn- 
nika alItokorelacji. Z przeprowadzonej analizy wynika. że współczynnik autokorelacji 
przyjmował wal10ści ujemne dla obu badanych odbić. Oznacza to. że wystąpiło przesu- 
nięcie fazowe między wymuszeniem a odbiciem od nieciągłości.
>>>
120 


J. Grabowska, M. Krawczuk. W. Ostachowicz, M. Palacz 


,.., '( 10 


-].:; -1 () -" o 
\vspołczynnik aurokore!acji - 


0,52 
O,) I 
11.48 / /1 
"- 
";;CIU6 
1J.-1-1 
O.le 


l,5, / 
CI \ / '''''''''' """,,,(,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,..,, 
\ """m,h,J",,"",, 
,/ \' 
p",,;;,:
,,- 


0,5 


0.-1 
- 13 00 -')00 --"00 :'ion 000 1300 
v...spÓ!czynnik aUlOkorelacji drugie odbicie 


Rys. 4. Stosunek mocy sygnału odbitego od nieciągłości do mocy wymuszenia II funkcji współ- 
czynnika autokorelacji 


Kołejne obliczenia wykonano dla nieciągłości w postaci skokowej zmiany pola 
przekroju poprzecznego pręta w zakresie od 50% do 150% wielkości początkowej. Na 
podstawie uzyskanych wyników analizy zauważono. że w przypadku zwiększania pola 
powierzchni przekroju poprzecznego pręta współczynnik autokorelacji dla pierwszego 
odbicia przyjmował wartości ujemne. natomiast dla zmniejszania - wartości dodatnie. 
Natoll1iast współczynnik obliczony dla drugiego odbicia przyjmował wartości dodatnie 
zarówno w przypadku zwiększania. jak i zmniejszania pola przekroju poprzecznego. 
Ostatnią serię obliczeń przeprowadzono dla nieciągłości w postaci różnych wła- 
sności fizycznych materiału, Zll1ieniano moduł Y ounga o ::\:4,5% wartości początkowej 
albo gęstość ll1ateriału 0::\:3% wat10ści początkowej. W przypadku zwiększania tych 
wielkości współczynnik autokorelacji dla pierwszego odbicia przyjmował wartości 
ujell1ne, dla zmniejszania - dodatnie. Współczynnik autokorelacji dla drugiego z odbić 
był dodatni we wszystkich przypadkach. 
Z rysunków wynika. że na podstawie przeprowadzonej analizy sygnału można od- 
różnić jedynie pęknięcie zmęczeniowe od innych rodzajów nieciągłości. W pozostałych 
przypadkach możliwe jest tylko określenie wpływu nieciągłości na sztywność ukladu. 
Na podstawie analizy pojedynczych odbić sygnału nie można jednoznacznie zidentyti- 
kować rodzaju nieciągłości. 


L ITERA. TURA 


[I] Doyle J.F.. 1997. Wave propagation in structures. Springer-Verlag New York, Inc. 
[2] DoyIe J.F.. 1988. A Spectrally Formulated Finite Element 1'01' Longitudinal Wave 
Propagation. International Journal of Analytical and Experill1ental Modal Analysis 
3, 1-5. 
[3] Palacz M.. Krawczuk M.. 2002. \nalysis ol' Longitudinal Wave Propagation in 
a Cracked Rod by the Spectral Element Method. Computers and Structures 80. 
1809-1816.
>>>
Detekcja nieciągłości w pręcie ... 


12ł 


DISCONTINUITIES IDENTIFICA TION IN RODS 
WITH THE ANALYSIS OF LAMB WAVE PROPAGATION 


Summary 


The ał1icle presents a description of damage indentification method in rod s, which 
is based on the analysis ol' changes that appeal' in propagating Lamb waves. For proper 
modelI ing ol' the problem spectral element method was used. New spectral rod element 
with discontinuities, based on the elementary and Love theories is deveIoped. The dis- 
continuities analysed are the fatigue open and not propagating crack, the change in cross 
section area and material discontinuities. The influence of discontinuities on the Lall1b 
wave propagation process is analysed. 
Keywords: spectral elements. damage detection
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM, JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


BADANIA DOŚWIADCZALNE ROZPRĘŻANYCH BELEK 
ZESPOLONYCH STALOWO-BETONOWYCH 


Elżbieta Grochowska, Jakub Marcinowski. Antoni Matysiak 
Zaklad Konstrukcji Budowlanych 
Wydzial Inżynierii Lądowej i Środowiska 
Uniwersytet Zielonogórski 
ul. I. Szafrana 2. 65-616 lielona Córa 


Artykul dotyczy konstrukcji zespolonych stalowo-betonowch. W celu pod- 
niesienia nośności diwigara zespolonego. rozpn;żono go w górnej jego części 
(w płycie betonowcj). a następnie stan ten ..zamrożono" umieszczając w tej stre- 
lie pręt ze stali o wysokiej wytrzymałości. Aby potwierdzić sluszności założeń te- 
oretycznych, na podsta\\ie ktÓrych wyprowadzono wzory do obliczania belek 
zespolonych rozpn;żanych, przeprowadzono badania doświadczalne. Wyniki tych 
badań zamieszczono \\ prezentowanej pracy. 


Slo\Va kluczo\\e: stal. bdon. rozprężanie, badania doświadczalne 


1, KONCEPCJA ROZPRĘŻANIA 


Koncepcję sprężania konstrukcji stalowych. przedstawioną ll1iędzy innymi w pra- 
cach [L2] przejęto od sprężania konstrukcji betonowych [3]. Efekty sprężania konstrukcji 
stalowych są inne niż żelbetowych. gdyż stal ll1a cechy wytrzymałościowe takie same 
przy ściskaniu. jak i rozciąganiu. Rozwój konstrukcji stalowych sprężanych nastąpił 
w latach pięćdziesiątych ubiegłego stulecia. W latach sześćdziesiątych zrealizowano wiele 
obiektów inżynierskich tego typu. 
Sposób rozprężania konstrukcji stalowych został zgłoszony do opatentowania 
w 1966 r. i autor wynalazku uzyskał patent [4]. Ściśnięte pręty oparte na elell1entach ko- 
twiących polączonych z konstrukcją oddziałują na tę konstrukcję (por. [5]) siłą rozciąga- 
jącą. Pierwsze badania i analizy dotyczące zachowania się konstrukcji opisano 
w pracy [5]. W następnym okresie powstało wiele prac dotyczących rozprężanych kon- 
strukcji stalowych [6,7]. 
W 1978 r. ukazala się pierwsza publikacja dotycząca rozprężania konstrukcji żełbe- 
towych sprężano-rozprężanych [8], a w 1986 r. przedstawiono w rereracie [9] propozycję 
rozprężania konstrukcji zespolonych. 
Rozprężanie konstrukcji zespolonych stalowo-betonowych ma na celu zmniejszenie 
naprężeń w ściskanej stretie betonu, w poszczególnych fazach obciążenia konstrukcji. 
W niektórych etapach obciążenia, zwłaszcza przed obciążeniell1 eksploatacyjnYIl1, 1l10żna 
dopuścić podczas rozprężania. do powstania w betonie naprężeń rozciągających. Il1niej- 
szych od wytrzymałości obliczeniowej betonu na rozciąganie. Efekt rozprężania zależy od 
zll1niejszenia lub nawet calkowitego wyeliminowania naprężeń ściskających w betonie. 
przed oddaniell1 obiektu do eksploawcj i.
>>>
122 


E. Grochowska, J. Marcinowski. A. Matysiak 


Koncepcja rozprężania polega na wprowadzeniu do przekroju siły rozciągającej (np. 
siłownikiem śrubowym) i utrwaleniu jej (.,zamrożeniu") poprzez ull1ieszczenie w strefie 
rozciąganej prętów stalowych, które przyjll1ą funkcję rozporu i w efekcie będą ściskane. 


2. PODSTAWY OBLICZENIOWE 


W konstrukcjach zespolonych stalowo-betonowych oraz w konstrukcjach rozpręża- 
nych muszą być spełnione warunki wytrzYll1ałościowe we wszystkich etapach obciążenia. 
Na rysunku ł przedstawiono przekrój belki zespolonej stalowo-betonowej. 


1\lL 


Rys. l. PrzekrÓj belki zcspolonej stalowo-betonowej 


Naprężenia wywołane obciążeniem zewnętrznym w konstrukcji zespolonej, odpo- 
wiednio w górnych włóknach betonu, górnych i dolnych włóknach belki stalowej wyzna- 
cza się ze wzorów: 


iVl" eh 
Cf-h =--:0; Rh' 
- 1_ ł1 


(l a) 


Al" e
 . 
Cf_ \ ." =--:0; f i ' 
-.,' 1- . , 


( Ib) 


_ iVl l , eel  . 
Cf csel - 1_ - lei . 


(I c) 


Naprężenia w pręcie sprawdza się wzorem: 


s . 

 - --  f 
'-',- 4.-.1(' 
. , 


(2) 


Naprężenia w konstrukcji zespolonej rozprężanej w górnych włóknach betonu. gór- 
nych i dolnych włóknach belki stalowej wyznacza się z następujących wzorów:
>>>
gdzie: 
Mi' 
I::: 
11 = E,Eh 


e, eh. e!!.. et! 


8 
.
, 
fi 
fi, 
Rh 
Rh: 


Badania doświadczalne rozprężanych belek ... 


I /
 

.J 


s (S e - lvI I' ) eh 
Ci -h = - + :::; Rk ' 
- ,-L n Ln 


(3a) 


S (Se-A.I/,)e" . 
Ci _ , ,, = - + " :::; 1/ . 
-, /"L L ' 


(3b) 


Ci = 
 _ (8 e - lvI /' ki  f . 
:,d A _ 1_ - . ,/ . 
- - 


(3c) 


- 1l10ment zginający wywołany obciążeniem zewnętrznYIl1. 
_ sprowadzony mOll1ent bezwładności przekroju zespolonego, 
- stosunek modułów sprężystości stali i betonu, 
- odległości według rysunku l. 
- wartość siły rozprężającej, 
- pole przekroju pręta rozprężającego, 
_ wytrzymałość obliczeniowa stali elell1entu podstawowego (belki). 
- wytrzymałość obliczeniowa stali elementu rozprężającego, 
- wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie, 
_ wytrzymałość obliczeniowa betonu na rozciąganie. 


3. BADANIA DOŚWIADCZALNE 


3.1. Opis badanej konstrukcji 


Zaprojektowano i wykonano 1l10del belki zespolonej swobodnie podpartej o długości 
2700 mll1. Konstrukcję stalową wykonano z dwuteownika walcowanego l 160. ze stali 
St3S. Płytę betonową grubości 80 mm zazbrojono prętall1i ze stali 34GS o średnicy 8 mll1, 
i wykonano z betonu klasy B15. Strzemiona wykonano ze stali St3S, z prętów o śred- 
nicy 4,5 mll1. Elementy zapewniające zespolenie płyty z dwuteownikiell1 wykonano ze 
śrub o średnicy 20 mm. W płycie betonowej został ull1ieszczony pręt rozprężający o śred- 
nicy 24 mm ze stali o wysokiej wytrzymałości. Pręt rozprężający owinięto czterokrotnie 
taśmą izolacyjną w celu zabezpieczenia go przed przyczepnością do betonu i ull1ieszczono 
IV płycie przed betonowaniem. Szczegóły modelu pokazano na rysunku 2, 
Rozprężanie konstrukcji realizowano za pomocą urządzenia śrubowego, które wy- 
konano z śruby M30 kI. 8.8. z nakrętką na stałe zamocowaną do konstrukcji oporowej 
(rys. 3). Urządzenie śrubowe zamocowano do jednego kOł1ca belki stalowej. Do drugiego 
końca zamocowano blok oporowy (rys. 4). Ściskanie pręta rozprężającego następowało 
w wyniku wkręcania śruby w staly elell1ent bełki (rys. 3. 5).
>>>
124 


E. Grochowska, J. Marcinowski, A. Matysiak 


r 
-&. 
...t.U9..:.llL. 
 . .. H 

,
 
k_ 

 , 
fk I---'" 
..:' I 
N
 u:.....:..... 

 1160.29010 

 
:lli 



 



 



 


. 



 



 


w:I 


.II;Il 
lm 
'40 



 


'
 ----, 


'9: --J 7 . 1-
 
.:f
 
 
 



 
Rys. 2. Model belki poddanej badaniom doświadczalnym 


.X 


",:.",,,__'ł..;; ,- 


,--,
' 


..
r{.'.
' ....... 
:"'". 
._ ..
-:- 
. .$ 
.;




.
 -
 ,:,.
;


".

::

! 
'-'.:t'): ..;:-
-
 . . 


 . _:-,""" . _.; , :
 .. ;


 . ' « f"" . :
':-. 
-- ":. , i'
 ł
--' 
* \ 
 t.
.:..- 


- 




I ")
,_:_
 


. .
. 


. 


 





. 


 .":.,. -:.
..'" - 


g 



: "-'o- 


...,. -. 


Rys. 3. Widok z boku urządzenia śrubowego 


r
m'-i:-- 


. -- - ,. .-'" 
..;

:-(
-
:

;r:t'-.
-- . 


-:,.-- -'0_. 


,.'''- ...,- 


-
.. ......
. 
 
.
.:.
 ":-
:-i-.:. 

 . 



'" _.d 

 
 
 
-
 



"". - _.
 . 

....-, ....... 


¥: 


. ,,_.,. .. 
' -. 
, . - . 
-. -- 
 

 . ....;::-=---=.:=
 
-: 
 
.... - ---- 


_ .
,,*"'1:::.'" .... 
.:.W -- 


7
-- 


-.
 . 


,,' 


A


 


:'-..Ę
' :o,?¥:,¥; ""r " 


'" 


Rys. 4. Widok z boku bloku oporowego 


Odkształcenia (kontrolę naprężeń) w ściskanym pręcie rozprężającym i dwuteow- 
niku stalowym przeprowadzono za pomocą tensometrów elektrooporowych typu FK-5
>>>
Badania doświadczalne rozprężanych belek ... 


125 


o rezystancji R '"' '105,4 O, a w betonie za pomocą tensometrów elektrooporowych typu 
Pb Kn 30-130 o rezystancji R = 133,7 o. Współczynnik czułości odkształceniowej ten- 
sometrów przyklejonych do stali wynosił k = 2.21, zaś tensometrów przyklejonych do 
betonu - k = 2,69. Numery naklejonych tensometrów na pręcie rozprężającym, belce 
stalowej i płycie betonowej pokazano na rysunku 5. 
Zestaw badawczy składał się z mostka tensometrycznego 3-kanałowego UM 131 
oraz skrzynek rozdzielczych lO-kanałowych AG 11 I. 
Przemieszczenia pionowe (ugięcia) mierzono czujnikami zegarowymi umieszczo- 
nymi pod belką, w środku rozpiętości oraz pod podporami A i B (rys. 5). 


łJ 


I-I 
T15 I T16 
. .

- 
 
.... T!J I 
8 
T
IO 


, -.-J 
AL.... 
w. 


650 


-1'1 


 
) ' 5 


Z'm 


2-2 
TICJ T
O 
t
igll 
'" ': ",// ' T -I1f';;ff5 .':-'/;-:.- 11 

..
 


II 


2700 mm 
b 


z - czujnik zegarowy 
T...- lensomelr 


TU 14 
Rys. :5. Widok i przekroje badanej konstrukcji wraz z rozmieszczeniem tensometrów elektroopo- 
rowych i czujników zegarowych 


3.2. Przebieg badań doświadczalnych 


Przeprowadzono kilka serii pomiarowych przy obciążaniu, odciążaniu, rozprężaniu 
i odprężaniu konstrukcji zespolonej stalowo-betonowej. Cykle badań belki obejmowały: 
- obciążenie belki siłami zewnętrznymi i wykonanie odczytów, 
rozprężenie konstrukcji i wykonanie odczytów, 
rozprężanie belki zespolonej jednoczesnym obciążaniem i dokonywanie odczytów. 
Model wykonano z następujących materiałów konstrukcyjnych: 
beton B15: 
= 8.1 MPa, R bz = 0.75 MPa. E b = 23,1 GPa, 
stal I 160: St3S, fd = 215 MPa, Es = 205 GPa. n = 8,87, I 160, As = 22.8 cm 2 , 
Is = 935 cm-l. 
charakterystyki przekroju zespolonego (zastępczego): Az = 62.89 cm 2 , lz = 
= 3189,54 cm-l, 
stal rozprężająca: pręt o średnicy I 24 mm, pole przekroju poprzecznego Ac = 
= 4.52 cm
, wytrzymałość na rozciąganie Rm = 858 MPa. 


3.3. Cykl rozprężania konstrukcji z obciążaniem 


Badania realizowano w następujących etapach: 
Etap I - rozprężenie konstrukcji zespolonej siłą S = 36,89 kN.
>>>
128 


E. Grochowska, J. Marcinowski, A. Matysiak 


li 25,00 
c.. 

 
et 20,00 
'c: 
Q) 
-N 

 15,00 
c. 
et 
c 
10,00 
5,00 


0,00 


-5,00 


wysokość przekroju 


Rys. 9. Rozkład naprężeń w przekroju 2-2 (końcowy etap) 


W tabeli 2 zestawiono wartości ugięć w kolejnych etapach rozprężania i obciążania 
konstrukcji obliczone na podstawie założeń teoretycznych i odczytane z czujników zega- 
rowych, w środku rozpiętości konstrukcji. Na rysunku 10 przedstawiono graficznie wzro- 
sty i spadki ugięć powstałe w wyniku przeprowadzonych operacji. 


Tabela 2. Zestawienie ugięć 


Etap S [kN] Ugięciaffmm] Porównanie 
teoret. doświadcz. r%] 
I 36.89 -0.236 -0.300 27.12 
II 38.78 0.284 0.220 22.54 
III 49.26 0.217 0.154 29.03 
IV 48.64 0.013 0.010 23.08 
V 0.00 0.325 0.292 10.15 


;: 0,400 
i 0.300 
0.200 
0.100 
0,000 
-0,100 
-0.200 
-0,300 
-0,400 


Etap V l 
.... Etap II 
,.., r-..... Et 

 t'-.. -... 
.... ... . I 

E 
A , - ., " - " 
Etap I' 


ap III 


tap IV 
O 
S IkN) 



f- teoret. -łl-f- doswiadczalne 


Rys. 10. Zależność ugięcia f od siły rozprężającej S
>>>
126 


E. Grochowska, J. Marcinowski, A. Matysiak 


Etap II - 


obciążenie rozprężonej konstrukcji siłami skupionymi P = 4,59 kN, zgod- 
nie z rysunkami 6 i 7. Wystąpił wzrost siły rozprężającej do wartości 
S = 38,78 kN. 
doprężenie konstrukcji; wzrost siły rozprężającej do wartości S = 49,26 kN. 
częściowe odciążenie konstrukcji, pozostało obciążenie o wartości 
p = 2,70 kN w postaci dwóch sił skupionych (rys. 7); siła rozprężająca 
zmalała do wartości S = 48,64 kN. 
odprężenie konstrukcji, S = O kN, P = 2,70 kN. 


Etap III - 
Etap IV - 


Etap V - 


, . 


:.
 


...- 

fłi
'%tg#-, ;:
v,.-. ., 


.
:1; 
.'\:!: 


'$k&" 
_
::f{...:. 


:l 
 ."$;: ,/
 
-f- {' 



., 


-
:- 


Rys. 6. Stanowisko badawcze. Belka obciążona ciężarem zewnętrznym 


rJ 


D 
.. 1125 .. 
50 . 1125 
2700 


Rys. 7. Schemat statyczny obciążenia modelu belki 


W tabeli l zestawiono naprężenia otrzymane podczas badań doświadczalnych i wy- 
znaczone zgodnie z zasadami teoretycznymi oraz porównanie procentowe wyników. 
Badania rozpoczęto od rozprężenia konstrukcji zespolonej. Konstrukcję rozprężono 
w etapie I siłą S = 36.89 kN. 
W etapie II, po uprzednim rozprężeniu konstrukcji obciążono ją zgodnie ze schema- 
tem przedstawionym na rysunkach 6 i 7 siłami skupionymi o wartości P = 4,59 kN. Siła 
rozprężająca wzrosła do wartości S = 38,78 kN. Zatem przyrost siły rozprężającej wyniósł 
LlS d = SIl - SI = 38,78 - 36.89 = 1,89 kN, a przyrost siły rozprężającej wyznaczony zgodnie 
z zasadami teoretycznymi był równy LlS t = 1,79 kN. 
W kolejnym etapie doprężono konstrukcję; siła rozprężająca wzrosła do wartości 
S = 49,26 kN. 
W etapie IV usunięto część obciążenia zewnętrznego, a siła rozprężająca nieznacznie 
zmalała do wartości S = 48,64 kN (LlS = Sm- SIV = 49,26 - 48.64 = 0,62 kN). 
W etapie V zwolniono całkowicie rozprężanie (czujniki wskazywały zerową wartość 
siły rozprężającej), a w konstrukcji pozostały naprężenia od obciążenia zewnętrznego.
>>>
Badania doświadczalne rozprężanych belek .., 


127 


Poziomy naprężeń podane w tabeli l przedstawiono na rysunku l. Naprężenia wy- 
znaczono w przekrojach l-I i 2-2 oznaczonych na rysunku 5. 


Tabela I. Porównanie naprężeń obliczonych teoretycznie i uzyskanych z badań doświadczalnych 


Poziom Napreżenia rMPal Porównanie % 
Etap naprężeń Przekrój I-I Przekrój 2-2 l-l 2-2 
d t d t 
a -2.\3 -2.28 -2.32 -2.28 6.58 1.75 
I b 6.86 6.05 6.77 6,05 10.51 11.90 
S = 36.89 kN c 0.65 0.68 0.75 0,68 4.41 10,29 
d 1.20 1.15 1.22 1.15 4,35 7.00 
a 11.13 12.23 20.41 22.87 9.00 10.76 
II b 7.42 6.03 6.49 5.79 23.05 12.09 
S = 38.78 kN c 0.60 0.68 0.60 0,65 11.76 7.69 
d 0.33 0.33 -0.22 -0.31 0.00 29.03 
a 10.20 11.58 20.41 22.23 11.92 8.19 
III b 7A2 7.75 8.35 7.51 4.26 11.18 
S = 49.26 kN c 0.80 0.87 0.80 0.85 8.04 5.88 
d 0.70 0.66 0.02 0.02 6.06 0.00 
a 4.73 5.58 10.20 11.86 15.23 14.00 
IV b 8.35 7.78 8.16 7,64 7.32 6.81 
S = 48.64 kN c 0.90 0.88 0.78 0.86 2.27 9.00 
d 1.10 1.00 0.68 0.62 10,00 9.68 
a 6.68 8.59 12.06 14.87 22.23 18.90 
V b -0.1 9 -0.19 -0.37 -0.33 0.00 1".12 
S=OkN c -0.02 -0.02 -0,04 -0.04 0.00 0.00 
d -0.47 -0.52 -0,84 -0.89 9.61 5.62 
d - doświadczalne. t - teoretYCZne 


Na rysunkach 8 i 9 przedstawiono końcowe rozkłady naprężeń, odpowiednio 
w przekrojach 1-1 i 2-2. 


'iU 25,00 
Q. 

 
'" 20,00 
'c 
Q) 
oN 
.,. 
Ci 15,00 
'" 
c: 


10,00 


0,00 


2 o [mm] 


5,00 


-5,00 


wysokość przekroju 


Rys. 8. Rozklad naprężeń w przekroju I-I (końcO\vy etap)
>>>
128 


E. Grochowska, J. Marcinowski, A. Matysiak 


rn 25,00 
c.. 

 
'" 20,00 
'c 
Q) 
-N 
e' 15,00 
c. 
'" 
r:: 
10,00 
5,00 
0,00 
-5,00 


4 


B 


1 o 1 o 2 o 2 o [mm] 


wysokość przekroju 


Rys. 9. Rozkład naprężeń w przekroju 2-2 (końcowy etap) 


W tabeli 2 zestawiono wartości ugięć w kolejnych etapach rozprężania i obciążania 
konstrukcji obliczone na podstawie założeń teoretycznych i odczytane z czujników zega- 
rowych, w środku rozpiętości konstrukcji. Na rysunku 10 przedstawiono graficznie wzro- 
sty i spadki ugięć powstałe w wyniku przeprowadzonych operacji. 


Tabela 2. Zestawienie ugięć 


Etap S [kN] Ugięcia nmml Porównanie 
teoret. doświadcz. [%1 
I 36.89 -0.236 -0.300 27.12 
II 38.78 0.284 0,220 22.54 
III 49.26 0.217 0.154 29.03 
IV 48,64 0.013 0.010 23.08 
V 0.00 0,325 0.292 10.15 


OAOO Etap V 
- 0.300 
0,200 
O.JOO 
0,000 
-0,100 
-0.200 
-0,300 
-0.400 


Etap II 


Etap l ' 



f- teoret. -łl-f- doswiadczalne 


Rys. 10. Zależność ugięcia f od siły rozprężającej S
>>>
Badania doświadczalne rozprężanych belek ,.. 


ł29 


4. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH 


Podczas wszystkich obciążeń zastosowanych w czasie przeprowadzonych badań 
konstrukcja zachowywaJa się zgodnie z przewidywaniami i założeniami teoretycznYll1i. 
Dotyczy to zarówno obciążeń zewnętrznych, jak i sił rozprężających. Sprawnie działają- 
cym okazalo się również urządzenie śrubowe służące do wywoływania siły ściskającej 
pręt oddziałującej na konstrukcję w sposób okreśłony jako rozprężający. 
Przedstawione badania przeprowadzono na jednym modelu. Otrzymane pewne róż- 
nice wyników podczas poszczególnych obciążeń można wytłumaczyć niedokładnością 
wykonania modelu. jak i posiadanego oraz zastosowanego sprzętu pomiarowego 


LITERA TURA 


[1] Bródka L Kłobukowski L 1965. Sprężone konstrukcje stalowe. Arkady War- 
szawa. 


[2] Karczewski L ł 981. Sprężone konstrukcje stalowe. Wyd. Politechniki War- 
szawskiej. 
[3] Iwański A.M.. 1953. Konstrukcje żelbetowe. PWT Warszawa. 
[4] Matysiak A., 1971. Sposób wstępnego sprężania konstrukcji metalowych. Patent 
nr 42836. Warszawa. 
[5] Matysiak A.. 197 ł. Nowy sposób i podstawy teoretyczne wprowadzania wstęp- 
nych naprężeń w konstrukcjach metalowych. XVII Konferencja Naukowa KI PAN 
i Ki\! PZITB, Krynica. 
[6] Libura S., Parzniewski z., 1981. Rozprężanie dźwigarów stalowych. Inżynieria 
i Budownictwo 6. 
[7] Strzelecki L 1987. Analiza statyczna dźwigarów sprężano-rozprężanych. Praca 
doktorska, Warszawa. 
[8] Drewnowski S.. 1978. Betonowe konstrukcje mostowe sprężano-rozprężane. 
PWN Warszawa-Łódź. 
[9] Matysiak A.. 1986. Analiza celowości sprężania wkładkami ściskanYll1i zespolo- 
nych elementów zginanych. I Konferencja Naukowa Konstrukcje Zespolone, 
Zielona Góra. 
[10] Grochowska E.. 2003. Zastosowanie wkładek ściskanych w rozprężaniu kon- 
strukcji zespolonych. Praca doktorska, Zielona Góra, 


THE EXPERIMENTAL INVESTIGA nON STEEL-CONCRETE 
COMPOSITE BEAM EXPANDED IN THEIR UPPER PARTS 


S U 111 mary 


i\ steel girder strictly connected in it is upper side with the thick concrete slab is 
subject ol' interest in this paper. To improve stress distribution within the section the 
additional expansion is introduced in the upper part or the cOll1posite girder. The
>>>
ł30 


E. Grochowska. J. Marcinowski, A. Matysiak 


expanding force is carried into effect by the hydraulic Ol' screw jack. The strut ol' the 
jack is taken over by the steel rod properly anchored in the upper tlange ol' the steel 
girder. In this manner the additional tensile force is .,rreezed" for ever within the upper 
part of the composite girder. In this paper are introduced the experimental investigation 
the composite beam expanded in their upper parts, 
Keywords: steeI. concrete, expand. experimental investigation
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


METODA PROGNOZOWANIA ZNISZCZENIA I ROZWOJU 
MIKRO USZKODZEŃ W STALACH Ni-Mo-Cr 
W ZAKRESIE TEMPERATURY PRZEJŚCIA MATERIAŁU 
ZE STANU PLASTYCZNOŚCI W STAN KRUCHOŚCI 


Jacek Jackiewicz 


Katcdra Mechaniki StosO\\anej 
Wydział Mechaniczny A IR 
ul. ProC S. Kaliskiego 7, S5-796 Bydgoszcz 


Treścią artykulu jest mdoda prognozO\\ania zniszczenia i ewolucji mikro- 
uszkodzeli w stalach Ni-Mo-Cr w zakresie temperatury przejścia materiału ze sta- 
nu plastyczności w stan kruchości. W tym celu zastosowano hybrydowy model 
kruchego i cic\gliwego pekania stali. wykorzystujący podstawowe zalożenia do 
mikromechanistycznego opisu pękania stali sformułowane przez Ben
mina [2] 
i Needlemana [SI. Model ten został ujednolicony w wyniku modytikacji modelu 
Gursona [4], slużącego pierwotnie jedynie do symulacji rozwoju sferoidalnych 
mikropuslek \\okÓ1 siarczkÓw w stali, poprzez uwzględnienie możliwości poja- 
\\ienia się rÓwnież silni..: spłaszczonych elipsoidalnych form uszkodzeli rozpatry- 
wanych jako mikropęknięcia w sąsi.:dzt\\ ie \\.,:głikÓw. Wyniki numerycznych 
symulacji prcl\\dopodobielistwa pojc1\\ienia si.,: kruchego przełomu standardowych 
prÓbek typu z\\art..:go \\ zakresie temp..:ratury przejścia materiału ze stanu pia- 
sty czności w stan kruchości zostały zwery tikowanc prÓbami eksperymentalnymi 
szacującymi rozrzut wartości odporności materiału na pękanie kruche. 


S}()\\a kłuczO\\e: spr.,:żysto-plasty czna mechanika pękania. ciagliwy wzrost pę- 
knięcia. kruche pękani..:. temperaLUra przejścia materiału ze sta- 
nu plastyczności w stan kruchości 


1. WPROWADZENIE 


Siarczki zawarte w stali o średniej i dużej wytrzYll1ałości wywierają ujemny 
wpływ na odporność materialu na jego pękanie. Szczególnie szkodliwy wpływ siarcz- 
ków uwidacznia się w stalach Ni-Mo-Cr w pobliżu zakresu temperatury kruchości 
(czyli granicznej temperatury poniżej której mogą powstawać kruche pęknięcia o ogra- 
niczonYIl1 wymiarze powodujące powstanie kruchego przełomu na dużej przestrzeni 
przy niekorzystnych warunkach obciążenia) oraz powyżej tej tell1peratury, to znaczy 
gdy jest możliwe tworzenie się wokół siarczków mikropustek. Wówczas to makropęk- 
nięcie jest inicjowane w materiale w wyniku lączenia się mikropustek powstałych wo- 
kół siarczkÓw. Oznacza to, że w temperaturach powyżej tell1peratury kruchości o od- 
porności na pękanie tego !'odzaju ll1ateriału decyduje wielkość i rozkład siarczków, 
Natoll1iast w temperaturClch niskich (poniżej temperatury kruchości), gdy występuje
>>>
132 


Jacek Jackiewicz 


całkowicie kruchy przełom siarczki nie wykazują znaczącego wpływu na proces pęka- 
nia. Główną rolę przy pękaniu w tych temperaturach odgrywają węgliki. 


2. ZMODYFIKOWANY MODEL GURSONA 


Spośród konstytutywnych modeli porowatych ciał stałych istotną rolę w opisie 
ciągliwego pękania stali odegrał model Gursona [4]. Model ten jest modelem ciała sta- 
łego odkształcającego się plastycznie ze sferoidalnymi pustkami. Został on zmodyfiko- 
wany przez Gologanu i wsp. [3], w wyniku wprowadzenia bardziej złożonego elipso- 
idalnego ksztahu mikropustek (rys. 1), które po spełnieniu odpowiednich warunków 
dotyczących ich wymiarów mogą być również rozpatrywane jako mikropęknięcia. 


e v 


--. 


e= 


ex 


Rys. l. Geometria mikropustki 


Zmodyfikowany model Gursona był podstawą do sformułowania następującego 
warunku plastyczności: 


- l ( ) ( * ) ) S
:! ( ) 
DEGA/\S, aK ,f ,
=-- aK =0 
Dnom 


(1) 


gdzie S


 jest ekwiwalentem makroskopowego tensora naprężenia S, uwzględniają- 
cym anizotropię materiału. która jest wywołana przez kierunek ustawienia spłaszczo- 
nych elipsoidalnych mikropustek w jego matrycy (patrz [l]), (aK) jest średnią miarą 
granicy plastyczności, a parametr 


Dł/om == g EGM 2 - 2g EGAlq EGM fEGM COS{ (a: h ) ) + (q EGM fEGM f (2) 


określa stan deterioracji materiału. W wyrażeniu (2) przyjęto następujące oznaczenia: 


x == [ 
 + 
 [ (E - 2 )/n ( eEGM )]] -I , 
E ln(f) EEGM 


S" ==aEGM(Sxx +SVy)+(l-2a E GM )S==,
>>>
Metoda prognozowania zniszczenia i rozwoju ... 


ł 
" 
.J.J 


an;\1 = (I + £n;\1 2 )/(3 + £U;,\I 4), 


qUi,\1 =(q-1)cosh-I
+I, 


hliAI =(t)+gniM -l, 


gn;A/= j £/(,1/' +1 

 I- £/11\/ 2 




O 

  O' 


Skalarna funkcja X zależy od logarytll1icznego współczynnika kształtu 
 = In(Ro / R t) 
średniej ll1iary porowatości ll1ateriału (.t). Parametry e/i;\! i £/(;\/ są określone 
przez: 


e/liII = 
 I - exp(- 21
1 ) 


(3) 


( , ) ", ( , )"" 
l-e/t;I = (t) 1- £/t;M; 
::/t,I/ £UiAI 


(4) 


gdzie: 


17* 


LIs 


dla 
dla 




o 

O 


(;'( I) S I .1 ) ID k I ' . ( 1 ) . f , k 
')"'I\" = dl" )/(1111 reprezentuje w warun 'u p astycznoscl naprężenIe e e tywne. 
które posiada osobliwą wartość, jeśli D""" dąży do zera. 
Rysunek 2 przedstawia graniczne powierzchnie plastyczności określone na pod- 
stawie warunku ( l). gdy (cr K) = 500 MPa, a :, = O (tzn, gdy ll1ikropustki są kuliste), 
Srormułowany tutaj warunek plastyczności ( I), uwzględniający uszkodzenie materiału 
wyraża wyniki badań doświadczalnych. które zostały ujęte w postaci diagrall1u Hen- 
cky'ego [5]. Diagrall1 Hencky'ego (rys. 3) jest wykresem dwuwymiarowej zależności 
ekwiwalentu von Misesa S,,'I\' makroskopowego tensora naprężenia S od naprężenia 
średniego S,,,, Na wykresie tYIl1 linia graniczna uszkodzenia ll1ateriału jest odcinkiem 
paraboli zawartym pomiędzy dwoma punktami Pw i P" Współczynnik wieloosiowości 
stanu naprężenia zostal zdefiniowany jako 


C/I/ =S"'II'/ S ;)/, 


(S)
>>>
134 


Jacek Jackiewicz 


S tAj 
eqv (MPa) 
500 


400 


......-..... 
-o,. 


Rys. 2. Granicme powierzchnie pIasty cm ości spełniające warunek (I), gdy (cr K) = 500 MPa i 
 = O 


Na rysunku 3 punkt Pw określa krytyczną wartość ąM" tego współczynnika. Roz- 
patrywany materiał ulega uszkodzeniu, gdy spełniony jest następujący warunek: 


o 
 ąM 
 ąM cr . 


Seqv 


ąM= 00 ąM= 3 
F F 
ki, raf)kI, 
 
 
, 
Pr 


Seqv. F 


ąM cr 


._--a-O' 


Rys. 3. Diagram Hencky'ego 


3. OBLICZENIA NUMERYCZNE 


(6) 


Pw 
/ 


ąu= 1.5 
Q 


SI =S
=SJ 

 


Sm 


Podstawowe założenia i sformułowania matematyczne dotyczące modelowania 
zniszczenia i rozwoju mikrouszkodzeń w stalach Ni-Mo-Cr w zakresie temperatury 
przejścia materiału ze stanu plastyczności w stan kruchości zostały zweryfikowane za 
pomocą przykładów obliczeniowych. Właściwości matrycy badanego materiału. stali 
22 NiMoCr 3 7 są przedstawione na rysunku 4.
>>>
Metoda prognozowania zniszczenia i rozwoju ... 


135 


1750 


1500 - 



-

 :.- :-
--. 
-a , 
1250 ... - - - . -
..:-: 
..
 
. -----
 
1000..... -.. - 
!: 

 --ł=-
- 
· ł1-ł=t===-.J 
 -.-' - --- - 
5 7 0 50 0 t 
 - - - -- 
. T = -150 o e 
___ T = -20 o e 


-e--T= -40 o e 1 - 
.. ......T= ooe 


.,; 
'c 
CI 
oN 
2' 
c..- 
'" '" 
c "- 

::1: 
.
 t; 
i:;' 
U 
OJ 
N 
o:: 


250 T 


o 
0,00 


0.50 


\,00 


1.50 


2,00 


2,50 


Rzeczywiste odkszta1cenie plastyczne, ES (-) 


Rys. 4. Krzywe zależności rzeczywistego naprężenia od rzeczywistego odkształcenia plastyczne- 
go dla badanej stali 22 NiMoCr 3 7 w zakresie temperatur od -150°C do ODC 


3.1. Symulacja wzrostu pęknięcia w próbce typu zwartego 


Rozciągana próbka typu zwartego (rys. 5) została zamodelowana za pomocą dwu- 
i trójwymiarowych elementów skończonych. W przypadku modelu dwuwymiarowego 
rozpatrzono płaski stan odkształcenia. Istotne szczegóły modeli tej próbki są przedsta- 
wione na rysunku 6. Rejestrując przebieg doświadczeń rozciągania próbki I T C(T) 
o grubości 25 mm i szerokości 50 mm w zakresie temperatur od -40 D C do ODC uzyska- 
no wykresy siły reakcji próbki F od przemieszczenia VLŁpatrz [7]), które porównano 
z wynikami symulacji komputerowych (rys. 7). Celem symulacji komputerowych było 
określenie wpływu stabilnego wzrostu pęknięcia ciągliwego przed rozłamem kruchym 
materiału na jego przejście ze stanu plastyczności w stan kruchości. Do prognozowania 
kruchego pękania wykorzystano następujące założenie: przekroczenie granicy spoisto- 
ści materiału związane z powstaniem w materiale makropęknięcia propagującego się 
krucho jest wywołane przez lokalną mikrokoncentrację naprężeń wokół jednego z wę- 
glików doprowadzającą do jego pęknięcia i zainicjowania przełomu rozdzielczego. Jako 
potencjalne obszary, w których mogą pojawić się zarodki kruchych pęknięć w materiale 
przyjęto miejsca występowania odkształceń plastycznych. Rozkład, różnorodność wy- 
miarów oraz kierunków położenia tych zarodków zostały opisane probabilistycznie.
>>>
136 


Jacek Jackiewicz 


w 


.. p 
(£) 


l 


I 
.. 



_.._. . 
pęknięcie I:.- - a - J 
zmęczeniowe 


B 
 grubość 


I 
I... 


Rys. 5. Schemat próbki typu zwartego 



 
 
 I 
 \\ t i , 
I ___ t 
I, . I *
 I ' 
--------------- ..-- 
r-., i " . I - \ L-- ,.--
 
. 'IW, 
 ..c"'--- , 
- '

 I 
ł----- 
:--. . I 

c$. ".";.,,,;./ 
,-i- L 


a) 


@ 
.. 


p 


--Y 
I 


1.25 W 


. 


. . 
 . I' -:' W 
 
, " , .... .' . \ \', :. , ." \
 .. \ . I 
 \. co ' ", 
'

:.
.
., 

, ,.,' ':. \'
'r 
",Ot.. ,; .
\
,. 

t 0-
,
 
 " "\'" _ ';,....:-:.:.1. 
,. \'«
' r:-- -;"'"T
,.. -,...
-"'

 
."' r.;

'!':I:r ' . ,. ,"7j'="="'co 
,.:-_ 
___. -;:, ...
i..."'
t .
 pl i I {I
 . 
.
t
.
,:;'
 ..

i..
..;"': 
 

"'" 
..,!'I... __o - .,' .

 -

 
,.., .\-.. :.....;0: .
. ł


-" 
',,. - - 
:



? 
. 
'

O::.
 


... 


b) 


Rys. 6. Dwu- i trójwymiarowe siatki elementów skończonych modeli próbki typu zwartego 


Wartości stałych materiałowych zostały określane za pomocą tzw. zadania od- 
wrotnego, polegającego na realizacji symulacji komputerowych wykorzystujących 
mikromechanistyczny opis pękania stali, które odwzorowują przebiegi standardowych 
prób laboratoryjnych badań odporności materiału na pękanie. Wyznaczone stałe mate- 
riałowe (patrz [6]) to: początkowa porowatość materiałufo = 0.002, krytyczna porowa- 
tość materiału wywołująca koalescencję mikropustekk = 0,05, charakterystyczna dłu- 
gość skali wykorzystywana w tzw, opisie nielokalnym materia1u Je = 0,25 mm oraz 
parametry statystyki Weibulla m = 22 i a" = 2528 MPa. 
W celu zmniejszenia wpływu wymiarów elementów skończonych na wyniki sy- 
mulacji komputerowych związanych z zagadnieniem osłabienia materiału, które jest 
wywołane przez jego stopniową deteriorację. wykorzystano nie lokalny opis materiału. 
Spowodowało to uzyskanie dobrej korelacji pomiędzy wynikami symulacji kompute- 
rowych a obserwacjami doświadczalnymi (rys. 7). Wyznaczona dla stali 22 NiMoCr 37
>>>
Metoda prognozowania zniszczenia i rozwoju ... 


137 


krytyczna wartość całki Rice'a w momencie inicjacji ciągliwego pękania materiału 
w temperaturach -40 o e, -20 o e i ooe wynosi J; = 55,8 kJ'm- z . 


70 
60 - 
50 - 
z 
.:.. 
- 40 - 
.
 
.:.. 
'" 30 - 

 

 
/i 
20 - 
10 - 
O 
0,0 


.. - - .. . .. . - - .. - - I 

------- 
-
 


.- 6.. T= O°e. a=27.8mm. 20.1852 elm. 
.. - _ -T=-20°C,a=27.8mm.20.1852elm_ 
_, _ - T = -40°C, a=29.4mm. 20, 1852 elm. 
o . 6 T = O°e. a=27.8mm. 20, 944 elm. 
f _ o - T = -20°C, a=27.8mm. 20. 944 elm. 
o T = -40°C, a=29.4mm. 20, 944 elm. .1 
. T = -20°C, a=27.8mm. dane eksperymentalne .. 
_I . T = -40°C, a=29.4mm. dane ekspervmentalne 1- 
........-0..- T = -20°C, a=27.8mm. 3D. SG, 1660 elm. ' 


"I- :1 


1.0 


2.0 


3,0 


4,0 


5,0 


6.0 


Przemieszczenie. V LL = 2U 2 ( mm ) 


Rys. 7. Krzywe zależności siły reakcji próbki F od przemieszczenia V LL = 2U 2 


3.2. Prognozowanie rozrzutu wartości odporności materiału na pękanie 
kruche 


Numeryczne analizy bazujące na modelach statystyki Weibulla (WS), dyssypacji 
energii (ED) i Beremina pozwoliły oszacować prawdopodobieństwo zniszczenia mate- 
riału w zależności od jego odporności na pękanie (rys. 8). Obliczone maksymalne war- 
tości naprężeń Weibulla w poszczególnych temperaturach są następujące: 
O'w (T=--400C) = 2395 MPa, 
mat 


O'w (T=-200C) = 2289 MPa, 
ma: 


O'w l1la )T=O"C) = 2261 MPa.
>>>
138 
1,00, 
0,90 - 

 
co 
c.. 0,80 T 
.
 
c: 0,70 - 
" 
N 
U 
1;j 0,60 - 
't: 
N 
O 0,50 - 

 
.c: OAO - 
'" 
:E 
O 0.30 - 
" 
O 
C. 
O 0,20 - 
" 

 
'" 
c: 0,10 - 
0,00 
O 


Jacek Jackiewicz 


...... 


- :-..J. '. -
. 
lo ,J O. 
- i/- - - ,- '.. - 
.0 / . 
-
 ... 
!tO .0 
- -Ja- :. 
:' 
" 
-,., - I :." 
,,'.. - - .. - 
'/ ': :: 
.- . - - Ol . 
e-" ' - '. 
_ _:. 0: 1 _ 
o: ,
 
.O
/ .. 
0- - k-!" - - - .. ......u. 
. 0/. .. .. 
. .... ..... ... .lo 


... 


'/ 
L 
A 


. 
. 


, 


.. 


. 


_:j - . 
,I 
I 


.lo 


. 


..ił 


A 


-A, - 
I, 
- 1_, 
. 


i 
.fi( 
A .. . .. . 


100 


700 


800 


200 300 400 500 600 
Odporność na pękame, KJ(MPA 01" 2 ) 


- . - T = -150°e. dane eksperyment. 
-£I T = -150°C, FEM (E D) oblicz. 
o - T = -40°e. FEM (ED) oblicz. 
- . - T = -20°e. dane eksperyment. 
- --+- - T = -20°C, FEM (WS) oblicz. 
. .lo T = O°C, FEM (WS) oblicz. 


- ____ -T=-150°C, FEM (WS) oblicz. 
- .. T = -40°C, dane eksperyment 
- __ T = -40°e. FEM (WS) oblicz. 
- - o . T = -20°e. FEM (ED) oblicz. 
.. T = O°e. dane eksperyment. 
-. ...... .-. T = O°C. model Beremina 


Rys. 8. Prawdopodobieństwo zniszczenia w zależności od odpomości na pękanie 


4. WNIOSKI 


W artykule przedstawiono metodę prognozowania zniszczenia i ewolucji mikro- 
uszkodzeń w stalach Ni-Mo-Cr w zakresie temperatury przejścia materiału ze stanu 
plastyczności w stan kruchości. Zastosowanie tej metody pozwoliło wysnuć następujące 
wnioski: 
I. Materiały zawierające w lokalnym układzie odniesienia (którego oś z jest równole- 
gła do naprężenia głównego SI - patrz rys. I) mikropustki w kształcie nieznacznie 
spłaszczonych lub znacznie wydłużonych elipsoid mogą być rozpatrywane jako 
materiały wyjściowo izotropowe z kulistymi mikropustkami do momentu ich koale- 
scencji, jeśli ewolucja ich kształtu nie powoduje powstania istotnych mikrokoncen- 
tracji naprężeń w materiale. tzn. utworzenia się form mikropustek w kształcie 
znacznie spłaszczonej elipsoidy 
") W zakresie temperatury przejścia materiału ze stanu plastyczności w stan kruchości 
istotne zaokrąglenie się wierzchołka makropęknięcia w chwili jego inicjacji powo- 
duje ciągliwy przyrost długości pęknięcia. Jednak proces ten jest metastabilny, po- 
nieważ zawarte w materialne węgliki w określonych warunkach mogą natychmia- 
stowo spowodować zaostrzenie się konturu wierzchołka makropęknięcia i w konse- 
kwencjijego dalsze propagowanie się w sposób kruchy. 
3. W początkowym stadium formowania się ciągliwej formy makropęknięcia kierunek 
przyrostu jego długości jest zgodny z utworzonym w materiale próbki typu zwartego 
pasmem ścinania mającym swój początek w wierzchołku pęknięcia.
>>>
Metoda prognozowania zniszczenia i rozwoju ... 


139 


LITERATURA 


[1] Andrieux F.. Sun D.-Z.. Riedel H.. 1999. Verbesserte konstitutive Modelle zur Be- 
schreibung von Umformprozessen, Numerische lmplementierung und Experimente. 
IWM-Bericht Z5/99. Fraunhofer Institut fUr Werkstoffmechanik IWM, Juli 1999. 
[2] Berell1in F.M.. 1983. A local criterion for cleavage fracture ofa ntlcłear pressure 
vessel steel. Met. Trans. 14A. 2277-2287. 
[3] Gologanu M.. Leblond J.B.. Devaux L 1993. Approximate models roI' ductile 
metal s containing non-spherical voids. Case ol' axisymmetric prolate ellipsoidal 
cavities. J. Mech. Phys. Solids 41, 1723-1754. 
[4] Gurson A. L., 1977. Continuum theory ol' ductile rupture by void nucłeation and 
growth. Pm1 I: Yield criteria and flow rules for porous ductile ll1edia. J. Eng. Ma- 
ter. Technolog. 99,2-15. 
[5] Hencky H., 1943. Ermildung. Bruch, Plastizitat. Stahlbau 16.95-97, 
[6] Jackiewicz L Kuna M.. 2003. Non-Iocal regularization for FE simulation ol' dam- 
age in ductile rnaterials. Comput. Mater. Sci. 28, 684-695. 
[7] Poussard c., Sainte Catherine c., 2003. ES1S TC 8 - Numerical Round Robin on 
M icro-Mechanical Models: Specification ol' Phase II I for the Simulation ol' the 
Brittle to Ductile Transition Curve. CEA Saclay, SEMIILCMIIRT/02-027/A, 
March 2003. 
[8] Tvergaard V.. Needleman A.. 1984. Analysis ol' the cup-cone fractlire in a round 
tensile bar. Acta MetalI. 32,157-169. 


METHOD OF PREDICTING THE F AILURE AND MICRO-DEFECTS 
EVOLUTION IN Ni-Mo-Cr STEELS IN THE DUCTILE- TO-BRITTLE 
TRANSLTION REGIME 


S Ull1ll1ary 


The subject ol' the articłe is the method ol' predicting the failure and micro-defects 
evolution in Ni-Mo-Cr steels in the ductile-to-brittle transition regime. To achieve this 
goa!. the hybrid 1l10del for the brittle and duetile cracking ol' steel. based on the microll1e- 
chanical description ol' fracture founded by Beremin [2] and Needleman [8], was applied. 
This ll10del was developed into the enhanced Gurson-type [4] 1l10del incorporating effects 
ol' the micro-void aspect ratio. According to the role ol' the dominant ll1icrodefects in the 
materia!. the tracture criterion was ronnulated for situations when the cleavage crack 
initiation is preceded by ductile crack growth giving a large scatter to the values of trac- 
ture toughness. The established method was checked by cOll1parisons ol' standardised 
experimental fracture tests with micromechanical FEM-simulations. 
Keywords: elastic-plastic fracture ll1echanics, ductile crack growth, cłeavage fracture. 
ductile-to-brittle transition regime
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243- MECHANIKA 54 - 2004 


WYBRANE ZAGADNIENIA DOTYCZĄCE SPRAWNOŚCI 
POJAZDU SAMOCHODOWEGO 


Ryszard Jedliński 


Katedra Techniki Cieplnej i Metrologii 
Wydzial Mechaniczny A TR 
ul. ProC S. Kaliskiego 7, 85-796 Bydgoszcz 


Masow) ł-(JZ\\Ój motoryncji stwarza szereg nowych problemów natury 
technicznej oraz związanych z ochroną środowiska naturalnego człowieka. W dą- 
żeniu do obniżania kosztÓw eksploatacji zwraca się szczególną uwagę na zużyci.; 
paliwa i innych materialów eksploatacyjnych. Mniejsze zużycie paliwa to mniej 
szkodliw)ch spalin. W artykule dokonano analizy sprawności ogólnej pojazdu 
\\ aspekcie strat mocy w poszczególnych zespolach. Rozważono przypadek ruchu 
prostoliniowego na poz.iom) m odcinku drogi. 


SIO\va kluCZl)\\e: pojazd samochodowy. sprawność, zużycie pali\\a 


l, ANALIZA CZYNNIKÓW WPL YWi\J.ĄCYCH NA SPRAWNOŚĆ 
POJAZDU SAMOCHODOWEGO 


Przy projektowaniu samochodu konstruktor musi posiadać możność obliczenia 
przeciętnych strat zachodzących w mechanizll1ach układu napędowego, w celu wyzna- 
czenia rzeczywistej wartości dysponowanej mocy na kołach, od której zależą własności 
trakcyjne samochodu. Na rysunku l przedstawiono sily działające na pojazd samocho- 
dowy poruszający się ruchem prostoliniowym na drodze poziomej. 
Ull1ieszczone na schemacie oznaczenia przedstawiają: 
- Pi' - opór powietrza, V. 
V - prędkość ruchu postępowego samochodu, lIn/godz., 
- 0,- cieżar całkowity (sull1a ciężaru własnego 0 i ciężaru ładunku G t ). N, 
- Pi-: - sila napędowa, Y 
- Pi - siła oporó\v toczenia. N. 
- l1'r' 11,/0. 11 "I" 11 1 'g 
- odpowiednio sprawności: sprzęgła, skrzynki biegów. wału prze- 
gubowego. przekładni glównej. 
Współczynnik sprawności 11, który jest ilorazem wielkości 1l10cy uzyskanej i mocy 
włożonej charakteryzuje wielkość strat wewnętrznych. będących następstwell1 we- 
wnętrznych czynników wYll1uszających. Wewnętrznymi czynnikami wYll1uszającymi są 
również siły bezwładności zależne od mas elementów konstrukcyjnych i ll10mentów 
bezwładności. Rozpatrując pojazd samochodowy jako maszynę roboczą przeznaczoną 
do wykonania pracy użytecznej z wykorzystaniem ładowności skrzyni ładunkowej 
i realizowanej z określoną prędkością robocza należy uwzględnić w analizie również
>>>
142 


Ryszard Jedliński 


zewnętrzne czynniki wymuszające (opory toczenia, poślizgi kół jezdnych, opory po- 
wietrza). 


V. .kmt1J 


..... 


P b 
--- 
If, I 
- I 
I 
( 
I 
I 
l 
I 
I 


r-------, 
I I 
I I 
I 
I 
I 
I 
I 


:---

:
-;;;;------l 
I I 
I I 
L
---__--__- ----T
 
I 
_..J 


I 
TJsp 


Rys. l. Schemat układu napędowego samochodu i działających sił 


Takie postawienie zadania umożliwia kompleksową analizę i sterowanie czynni- 
kami dla maksymalizacji celu, którym jest zapewnienie odpowiedniej wydajności środ- 
ków transportowych i minimalizacji zużycia materiałów eksploatacyjnych. 
Dla oceny efektywności wykorzystania mocy silnika pojazdu i strat tej mocy oraz 
szeroko rozumianej sprawności posłużono się równaniem bilansu mocy: 


N S . 11m = N K = Nr + N {, + N p + N h 


(1) 


gdzie: 
N s 

. 
No 
N p 
N h 


- moc silnika przekazana do skrzynki biegów, 
- moc zużywana na pokonanie oporów toczenia, 
- moc tracona w wyniku poślizgu kół napędowych, 
- moc zużywana na pokonanie oporów powietrza, 
- moc zużywana na pokonanie oporów bezwładności, 
- sprawność mechaniczna układu napędowego. 


11", 


Poniżej przeanalizowano czynniki wpływające na poszczególne składowe bilansu. 


1.1. Działanie wewnętrznych czynników wymuszających 


1.1.1. Sprawność mechaniczna układu napędowego 
Jeżeli w mechanizmach napędowych samochodu zastosowane jest sprzęgło cier- 
ne, to w czasie pracy samochodu pracuje ono bez poślizgu. Jedyne straty energetyczne 
związane ze sprzęgłem ciernym, to straty wentylacyjne powstające na skutek obrotu 
sprzęgła w ośrodku powietrza wewnątrz osłony (powietrze zagrzewa się i część energii 
mechanicznej zostaje w ten sposób zamieniona na energię cieplną i wypromieniowana 
na zewnątrz). Sprawność mechaniczna sprzęgła ciernego jest zależna od prędkości ob- 
rotowej, a nie od wielkości przenoszonego momentu. Jako wartość średnią sprawności 
sprzęgła ciernego można przyjąć: 'lsp= 0,998 [I].
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności ... 


143 


Skrzynka biegów stanowi kolejne ogniwo układu napędowego, w której dokonuje 
się transformacja momentu obrotowego i prędkości kątowej (rys. 2). 


uszczelnienia 
łożyska 


przekładnie zębate 
./ 


N 2 


Rys. 2. Schemat skrzynki biegów pojazdu samochodowego i źródeł powstawania strat mocy 


Charakter pracy elementów skrzynki biegów wymusza potrzebę ich ciągłego sma- 
rowania. Dotyczy to współpracujących kół zębatych, wielowypustów i łożysk. Koniecz- 
ność zapobieżenia wyciekom oleju stwarza potrzebę zastosowania niezawodnych 
uszczelnień o wysokiej trwałości eksploatacyjnej. 
Wychodząc z pojęcia sprawności możemy napisać: 


_ N 2 _Ns-N r _N s -(N Tl +N n )_ I _ ( N n Nn ) 
11 ,B - - - - + 
. NI N s N s N s N. 


(2) 


gdzie: 
N s - moc silnika przekazana do skrzynki biegów, 
Nr - moc utracona w skrzynce biegów, to jest zamieniona na ciepło na skutek tar- 
cia mechanicznego i hydraulicznego (N n - w łożyskach, uszczelnieniach na 
pokonanie oporów hydraulicznych, N T2 - na pokonanie oporów tarcia w 
przekładniach). 


Dla ustalonej prędkości obrotowej moce można zastąpić momentami wtedy 
sprawność skrzynki biegów możemy wyrazić w sposób następujący: 
11 = Ms-Mr =I_ ( MTl + Mn ) (3) 
111 Ms AIs fvl s 


W związku z tym, że skrzynki biegów pojazdów pracują w większości sytuacji 
eksploatacyjnych w obszarze mocy maksymalnych, decydujący dla wartości współ- 
czynnika sprawności jest iloraz kI n . 
Ms 
W miarę wzrostu momentu obrotowego opory wewnętrzne w skrzynce biegów 
wzrastają [1]. Dotyczy to w głównej mierze oporów będącym następstwem tarcia 
w przekładniach zębatych. W zakresie niskich momentów obrotowych. tempo wzrostu 
oporów jest jednak wolniejsze od tempa wzrostu przyłożonego momentu i dlatego
>>>
144 


Ryszard Jedliński 


sprawność skrzynki biegów będzie początkowo wzrastała. W zakresie większych mo- 
mentów obrotowych opory tarcia międzyzębnego zaczynają wzrastać szybciej i wtedy 
sprawność skrzynki biegów albo się ustala (bieg bezpośredni), albo może się obniżać 
(biegi niższe). 
W świetle powyższych rozważań istotnymi dla oceny sprawności skrzynki biegów 
są straty na pokonanie oporów tarcia w przekładniach, zależne od ilości i rodzaju prze- 
kładni. W związku tym możemy napisać [2]: 


nw ns 
11 In = 11 pw . 11 pst 


(4) 


gdzie: 


'ł1 p w' nw - odpowiednio współczynnik sprawności mechanicznej przekładni 


zębatej walcowej oraz ilość par przekładni walcowych w ukła- 
dzie, 


'ł1 p s' nps - odpowiednio współczynnik sprawności mechanicznej przekładni 


zębatej stożkowej oraz ilość par przekładni stożkowych w ukła- 
dzie. 


W tabeli l zamieszczono średnie wartości współczynników sprawności mecha- . 
nicznej elementów układu napędowego [1]. 


Tabela l. Wartości współczynników sprawności 


Lp. Parametr Wartość 
I 11 n.. 0.985... 0.99 
2 11,,-, 0.975 ...0.98 


Zasadniczym sposobem uzyskania wysokiej sprawności przekładni zębatych jest: 
wysoka jakość wykonania kół zębatych, 
odpowiednia sztywność elementów układu napędowego, 
stosowanie odpowiednich materiałów smarnych, 
przestrzeganie czasokresów obsługiwania technicznego, w tym wymiany oleju. 
Rozwiązaniem sprzyjającym zmniejszeniu obciążeń poszczególnych kół zębatych 
i poprawy wskaźników sztywności jest zastosowanie w skrzynce biegów dwóch wał- 
ków pośrednich. 
Zastosowanie w skrzynce biegów dwóch wałków pośrednich (rys. 3) powoduje, że 
moment obrotowy przekazywany z wałka sprzęgłowego dzieli się równomiernie po- 
między wałki pośrednie. Umożliwia to użycie węższych kół zębatych, co przy dodat- 
kowym braku synchronizatorów (włączanie biegów za pomocą sprzęgieł przesuwnych) 
wpływa na znaczne zmniejszenie długości skrzynki. Pod względem użytkowym 
skrzynki z dwoma wałkami pośrednimi wyróżniają się dużą odpornością na przeciąże- 
nia mechaniczne, niezawodnością działania i prostotą konstrukcji elementów składo- 
wych. Dokładne ustawienie kół umożliwia precyzyjny, równy podział momentu obro- 
towego pomiędzy wałki pośrednie, uniknięcie drgań poprzecznych wałka głównego 
oraz naprężeń wewnętrznych w wałkach pośrednich.
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności ... 


145 


wałek 
sprzęgowy 


Rys. 3. Skrzynka biegów z dwoma wałkami pośrednimi 


Zadaniem wałów napędowych jest doprowadzenie napędu do oddalonych od sie- 
bie zespołów układu napędowego. 
Ogólną budowę i sprawność dwuprzegubowego wału napędowego w zależności 
od kąta odchylenia y przedstawiono na rysunku 4. 



-TJ 
0,098, 


-, 


Rys. 4. Wał z przegubami krzyżakowymi 


Rys. 5, Sprawność dwuprzegubowego wału na- 
pędowego 


W celu utrzymania równomiemosct prędkości obrotowej wału napędowego 
z krzyżakowymi przegubami w dopuszczalnych granicach oraz zabezpieczenia wyso- 
kiej sprawności mechanicznej stosowane są następujące środki: 
kąty załamania w przegubach wału napędowego przy samochodzie z pełnym ładun- 
kiem tak się dobiera, aby odkształcenia resorów tylnych przy ruchu pojazdu dawały 
mniej więcej równe dwustronne odchylenia kątowe od położenia przy obciążeniu 
statycznym. 
długość wału napędowego powinna być tak dobrana. aby graniczne odkształcenia 
resorów nie powodowały powstania w przegubach kątów załamania osi wałów 
przekraczających kąty dopuszczalne. 
Zasadniczym zespołem mostu napędowego, w którym występują straty mecha- 
niczne w przekładniach jest zespół przekładni głównej (rys. 6).
>>>
146 


Ryszard Jedliński 


a) 


1 - koło atakujące przekładni głównej, 2 - koło talerzowe, 3 - mechanizm różnicowy, 


b 
 c) , 
.'
'
 


b - przekładnia główna stożkowa c - przekładnia główna hipoidalna 
'lpg = 0,95...0.98 'lpg = 0.92...0,95 


Rys. 6. Ogólna budowa mostu napędowego i sprawność przekladni 


Uwzględniając powyższe rozważania całkowity udział strat wewnętrznych mocy 
w mechanizmach układu przeniesienia napędu można określić ogólnym współczynni- 
kiem sprawności mechanicznej, którego wartość można wyznaczyć na podstawie sche- 
matu strukturalnego przedstawionego na rysunku 7. 


'l,p 


'l.b 


'lwp 


'lPI 


N s 


.... 
1':1 N,p 


I 
N,p 


:'I" 


1':1 N'b 


1':1 N wp 


1':1 N pg 


Rys. 7. Przepływy mocy od silnika do kół napędowych pojazdu 


W związku z tym, że N,p = N s : 


11 111c = 1l.'p "l1sh . 11 wp 'l1 p 1;' 


(5) 


Zewnętrznymi czynnikami wymuszającymi określone zachowanie się pojazdu sa- 
mochodowego i jego właściwości trakcyjne są: 
opory bezwładności 
. opory toczenia, 
straty mocy na poślizg kół napędowych, 
opory powietrza. 


1.1.2. Siły bezwładności 
Siły bezwładności stanowią sumę sił bezwładności przeciwdziałających przyspie- 
szaniu samochodu:
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności ... 


147 


dF I l'vl h , 

)=m'-+- 
dt r" 


(6) 


Pierwszy skladnik równania przedstawia opór bezwładności ll1as samochodu poru- 
szających się ruchem postępowym. Drugi skladnik równania stanowi łączny opór bez- 
władności, pochodzący od mas elell1entów wykonujących ruch obrotowy, do których 
zalicza się: 
- koła jezdne samochodu. 
- układ korbowy łącznie z pozostalymi elementami wirującymi siłnika, 
- koło zamachowe, 
- elementy wirujące skrzynki biegów oraz wal napędowy, 
- mechanizm różnicowy:: przekładnią główną i półosiami. 
Największą wartością momentu oporu bezwladności charakteryzują się kola sall1O- 
chodu oraz uklad korbowy silnika łącznie z kolell1 zamachowYIl1 i sprzęgłem. Natoll1iast 
do pOll1inięcia są wal10ści tego 1l10mentu dla pozostałych elell1entów wirujących [3]. 
MOll1ent stycznych sił bezwładności kół samochodu oblicza się z zależności: 
dWi-: 
Alh.'k = Ii-:'- 
dt 


(7) 


gdzie: 
l" - biegunowy ll10ment bezwładności kół. 
WA -- prędkość kątowa kół jezdnych. 


Moment stycznych sil bezwładności silnika zredukowany na oś kół napędzanych: 


dm i-: . 
ivl;", = l, '-'l( 
. df 


(S) 


W praktyce dla obliczeń wpływ mas wirujących na opór bezwładności uwzgłędnia 
się za pomocą współczynnika 8,,: 


dF 
 

 = m.-.b 
) dt" 


(9) 


Zmniejszenie wpływu mas wirujących na opory bezwładności jest 1l10żliwe w wy- 
niku: 
- zmniejszenia masy wirujących elell1entów. 
- zll1niejszenia wymiarów wirujących elell1entów. 
- łagodnego przyspieszania pojazdu, 


1,2. Zewnętrzne czynniki wymuszające 


Opór toczenia sall1ochodu wywołują siły przeciwdziałające toczeniu się jego kół. 
Opór toczenia koła. zaopatrzonego w pneumatyczne ogumienie, na twardej nawierzchni 
drogowej jest wywołany przez następujące straty powstające przy toczeniu się koła [3]: 
_ straty związane z tarciem powstającym między elell1entami bieżnika i podłoża przy 
przemieszczaniu się poszczególnych elell1entów bieżnika względem podłoża pod- 
czas odkształcania się opony,
>>>
148 


Ryszard Jedliński 


straty na tarcie wewnętrzne w materiale opony wywołane przez histerezę w od- 
kształconej oponie, 
straty aerodynamiczne wskutek ruchu obrotowego koła oraz straty mechaniczne na 
tarcie w łożyskach koła. 
Dla pojazdu poruszającego się ruchem prostoliniowym na odcinku poziomym opór 
toczenia oblicza się z uproszczonego wzoru: 


gdzie: 
f-współczynnik oporu toczenia. 


PI = G c . f 


Opór toczenia koła po twardym podłożu jest powodowany głównie stratami histe- 
rezy w oponie w wyniku jej odkształcania. Wynika z tego, że straty te możemy obni- 
żyć podwyższając ciśnienie powietrza w ogumieniu. 


a) 



 


b) 


Wysokie ciśnienie w oponie, mała powierzchnia Niskie ciśnienie w oponie. duża powierzchnia sty- 
stykll. małe opory toczenia. niewielkie zużycie ku. małe naciski jednostkowe. dobra przyczepność 
Rys. 8. Warunki współpracy opony z podlożem: a - na podłożu astaltowo-betonowym. b - na 
podłożu nie utwardzonym 


Opór toczenia koła po miękkim podłożu zależy w głównej mierze od odkształcenia 
tego podłoża. Chcąc w tym przypadku zmniejszyć straty toczenia wynikające z od- 
kształcenia podłoża należałoby zwiększyć powierzchnię styku z podłożem, co osiąga się 
w wyniku obniżenia ciśnienia powietrza w ogumieniu kół jezdnych (rys. 9). 
-do opony 


Rys. 9. Uklad zmiany ciśnienia w oponie w czasie jazdy 


od sprężarki
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności .n 


149 


Współczynnik zwiększa się w miarę spadku wartości ciśnienia w ogumieniu przy 
toczeniu się koła na podłożu asfaltowym; wtedy bowiem elementy ogumienia wchodzą- 
ce w obszar styku są odpowiednio silniej ściskane, na wyjściu zaś silniej odprężane. 
Następstwem tego jest zwiększenie oporów związanych z odkształcaniem ogumienia. 
Współczesne nowoczesne pojazdy osobowe i ciężarowe są wyposażone w systemy 
regulacji ciśnienia w ogumieniu w zależności od warunków eksploatacyjnych. Regula- 
cja może odbywać się w wyniku interwencji kierowcy lub automatycznie (rys. 10). 


b) 


8 


V p 


c 


Rys. 10. Koło pojazdu samochodowego toczące się: a - z poślizgiem. b - ze ślizganiem (pośliz- 
giem ujemnym) 


Ruchowi koła ogumionego towarzyszy zawsze pewien poślizg niektórych ele- 
mentów bieżnika względem nawierzchni. Skutkiem tego prędkość postępowa koła nie 
jest równa iloczynowi jego prędkości kątowej i promienia. W miarę dalszego wzrostu 
wartości stosunku reakcji stycznej do obciążenia normalnego udział poślizgu zwiększa 
się, aż do całkowitego zaniku ruchu potoczystego. Przejawem tego jest albo wyłączny 
ruch obrotowy koła napędzanego, albo wyłączny ruch postępowy koła hamowanego 
(rys. 11). 


h 


-h/H=o.5 
, ' 


0,5 


o 20 ł.O 


/3 


Rys. II. Zależność współczynnika Cx od ustawienia spojlera [2) 


Zjawisko poślizgu może mieć miejsce przy ruszaniu lub przyspieszaniu pojazdu, 
a ślizgania - w procesie hamowania. 
Wartość współczynnika strat mocy w wyniku poślizgu oblicza się z zależności: 


N p NK-N s 
T]s = - = 
N K N K 


PK . (

 - VI") = l _ 
 - VI" = l - 8 
PK'
 
 


( 10)
>>>
150 


Ryszard Jedliński 


Producenci opon coraz częściej zastępują swoje opony o ogólnym przeznaczeniu 
dwoma różnymi typami - z przeznaczeniem na oś kierowaną oraz z przeznaczeniem na 
oś napędową. 
Opony na oś kierowaną mają silnie wzmocnione boki i rzeźbę bieżnika specjalnie 
zaprojektowaną do zapewnienia równomiernego zużywania się przy zachowaniu duże- 
go przebiegu eksploatacyjnego. Opona na oś napędową charakteryzuje się bardziej 
rozbudowaną rzeźbą, a przede wszystkim większą jej głębokością, co zwiększa przy- 
czepność. 
Wielkość poślizgu można zmniejszyć poprzez: 
dociążenie napędzanych kół jezdnych (powoduje to zagęszczenie podłoża i zwięk- 
szenie jego odporności na ścinanie), 
podwyższenie przyczepności kół do podłoża (zwiększona głębokość bieżnika, koła 
bliźniacze). 
Opory powietrza związane są z poruszaniem się pojazdu w środowisku gazowym 
(atmosferze) i wynikają z działania parcia powietrza na powierzchnię czołową, oporów 
tarcia powietrza o zewnętrzne ściany pojazdu oraz z oporów wewnętrznego przepływu 
powietrza przez chłodnicę i urządzenia wentylacyjne. 
Opory powietrza można wyrazić wzorem: 


J 
Pp=0,0472.Cx.A.V-, N 


(I I) 


gdzie: 
ex - współczynnik oporu aerodynamicznego, 
V - prędkość ruchu postępowego wyrażona w km/godz., 
A - powierzchnia czołowa pojazdu, mł. 


Współczynnik oporu powietrza ex zależy głównie od ksztahu przedmiotu poru- 
szającego się w powietrzu oraz w mniejszym stopniu od gładkości jego powierzchni. 
Powszechnym sposobem podwyższania wartości ex w samochodach ciężarowych jest 
stosowanie tak zwanych odchylaczy strugi powietrza (spojlerów) (rys. 12). 


0_72 


Q 



 



 0.88 
'- 
 


0.92 


Q 
 


0.81 


Rys. 12. Zależność Cx od rozmieszczenia ladunku w samochodzie ciężarowym 


W przypadku przewożenia ładunku na odkrytej skrzyni ładunkowej bardzo ważne 
jest odpowiednie rozmieszczenie ładunku. Na rysunku 12 przedstawiono wartości er 
dla różnych przypadków rozmieszczenia ładunku.
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności ... 


151 


2. ILUSTRACJA 


Dla zilustrowania struktury bilansu mocy w pojeździe samochodowym sporządzo- 
no uproszczoną analizę, której wyniki zostały przedstawione na rysunkach 13 i 14. 


200 


150 


100 


50 


o 
f N K !vj I j'i d Il\j
 jli h 
0.03 70 42 I 8 14 7 
100 59,6 10.7 , 20.2 9.49 


f N K N p N b 
I 0.1 180 140 20 1 14 7 
100 77.4 I l LI 7,86 3.69 


Rys. 13. Struktura podziału mocy doprowadzonej do kół napędowych pojazdu samochodowego 



r;;- -- - -- 
-- 
-- 
I-- -"--- - .- -- - .. 
- 
I-- - - - - 
 - 
r- 

 - - 
 - 


1,05 


0,95 


0,9 


0.85 


0,8 


2 


0,879 
0,944 


0,998 
0,998 


3 


4 
0,985 
0,985 


5 
0,931 
l 


6 
0,97 
0,97 


0,995 
0,995 


Rys. 14. Wpływ sprawności poszczególnych zespołów układu napędowego na sprawność me- 
chaniczną ogólną 


Do analizy przyjęto następujące założenia dotyczące parametrów technicznych 
pojazdu: 
- ciężar pojazdu wraz z ładunkiem 
prędkość ruchu postępowego 
poślizg kół napędowych 
współczynnik aerodynamiczny 
powierzchnia czołowa 
przyspieszenie liniowe 
- promień dynamiczny koła jezdnego - 


Gc = 60000, N, 
v= 83,7 km/h, 
8 = 0,15, 
Cx 
F= 3,0 m 2 , 
a= l m/s 2 , 
rK = 0,4 m.
>>>
]52 


Ryszard Jedliński 


Na rysunku ł 3 została przedstawiona struktura podziału mocy doprowadzonej do 
kół napędowych pojazdu samochodowego. DOll1inujący udział stanowi moc zużywana 
na pokonanie oporów toczenia. Jest ona zależna w głównej mierze od współczynnika 
oporu toczenia. Widzill1Y, że d]af= 0,03 (asfalt) udział tej mocy wynosi ok. 60'%. a dla 
f= O, l - ponad 70%. 
D]atego też ważnym zagadnieniell1 jest utrzymywanie właściwego ciśnienia w ogu- 
mieniu. Dla kontroli i sterowania tym ciśnieniell1 służą rozwiązania coraz częściej stoso- 
wane w pojazdach sall1ochodowych. jak np. pompowanie opon azotell1. Załety pompowa- 
nia azotem wynikają z właściwości, jakimi charakteryzuje się to ll1edium. a więc większą 
od powietrza gęstością molekularną. Daje to określone efekty. a ll1ianowicie: 
mniejszy opór toczenia opon, 
mniejsze wahania ciśnienia w oponach w zależności od temperatury. 
przedłużenie trwałości opon, 
większe bezpieczeństwo jazdy wskutek lepszych właściwości trakcyjnych stoso- 
wania obojętnego, niepalnego gazu. 
W celu zmniejszenia oporów toczenia, przy pracy z naczepą trzyosiową. przy nie- 
pełnYIl1 wykorzystaniu ładowności stosuje się rozwiązanie ull10żliwiające uniesienie 
jednej pary kół jezdnych, 
Na zmniejszenie oporów powietrza można wpływać po pierwsze stosując deflektory. 
jak również w przypadku odkrytej skrzyni ładunkowej rozmieszczając odpowiednio 
ładunek (rys. ł l i ł 2). 
Uproszczenie konstrukcji układu napędowego i zastosowanie modulowego ze- 
społu napędowego niezależnie od podwyższenia niezawodności wpływa na podwyższe- 
nie sprawności ogólnej, a tYIl1 samym na obniżenie zużycia pał iwa. Dzieje się to na 
skutek wyełiminowania wału przegubowego. który wymaga starannego wyważenia 
i nie przekraczania określonych kątów załamania, 
Jak wynika z powyższego rysunku (rys. 14). wyelill1inowanie wału przegubowego 
skutkuje podwyższeniell1 sprawności układu napędowego o ok. 7%. 


3. WNIOSKI 


Przedstawione rozważania nie wyczerpują OCZYWISCle całkowicie problematyki 
sprawność eksploatacyjnej pojazdów samochodowych. Zagadnienie należałoby rozpa- 
trzyć dla przypadku ruchu ruchu krzywoliniowego na wzniesieniu lub spadku. Intere- 
sujące byłoby uwzględnienie w układzie napędowym zespołu (sprzęgło lub przekładnia 
hydrokinetyczna) pracującego w ciągłym poślizgu. 


LITERA TURA 


[l] Dębicki M.. 1986. Teoria samochodu. Teoria napędu. WNT Warszawa. 
[2] Gaszczuk P.. 1992. Energeticzeskaja effektiwnost awtolllobilia. Izdatelstwo Swit 
Lwow. 
[3] Siłka W.. 2002. Teoria ruchu samochodu. WNT Warszawa.
>>>
Wybrane zagadnienia dotyczące sprawności ... 


153 


SELECTED PROBLEMS CONCERNING 
EFFICIENCY OF AUTOMOTIVE VEHICLE 


SUll1mary 


Mass development ol' motorization causes ll1any new problell1s ol' technical nature 
as vehicles those connected with environment protection. In order to decrease running 
costs special emphasis has been put on the consumption ol' fueł and other used materi- 
aIs, The smalleI' the ruel consumption the rewer noxious cOll1ponents. In this article an 
analysis ol' the automotive vehicle overall efticiency has been performed as regards 
power losses occurrence in particularly subassemblies. A case ol' straight movement on 
a horizontal road has been eon sideret. 


Keywords: 1l10tor vehicles, overall efriciency, fuel consumption
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


WYZNACZANIE TRAJEKTORII IDEALNYCH I RZECZYWISTYCH 


Dariusz Kasprzak 


ul. PająklJ\\skiego 13c/l9, 87-100 TorUJ1 


W artykule przcdsta\
iono zastoslJ\\anie znanych zagadnień mechaniki kla- 
sycznej do wyznaczania torlJ\\ idealnych i rzeczywistych. Pominięto tematykę 
oczywistą - na przyklad - zasady dynamiki Newtona. Ograniczone ramy artykulu 
pozwalają zwrÓcić uwagęjedynic na kilka interesujących przykładów. 
Słowa kluCZlJ\\c: ruch zlożony, ruch Lanchestera. sterowanie. optymalizacja 


l, WSTĘP 


W nowych prężnie rozwijających się dziedzinach techniki, np. w ll1echatronice 
zaklada się planowanie trajektorii według określonych kryteriów. Przyjmuje się, że 
technicznie ważnymi geometriami toru są odcinki prostej, odcinki przekrojów stożka 
lub tory spiralne [6]. Jeżeli w wyniku przeprowadzonej analizy uzyskuje się kilka do- 
puszczalnych rozwiązal1. to często konieczne wydaje się wybranie trajektorii optYll1al- 
nej. Najczęściej stosowanymi kryteriami optymalizacji mogą być: minill1um dlugości. 
minimum czasu, minill1ull1 energii. itp. Od wielu współczesnych maszyn wymaga się, 
aby swoje zadanie wykonały w jak najkrótszYIl1 czasie. Modele optYll1alizacyjne zakła- 
dające takie kryterium operują najczęściej w obszarze rachunku wariacyjnego. Spośród 
nich najczęściej stosowanymi są: metoda wykorzystująca zasadę Pontriagina. progra- 
mowanie dynamiczne Belimana oraz zadanie w forll1ie Mayera, Proces optYll1alizacji 
będzie tYIl1 bardziej wiarygodny, im dokładniejszy będzie 1l10del ll1atematyczny ruchu, 
Uwzględnienie pełnego modelu lotu (składającego się niejednokrotnie z układu kilku- 
nastu. a nawet kilkudziesięciu równań) czyni to zadanie nie zawsze oplacalnYIl1. 
Stanowi to podstawę poszukiwania analogii ll1iędzy znanymi i dobrze opisanymi 
zjawiskami rizycznymi a ruchem obiektu. Celem niniejszego miykułu jest przedstawie- 
nie wybranych zagadnień mechaniki klasycznej mogących ll1ieć wpływ na uproszczenie 
1l10delu matematycznego sterownia. Zostaną pominięte zagadnienia oczywiste (np. trzy 
zasady Newtona). Ograniczono się do następujących zagadnień: 
zasady zmiany pędu i krętu, 
równanie Lagrange'a-Eulera, 
zagadnienia ruchu zlożonego, 
- ruch \V ujęciu Lanchestera. 
W artykule przedstawiono problell1Y w oparciu o obiekt sterowania. jakim jest 
przeciwpancerny pocisk kierJ\vany, ale równie dobrze omawiane zagadnienia można 
rozszerzyć na inne urządzenia.
>>>
156 


Dariusz Kasprzak 


2. 'RÓWNANIE LAGRANGE'A-EULERA, ZASADY ZMIANY PĘDU 
I KRĘTU 


Jedną z metod wariacyjnych optymalizacji jest ll1etoda polegająca na rozwiązaniu 
zadania w formie Mayera. Oczywiście, jak w każdYIl1 zadaniu optymalizacyjnym, cho- 
dzi tu o znalezienie spośród całej rodziny dostępnych torów lotu rakiety takiego. który 
będzie torell1 optymalnym dla zadanego kryterium z określonym wskaźnikiem jakości. 
Kryterium tym jest w przypadku ruchu rakiet kryterium minimalno-czasowe. Wspo- 
mniana powyżej metoda wykorzystuje w charakterze funkcji tworzącej (nazwa zapro- 
ponowana przez prof. Tatarkiewicza - jako że tworzy ona problem badawczy) równanie 
Lagrange'a-Eulera w postaci: 


d [ CiF J r'F 
dt ("'ci; - "'q I = O 


( ł ) 


Oczywiście postać funkcji tworzącej będzie zależna od konkretnego modelu ma- 
tematycznego poddawanego procesowi optYll1alizacji. Przykładowe zastosowanie rów- 
nania (I) do zadania w formie Mayera zostało pokazane w [ł]. 
Aktualnie występuje wiele założeń pozwalających na wyznaczenie równań obiek- 
tu, jednakże najczęściej stosowane wydaje się zastosowanie zasady zmiany pędu i krętu. 
Rozwiązanie takie jest proponowane np. w [5], 


cm - 
-=F 
dt 
dK - 
-=M 
dt 


(2) 


gdzie: 
rr, K wektory pędu i krętu układu materiałnego. 
F, lvI - główny wektor sił i główny 1l10ment sił zewnętrznych działających na 
punkt materialny. 


Powyższe równania w układzie współrzędnych związanym z obiektem można za- 
pisać w postaci; 


cm --- 
---ć.'... + Q x rr = F 
/ u 
et 


(3 ) 


dK - - - - - 
_ / ;J + Q x Ku + 
;) x fl n = J/ 
c t 


Po przeprowadzeniu niezbędnych przekształcerl i podstawieniu do wzoru na ener- 
gię kinetyczną otrzYll1uje się układ równań: ruch środka ll1asy i dookoła środka masy. 
Pełne wyprowadzenie tych równań można znaleźć np. w [5,8]. Przyjęcie założenia 
o osiowej symetrii badanego obiektu daje następujące układy równań eulerowskich:
>>>
Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych 


157 


-- środka masy 


m(U -qW -rV)= X 
111((- + rU - pW)= y 
m(rV+pv-qU)=Z 


(4) 


- dookoła środka masy 


fx f7 = L 
f ,ci - (I c - fJpr = Al 
f / - V, - f, )pq = N 


(5) 


W równaniach (4) oraz (5) oznaczono: 
U, V, W - skladowe wektora prędkości, 
p,cf.r- składowe wektora prędkości obrotowej, 
X. Y,Z - skladowe wektora sił zewnętrznych, 
L,M,N - skladowe wektora mOll1entu sił wewnętrznych, 
f,.I,,!c -- 1l10ll1enty bezwładności wzdluż odpowiednich osi, 


Podsumowując, należy stwierdzić. że zarówno zasady zmiany pędu i krętu, jak 
i równanie Lagrange'a-Eulera znalazły szerokie zastosowanie w teorii sterowania, 


3. RUCH ZŁOŻONY W TEORII STEROWANIA 


Znalezienie podobieństwa między metodall1i naprowadzania a znanym z ll1echani- 
ki klasycznej ruchem złożonym [7,10] stało się możliwe dzięki ujęciu lotu sterowanego 
jako ruchu nieswobodnego z więzami uogólnionymi [2] . 
W równaniach takiego ruchu rozgranicza się równania ruchu sterowanego idealnie 
od ruchu w przestrzeni błędów. Błędami naprowadzania (uchyball1i) są współrzędne 
ruchu względnego (11. C;). Położenie obiektu w locie sterowanym idealnie określa 
zmienna Ę, Do odpowiednich runkcji formowania sygnału sterowania wejdą więc 
zll1ienne '7 oraz C; wraz z pochodnymi lub ewentualnie całkall1i. 
Mechanika klasyczna wyodrębnia w ruchu zlożonYIl1 ruch unoszenia związany 
z ukladell1 obserwacj i oraz ruch względny odbywający się względem tego układu. 
KolejnYIl1 krokiem na drodze do uzyskania wiarygodnego ll1inimalno-czasowego 
procesu przechwycenia rakietą samonaprowadzającą się jest przedstawienie tego ruchu 
w ujęciu macierzowym. 
Wprowadzono układ ruchomy. który na ogół wiąże się z poruszającym się obiek- 
tem 0ŚI1Ś' Ruch ten odbywa się względell1 ukladu nicruchomego Oxy::. Przejście między 
ukladami ruchomym i nieruchomYIl1 opisano następującymi zależnościall1i: 


x = allś -i- (/1 c 11-t- (/j,Ś + x" 
l' = (/clŚ + UccJl 
 (/23Ś +)'" 
:: = L'-i l'; -: Ll7-211 -;- u_....:.ś 4"""" =() 


(6)
>>>
158 


Dariusz Kasprzak 


Transformacja odwrotna: 
Ę, = all (x - x,J+ a21 (y - y,,)+ a31 (z - =J 
TJ = al2 (x - x o )+ an (y - y,,)+ a32(z - zo) 
Ś = a 13 (x - x o )+ a23 (y - Yo)+ a33 (z - =,,) 


(7) 


pozwala znaleźć ruch względny przy znanych ruchach: bezwzględnym i unoszenia. 
W zależnościach (6) i (7) występują współczynniki ali' będące w gruncie rzeczy 
cosinusami kierunkowymi. Macierzowe ujęcie ruchu złożonego przy wykorzystaniu 
kątów układu "geograficznego" prowadzi do otrzymania dziewięciu zależności na pręd- 
kości i tyluż na przyspieszenia kątowe. Celowe staje się więc wykorzystanie w macie- 
rzy cosinusów kierunkowych "kątów Eulera". Zależności w ruchu złożonym przedsta- 
wia rysunek l. Kąty pochylenia i odchylenia linij obserwacji celu oznaczono odpo- 
wiednio E oraz Pn. Równanie wektorowe ruchu złożonego ma postać: 


- - - 
r = p+ ro 


(8) 


w równaniu tym: 


- 
 - 
 
r = X 7 + Y 7 + _ '" 7 2 2 2. 
- ;ro= x,,+Yo+ZIJ' 


- 
7 7 7 
P = 
 Ę,- + TJ- + ś- 


r - 


-:
, 
 v 
g , 
'i3'1 
 0
- Oc:;; :_ / / 
---... . .. .. 
. - ° "'o p 
_ ° E 
- . ."0",13'1 

Xg 
-- -O \....... 
_ . ° t \ 

 
'-.13" 


c:;; 


.. 
1. .. 


y' 
g 


TJ 


. 
- ° 


O
X. 


z' 
g 


.. Y g 


Z.g 


Rys. l. Zależności w ruchu złożonym 


Macierz cosinusów kierunkowych wyrażona za pomocą kątów E, Pn a więc quasi- 
eulerowskich przyjmie postać:
>>>
Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych 


159 


["" al::' (/L, [ """,mB" -sinEcos
1I ';0:" ] 
A(a ,/ )= a::'l (I...,..., (/],3 = SinE COSE 
a'l (/:,
 ClJ] -cosEsin
1I sin E sin 
II COS
11 


(9) 


Zatell1 wektor r położenia obiektu względell1 nieruchomego układu współrzęd- 
nych określa się w zapisie macierzowYIl1 w postaci: 


[l CO,I' E CO.I' 
" - sin E cos 
II W'I\'TJ [X" 
sinE COS E O j"+y" (10) 
CO.I' E sin 
II sin E sin 
II cos
" l;; ::0 


W ruchu złożonym wyodrębnia się dwie składowe prędkości: prędkość unoszenia 
oraz prędkość względną. Zależności na te prędkości uzyskuje się drogą zróżniczkowa- 
nia równania ( ł O). Prędkość bezwzględna w postaci wektorowej ll1a wówczas postać: 


- 


v -
 
h - Lit 


lub: 


v, d(CB)
 I + [ 
 J LlA(:

,,) + [ ::
 
1l;;J l;; 
II 


(II) 


przy czym: 
- prędkość względna 


- I
 j 
V = d p = l "' , ' 
\I' 11 
Lit ;- 

 


( 12) 


- prędkość unoszenia 


I .' _ X
I I r 
 I ( ('":' , -/ LlE i"A d
" J _ I ' [ 
 1 . a, . 4 [ ",.0 1 il aA 
,,- l" + III 
-+-::--- - ',,+ 11 E
+ 111-',,-::-- 

 I I,
 J I (E Lit ('
" dt , y (E 
, c
" 
_ L-= l, '-=J 


(13 ) 


W równaniach tych pochodne macierzy kierunkowych względem poszczególnych 
kątow wynoszą: 


(-,-/ 


sin E COS 
i1 - COS E CO.I' 
 II 
] 
CO.I' S - sin s 
sin s sin
" cos s sin 
II 


(ł 4) 


(-s 


(",.j 
(

'I 


- CO,I' S sin 
II sin s sin 
II cos 
" 
O O O 
- COS E cos
" sin s cos 0" - sin
" 


( ł 5)
>>>
160 


Dariusz Kasprzak 


Zależności te stanowią punkt wyjścia do wyznaczenia przyspieszeń w ruchu zlo- 
żonYll1, Wspomniane już prace [7, 10] rozpatrują przyspieszenie w tym ruchu jako sumę 
przyspieszeń: względnego, unoszenia oraz Coriolisa. Przeprowadzenie różniczkowania 
prędkości bezwzględnej po czasie doprowadzi do następujących zależności na przyspie- 
szenia bezwzględne: 


l .. . l ' j [ ' 

 
 
 l ,\'" 
.. dA. d- A .. 
ah = A 11 + 2- 11 + 11 ---:;- + [ Yo ] 
.. dt. dt 
Ś Ś Ś :,) 


(ł 6) 


gdzie: 


l o 4 
, 
 l 4 
 4 
 o 4 
(-" _Crt.. c-,." c, ił c-" Ił" 
---:;- - -::- E + ---::::-7 E + --:;-- JJ II + 
 JJ /1 
dr (JE CE- C
II c

 


( 17) 


e"A cos s CO,\' 
II sinE cos 
II 
. 
o 
 sin E - COS E 
as- cos E sin 
II -sinEsin
1I 


( IS) 



 , " [ - co S E COS 
 II 
c- A = O 

n.' 
Cl--'
 ' Ił 
- CO,\' E Sin 1--'11 


sinEcos
1I 
O 


- sin 
II 


o 


(ł 9) 


- sin E cos
" 


- COS 
II 


Składowymi przyspieszenia ( 16) są: 
przyspieszenie względne 


a" 
J('
"l
' 


(20) 


.. . 
przyspleszeme unoszenIa 


. _ [ ""
I [ a . . , 4.. C . CA.c ( . -.4 ił ,r
cA Rcl 
a" - 111 
E+---::::-7E +--:::--1--'" -t-
I--'II 1+ .\'" 

J rE rC r[3;) (

) 


XI) 


(21 ) 


-() j 


- przyspieszenie Coriolisa 


l :l r ' 
-.; ( 
 ..., \ Ś 
_ ') dA . _ ') [ ( . ', . 4 . , ( . .4 R i , ' 
a, - _ 11 - - 
 E -r- 
 1--'11 I 'l 
dt r \ ( E (
II ): 

 L
 


(22) 


Program lotu sterowanego idealnie wymaga takich wychyleń sterów. aby sil\ !!e- 
nerowane wychyleniem sterów dawały przyspieszenia bezwzględne dzialające na obiekt
>>>
Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych 


161 


sterowania. Ponieważ przyspieszenie wypadkowe jest SUll1ą przyspieszeń unoszenia, 
względnego i Coriolisa. zatem związki sprzęgające dynamikę wychylenia sterów zwią- 
zane są z wielkościall1i wchodzącYll1i do wyrażeń na składowe przyspieszeń. Są nimi: 
(Ę,11,
 ), (E'
Ii)' Zatem związek między wychyleniem sterów a względnymi przell1iesz- 
czeniall1i i pochodnymi kątów linii obserwacji celu wyraża się: 


W (8 11 ,8 11 ,b,,)= Y(tkt,tkc)['P(
,
, 11)+ 'P\(d;)] 
W(8/11' 8 111 , b lll )= Y(t kH , t" )['Pc ((
, 
)+ 'P} 
II' 
II)] 


(23) 


Zależności (23) określają związki sprzęgające dynamikę wychylenia sterów z sy- 
gnałami sterowania. Otrzymane przyspieszenia stają się skladnikami równania na wy- 
chylenie sterów niezbędne do idealnego sterowania. Błędami sterowania w ruchu prze- 
strzennym są współrzędne ruchu względnego dane w następującej postaci: 

 = V Co.\'''(.\'in(K, -
J-Ę
II COSE 

 = V[sin"( COSE - CO,\"( sin E COS(Kc - 
II )]-ĘE 


(24) 


Sall1onaprowadzanie w ujęciu ruchu złożonego to przypadek, kiedy biegun obser- 
wacji pokrywa się z położeniem obiektu. Okazuje się więc. że ruch ten jest jedynie 
ruchem unoszenia. Znacznie upraszcza to wyznaczenie przyspieszeń oraz prędkości 
w tym ruchu. Obowiązywać będzie zależność (rysunek l): 


r = ,;, = Ę = 11 = 
 = O = P = O 


(25) 


Związki sprzęgające dynamikę wychylenia sterów z sygnałami sterowania (23) 
ograniczą się wówczas do zaleŻnl)Ści: 


(1:(8 11 ,5 11 , bil) = Y(t kll , t kc )'P 1 (E. E) 
(1:(8111,8111' b lll )= Y(t kw ' [kc )'P} (
II' 
II) 


(26) 


Wypadkowe przyspieszenie będzie się równało przyspieszeniu unoszenia: 


dC
, ' l c 'C 
Uh = Uli = - / ' = l'" '( + K 
ćr 


(27) 


Po dokonaniu niezbędnych przekształceń. zależność składowych całkowitego przy- 
spieszenia ruchu złożonego ma postac: 


U = (. V'/\'iI1'J-l"CO\"J X k -I ) n +Vk p. cOS'J 
1/ I' j 'I 1/ ł-ln }]JJ II . 


(28) 


U ill = l"/\IIIE-r""("(-E) 


(29) 


Przyspieszenie bezwzględne jest tu jedynie przyspieszeniem unoszenia, Przyspie- 
szenia względne i Coriolisa przy samonaprowadzaniu się równają się zeru, Otrzymane 
przyspieszenia wchodzą w sklad zależności na wychylenia sterów niezbędne do prze- 
strzennego idealnego sterowania lotem rakiety. do którego powinno dążyć sterowanie 
rzeczywiste.
>>>
]62 


Dariusz Kasprzak 


Podobne rozważania prowadzone dla zdalnego naprowadzania prowadzi do wnio- 
sku iż jest ono w swej istocie ruchem z nierucholl1ym biegunem obserwacj i. Przypadek 
ten odpowiada następującym warunkom ruchu (rys, l): 


r()=O:::r=p 


Załeżności na całkowite przyspieszenia kierunkowe i w kanale pochylenia w prze- 
strzennym ruchu złożonym dla przypadku zdalnego sterowania mają postać: 
a ll = ;
Il COS E - (
' cos y - Vy siWI XK - 
J- ;
Il£ sil1 E + 2Ę
1l cos E 
a m =;£ - 
'(y - E)+ 2Ę£ 


(30) 


Z przeprowadzonej analizy wynikają korzyści. jakie niesie rozpatrywanie ruchu 
obiektu jako ruchu złożonego. Szczególnie ułatwia to wyprowadzenie zależności na 
przyspieszenia niezbędne do idealnego kierowania ruchem dla przypadków zdalnego 
sterowania oraz sall1onaprowadzania. Zagadnienia przedstawione w tYIl1 rozdziale do- 
kładniej zostały przedstawione w [3,4]. 


4. RUCH LANCHESTERA 


Celem poniższych rozważań jest przedstawienie zastosowania ruchu Lanchestera 
w teorii sterowania rakiet. Rozważania ograniczono do plaszczyzny podlużnej (ruch 
symetryczny, bez uwzględnienia przechyłu. obrotu wokół osi pionowej. ślizgu itp.), 
Równania ruchu środka ciężkości zapisano dla ruchu plaskiego w następującej postaci: 


111 V = F - P, - mg sini 
111 Vy = F + Pc - mg CO,I' y 


(31 ) 


Trzecie równanie jest równaniem ruchu obrotowego w postaci: 


l,jJ=L 


(32) 


Element łuku toru oznaczono dp. wówczas równania (31) przyjmuje postać: 


O" O, dV . 
=- v = =- v - = F -- Pr - CJ S II] O( 
g g dp 
O ," O "o dV c P O 
=- f'"( = =- r - - = I Ci. -I- c - _ CO,I' i 
g g dp 


(33) 


Program minimalno-czasowy sterowania daje dwa rozwiązania sprowadzające się do: 


I1r = n, II I IX oraz n c = 11 c,1 
n, = O 11- = O 
W powyższych zależnościach literą 11 z odpowiednimi indeksami oznaczono prze- 
ciążenia działające wzdłuż odpowiednich osi. Na tej podstawie stwierdzono, że: 
Pr::}' ro::wią::aniach powv::s::ych dla drugiej iicv lo/u sleroll'ul1ego silu ciLL'SU 
i opÓr c::olmvy rÓwnowa::ą się w::ujel11l1ie w ka::dej chwili, u \I'ięc są ul1ulogic::l1e :: ::alo- 
::el1ial11i dlu ruchu Lunchestera.
>>>
Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych 


163 


Zastosowanie założeń ruchu Lanchestera [9] do ruchu rakiety w płaszczyźnie po- 
dłużnej spowodowało, że równania (31 ) oraz (32) przyjęły postać: 


,c!V . 
r -=-gs/I1Y 
dp 
, dV ( P- J 
V - JP = g Q - cos y 


(34) 


Stwierdzono. że siła nośna jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ze współ- 
czynnikiell1 zależnym jedynie od kąta natarcia. Z drugiego założenia wynika, że w ru- 
chu tym kąt natarcia (i odpowiednio współczynnik sily nośnej) pozostają stałe. Pierw- 
szy odcinek lotu idealnego rakiety samonaprowadzającej się ll1usi odbywać się ze sta- 
łym kątem natarcia. stąd nasuwające się przeświadczenie o analogii tego lotu z ruchell1 
Lanchestera. 
Po uwzględnieniu znanych zależności na siłę oporu czołowego i siłę nośną okre- 
ślono: 


P_ V c 
P, V} 


(35) 


W efekcie otrzymano równania: 


I v 
V
- 
l _g 
c:: 
"dy. (V c ) 
i - -smy = -gl- . , -cosy 
d:: \ V\
 


(36) 


i po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń i przekształceń otrzymano: 


,. dy ,.c ,. dy V C 
i SII1'(-=--+cosY=COS'I-V smy-=- 
dV V C 'dV V C 
\" X 


(37) 


Scałkowanie ostatniego wyrażenia doprowadziło do następującego równania: 


.V C I V' 
V cosy = J -dV =-- . +C 
, f' c ' I.' C 
\" -' ,.- X 


(38) 


Równanie (38) jest biegunowYIl1 równaniem hodografu, Jeżeli na początku lot bę- 
dzie odbywał się z prędkością V = I '\ i'! = O. stala całkowania osiągnie wartość: 


') 
C=-=-V 
"'I X 
j 


Jeżeli z = const i '( = O, to jednym z rozwiązań, jak należało oczekiwać, jest pozio- 
my lot na wysokości: 


- 
-n 


V: 
lO- 
-,....
>>>
164 


Dariusz Kasprzak 


Aby znaleźć inne rozwiązania, tj. inne ll10żliwe trajektorie lotu idealnego. do rów- 
nania (38) podstawiono wartość V i wprowadzono nową bezwymiarową zmienną: 
..., (7- V:! 
Ą= -,..,- =- 
f.' o I ' o 
r'x- ".\-: 


(39) 


i otrzymano: 


l, Co 
cos y = - A + f- 
3 vĄ 


(40) 


w powyższym równaniu: C'o = CI 
- V, 
Z przedstawionej analizy wyciągnięto następujące wnioski: 
..., 
dla Co = 
 istnieje rozwiązanie odpowiadające lotowi poziomemu - tylko jeden 
- 3 
punkt(Ą = l,cosy = I)E Icosyl ś l. 
dla dużych wartości C 2 nie istnieją punkty zawierające się w tym przedziale. 
dla C 2  O cos y przyjll1uje tylko wartości dodatnie, natomiast A zmienia się tylko 
w niewielkim zakresie (jest zawsze bliska I), 
dla C 2  O cos y oraz składowa pozioma prędkości zll1ieniają się od wartości ujem- 
nych na dużych wysokościach do wartości dodatnich na mniejszych wysokościach. 
dla C 2 = O zależność cos y = j(A) okazuje się prostą wychodzącą z początku uktadu 
współrzędnych i przechodzącą przez punkt (Ą = 3, cos y = ł). 
Który z przedstawionych ruchów będzie mial miejsce w konkretnym przypadku 
załeży od warunków początkowych (od wartości i kierunku prędkości początkowej) 
oraz od prograll1u minimalno-czasowego sterowania. 
Założenia ruchu Lanchestera (choć wydawać by się moglo. że są one uproszcze- 
niaJl1i zbyt daleko idącymi) pozwalają na ich wykorzystanie do ruchu idealnie sterowa- 
nego rakiety samonaprowadzającej się według prograll1u minimalno-czasowego. O ko- 
rzyściach z tym związanych świadczy otrzymanie analitycznych rozwiązal'1 w formie 
zamkniętej dla przypadku lotu rakiety ze stałą prędkością. W rzeczywistych warunkach 
lotu należy wykorzystywać jedynie wycinki rozwiązal'1 przytoczonych we wspomnia- 
nym opracowaniu. Przedziały tych wycinków wyznacza się dla konkretnych zadall 
,terowania, a więc warunków początkowych i punktów przelączania sterowania. 


5. PODSUMOWANIE 


Przedstawione rozważania stanowią jedynie próbę znalezienia powiązal'1 między 
znanYll1i i dobrze opisanymi zagadnieniami ll1echaniki klasycznej a trudnymi w analizie 
zagadnieniami sterowania obiektów, Co prawda dotyczą one sterowania rakiet. ale 
doskonale nadają się do analizy innych obiektów. Tak jak wspomniano we wstępie, 
niell10żliwe jest rozważenie wszystkich zagadniel'1, które ll10gą być wykorzystywane 
w budowie modelu matematycznego, jednakże już te kilka przykładów (te bardziej 
znane przedstawione w punkcie ::;, jak i te Il1niej znane - w punktach 3 i -I) jest na tyle 
obiecujących, że stanowią doping do dalszego poszukiwania takich analogii. 
Powstanie tego artykułu nie by loby możliwe. gdyby nie inspiracja naukowa (zwłasz- 
cza w pkt. 3 i 4) Pana prof. dr. hab. inż. Stanisława Dubiela z W AT Warszawa.
>>>
Wyznaczanie trajektorii idealnych i rzeczywistych 


ł65 


LITERATURA 


[I] Dębecki A.. Dubiel S., 1988. Konstrukcja rakiet. Cz. 3, Wyd. wewn. WAT 
180 L'88 Warszawa. 
[2] Dubiel S.. 1973. Więzy uogólnione i ich zastosowanie do badania sterowalności 
obiektów latających. Dodatek do Biuletynu WAT nr 12, Warszawa. 
[3] Dubiel S.. Kasprzak D.. 1998. Sall1onaprowadzanie w przestrzeni jako przypa- 
dek ruchu złożonego. Materiały Ił Międzynarodowej Konrerencji Uzbrojeniowej 
"Naukowe Aspekty Techniki Uzbrojenia", Cz. l. Waplewo 27-29.łO.J998. 
79-88. 
[4] Dubiel S.. Kasprzak D., ł 998. Zdalne naprowadzanie jako szczególny przypa- 
dek przestrzennego ruchu złożonego. Materiały IX Konferencji .,Sterowanie 
i regulacja w radiolokacji i obiektach latających", Biuletyn I (29)/98, t. L Jelenia 
Góra 16-18.06.1998, 189-198. 
[5] Gacek L 1997. Balistyka zewnętrzna. Cz. ł. Wyd. W AT Warszawa. 
[6] Heimann B., Gerth W.. Popp K., 200 I. Mechatronika. Komponenty, metody, 
przykłady. PWN Warszawa. 
[7] Huber M.T., 1956. Mechanika ogólna i techniczna. PWN Warszawa. 
[8] Kasprzak D.. 1997. Minimalno-czasowy problem przechwytywania rakietą samo- 
naprowadzającą się w locie przestrzennym. Rozprawa doktorska, W A T War- 
szawa. 


[9] von Mises R.. 1945. Theory ofFlight. New York. 
[10] Suslow G.K.. 1960. Mechanika techniczna. PWN Warszawa. 


DETER
vIINA TION OF IDEAL AND TRUE TRAJECTORIES 


SUll1mary 


The article shows the use ol' known facts ol' classical mechanics in determining the 
ideal and true trajectories. Same basic and evident issues (like Newton's laws ol' dy- 
namics 1'01' instance) have been left out. The limitations ol' the aniele allow only to pay 
attention on the several most interesting examples. 
Keywords: 3-D 1l10tion. Lanchester's motion, control, optimization
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54- 2004 


WLAŚCIWOŚCII WYTWARZANIE CIECZY MAGNETYCZNYCH 


Katarzyna Kazimierska. Mariusz Kaczmarek. Bartosz Nowak 


Instytut Mechaniki Środu\\iska i Infurmatyki Stosowanej 
Wydział Malćmatyki, Techniki i Nauk Przyrodniczych 
Akademia Bydguska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkiewicza 30, X5-06-1Bydgoszcz 


Ferro-ciecze są materiałami magnetycznymi nie występującymi w stanie na- 
turalnym \\ przyrodzie. Z uwagi na rosnącą liczbę zastosowań tych materiałów 
Igłó\\nie w medycynie, przemyśle wydobywczym i technice) opracowano szcreg 
metud ich utrz) m) \vania. W pracy przedstawiono jedną z metod ehemicznegu 
Llzyski\\ania cieczy magnetycznej. Następnie upisanu wyniki własnych badań 
magnet) czn) ch cieczy \\ Y t \vurzunej na bazie syntezy chemicznej. 


SIO\va kluczo\\ e: ciecze magnet) ezne. paramagnetyki. namagnesuwanie, krzywa 
I.angevina 


l. WSTĘP 


W przyrodzie występują w stanie naturalnym trzy rodzaje materiałów magnetycz- 
nych: paramagnetyki. diall1agnetyki oraz ferroll1agnetyki. Kryterium klasyfikacji stanowi 
wartość podatności ll1agnetycznej (oznaczanej najczęściej symbolem X). określającej 
zdolność materialu do namagnesowywania się pod wpływell1 zewnętrznego pola magne- 
tycznego. W przypadku paramagnetyków wartość podatności magnetycznej waha się 
w granicach od 10-; do 10-(', dla rerromagnetyków wynosi od 10- 2 do ł 0 6 . Z kolei diama- 
gnetyki cechują się ujemną wartością podatności ll1agnetycznej. która wynosi ok, _10-5 
Oprócz wYll1ienionych powyżej naturalnie występujących materiałów magnetycznych 
można wyróżnić substancje. których podatność magnetyczna jest w przybłiżeniu równa 
jedeności. Substancje te, nazywane cieczami magnetycznYll1i lub ferro-cieczami. definio- 
wane sąjako dwut
lzO\vy system. złożony z małych cząsteczek stalych rerro- lub terrima- 
gnetycznych zawieszonych w cieczy nośnej. Ponieważ wielkość tych cząstek jest rzędu 
10 nm (100 i.\). ciecze te klasytikowane są do zawiesin koloidalnych. Przy braku pola 
magnetycznego ciecze magnetyczne zachowują się jak zwyczajne ciecze newtonowskie, 
nie wykazuja namagnesowania i nie są źródłem pola magnetycznego. W obecności pola 
magnetycznego terro-ciecze zachowują się podobnie jak paramagnetyczne gazy o wy- 
sokiej przepuszczalności. Zródlem właściwości paramagnetycznych rozważanych cie- 
czy jest to, że każda pojedyncza cząstka terromagnetyczna zawieszona w cieczy zacho- 
wuje się jak pojedyncza domena. posiadająca stale pole magnetyczne, Pomimo, że ato- 
my lub cząstki substancji paramagnetycznych mają różne od zera wypadkowe mOll1enty 
magnetyczne w i1ieobecności pola są one ustawione chaotycznie i jako całość nie wyka- 
zuja żadnych wlaściwości magnetycznych. Jeśli paramagnetyk znajdzie się w polu ma-
>>>
168 


K, Kazill1ierska, M. Kaczmarek, B. Nowak 


gnetycznym, mOll1enty ll1agnetyczne ustawiają się w kierunku pola i następuje jego nama- 
gnesowanie. Po usunięciu pola, w zależności od rodzaju samej cieczy namagnesowanie 
zanika błyskawicznie lub z pewnym opóźnieniem. Istotną różnicą pomiędzy cechami 
paramagnetycznymi cieczy magnetycznej a typowej stałej substancj i paramagnetycznej. 
jak baru, głinu, ll1agnezu, cezu itd. jest fakt, że wzrost namagnesowania rerro-cieczy pod 
wpływem przykładanego pola magnetycznego o małym natężeniu jest ok. czterokrotnie 
większy niż w przypadku nall1agnesowania substancji stalej. Dlatego też rerro-ciecze 
nazywane są superparall1agnetykami. 
Dzięki małYIl1 średnicom ziaren magnetycznych rzędu ł 00 A. energia ruchu mole- 
kuł cieczy nośnej teoretycznie może utrzYll1ać je przez dowolnie długi czas w stanie 
równomiernego zawieszenia - cząstki magnetyczne podlegają ruchom Browna. Jednak- 
że na ciecz dzialają siły van der Waalsa, które wraz z siłami oddziaływań ll1iędzy dipo- 
lall1i powodują przypadkowe zderzenia cząstek, a w efekcie powstanie zjawiska l(Oagu- 
lacj i ziaren. Postępująca na skutek koagulacj i sedymentacja 1l10że pozbawiać ferro-ciecz 
jej właściwości magnetycznych. Przeciwdziałanie zjawisku koagulacji polega na doda- 
waniu do cieczy środka powierzchniowo aktywnego, który pokrywając cząstki magne- 
tyczne warstwą ll1onomołekularną nie dopuszcza do ich koagulacji. 
Za twórcę ferro-cieczy uznaje się Stephena Papella. naukowca z NASA, który 
w latach sześćdziesiątych ubiegłego stulecia dokonal syntezy cieczy, służącej jako pre- 
cyzyjne uszczelnienie magnetyczne łopatek wirujących w satelitach. Niemal jednocze- 
śnie w grupie pod kierunkiell1 Ronalda Rosensweiga udało się wytworzyć ferro-ciecz 
o właściwościach magnetycznych lO-krotnie przewyższających właściwości cieczy 
Papella. Dalszy istotny krok w rozwoju cieczy magnetycznych nastąpi I w 1968 1'.. kiedy 
NASA sprzedała pierwszą licencję na cywilne wykorzystanie cieczy. Obecnie rerro- 
ciecze szeroko wykorzystuje się w różnego rodzaju uszczelnieniach, np. w napędach 
dyskowych komputerów. a także w urządzeniach wysokich ciśnień (rzędu 3,5 MPa). 
Ciecze ll1agnetyczne wykorzystywane są w drukarkach atramentowych jako nośniki 
informacji, w recyklingu metali kolorowych, w obserwacji domen magnetycznych, 
w czujnikach pomiarowych. włącznikach i przełącznikach. Ostatnie badania wskazują. 
że w przyszłości ciecze te mogą również znaleźć zastosowania medyczne w zwalczaniu 
chorób, w tYIl1 nowotworowych. Prowadzi się prace nad sztucznYIl1 sercem. w którym 
ciecze magnetyczne miałyby spelniać rolę aktuatorów nap
dzanych przez przyłożone 
zewnętrzne pole magnetyczne. Możliwość zewnętrznego sterowania cieczami magne- 
tycznymi sprawia. że mogą one także znaleźć zastosowanie jako nośniki lekarstw, które 
docierałyby w konkretne miejsce w organizmie. 


2. SKŁAD I CHARAKTERYSTYKA CIECZY MAGNETYCZNYCH 


2.1, Budowa cieczy magnetycznej 


Typowa ciecz magnetyczna sklada się z trzech podstawowych skladników: cząstek 
ferromagnetycznych. których jest ok. 5 0 '0, substancJ i powierzchniowo czynnych - 10% 
oraz z płynu nośnego - 85% (rys. l). 
Cząstki magnetyczne. określane często jako ziarna ferromagnetyczne, mają śred- 
nicę od -' do 15 nm (średnio lOnm). Cząstki te uzyskiwane są najczęściej z magnetytu 
lub z rerromagnetycznych metali takich jak kobalt; żelazo oraz ze związków magne- 
tycznych, jak np. rerrytu manganu, rerrytu kobaltu oraz ferrytu manganowo-cynkowego.
>>>
Właściwości i wytwarzanie cieczy magnetycznych 


169 


Cząstki magnetyczne pokryte są związkami powierzchniowo czynnymi (surf aktantami), 
które po dodaniu do roztworu przeciwdziałają aglomeracji poszczególnych cząstek 
magnetycznych. Przeciwdziałanie to polega na otaczaniu każdej cząstki magnetycznej 
warstwą substancji powierzchniowo czynnej lub na tworzeniu wokół cząstki warstwy 
elektrostatycznej. Cieczami bazowymi spełniającymi zadanie nośników jest zwykle 
woda oraz różnego rodzaju oleje, jak np. zwykły olej syntetyczny lub lekki olej mine- 
ralny, a także estry i węglowodory. 


_ 
tł



__ 


. ;

 , · 
f:;"'t;Z 


..p.... 
....--:.:
..: 


-
"';"";'..-:.y" 


n ,'t:, S 
,



:" 

"JSb:i__":m':: 


-
-
:;.-",- 


-:

.. 


'.
"'_._.(', 
, h::! 


.
 .11 


y:
 


Rys. l. Model budowy cieczy magnetycznej [121 


2.2. Zjawisko 'Jeżenia" się cieczy 


Ciecz magnetyczna poddana działaniu pola magnetycznego wykazuje specyficzne 
właściwości w postaci odkształceń pojawiających się na powierzchni. Kiedy ciecz cha- 
rakteryzuje się wysoką jakością, już w obecności umiarkowanego pola magnetycznego 
najej powierzchni tworzą się tzw. " jeże". 


---
-:;'
-=::---2 
-- -- 


._
 :::':, 


--
-
ł

: 


. if.
L\ft'Ci
;;
;
ii
 
-_:00: 
}.._ 
.y 
t 



....: 



... 
;:-:-',,,,: _f'

:-
_: 


-:'
;T::
._
łf,i.
- 


" - 
..wh"
 -- 


-
 ...:;,-- 


_.{- '- ol 


Rys. 2. Zdjęcie ..jeży" powstalych na powierzchni cieczy magnetycznej pod wplywem przyłożo- 
nego magnesu 


Zjawisko .Jeżenia" się cieczy związane jest niestabilnością powierzchniową za- 
wieszonych w cieczy cząstek magnetycznych. która objawia się na powierzchni cieczy 
magnetycznej w postaci małych stale obecnych fal. Amplituda fal powierzchniowych 
wzrasta ze wzrostem natężenia przykladanego pola magnetycznego i po przekroczeniu 
pewnej wartości na powierzchni ksztahują się .Jeże". które zmieniają rozmiary w zależ- 
ności od natężenia pola. Zjawisko .Jeżenia" jest naj skuteczniejszym testem sprawdzenia 
jakości cieczy magnetycznych.
>>>
170 


K. Kazill1ierska, M. Kaczmarek. B. Nowak 


2.3. Właściwości fizyczne ferro-cieczy 


Za właściwości fizyczne ferro-cieczy odpowiedzialne są glównie wlaściwości razy 
dyspersyjnej, którą tworzą cząstki ferromagnetyczne lub ferrimagnetyczne. Do najważ- 
niejszych właściwości fizycznych. obok właściwości hydrodynamicznych. należą: na- 
magnesowanie, relaksacja magnetyczna, łepkość oraz temperatura punktu Curie. 
Namagnesowanie jest związane z właściwościami superparamagnetycznymi. ktÓre 
cechuje to, że po przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego o malym natężeniu 
namagnesowanie początkowo wzrasta proporcjonalnie do pola. jednakże dla pewnego 
natężenia następuje osiągnięcie stanu nasycenia magnetycznego. w którym nie obser- 
wuje się wzrostu namagnesowania przy dalszym wzroście natężenia. Nasycenie ma- 
gnetyczne, definiowane jako maksymalna wielkość momentu magnetycznego w jedno- 
stce objętości, jest wiełkością zależną od koncentracj i substancj i magnetycznych zawie- 
szonych w cieczy. Im większa jest koncentracja cząstek magnetycznych, tym większe 
jest nasycenie magnetyczne. Ferro-ciecze należą do substancji o niskim nasyceniu ll1a- 
gnetycznYIl1, których wartość waha się w granicach od 7.5 do 40 mT, podczas gdy żela- 
zo ma nasycenie magnetyczne 1.7 T. Typowy wykres krzywej namagnesowania dla 
cieczy magnetycznej przedstawiono na rysunku 3. 


2000 
X. 
1500 
E 1000 
:;:;: 
2 
500 
o 
o 


M = 191 5 A1m 


50000 


100000 


150000 


200000 


250000 


H [A'm] 


Rys. 3. Wykres krzywej namagnesowania 


Na wykresie krzywej namagnesowania (rys. 3) zaznaczono bezwymiarowy para- 
metr X" definiowany jako podutnm:i' !I1ugl1etycl1u. ktÓra, jak wspomniano wcześniej. 
charakteryzuje zdolność substancji do zmiany jej namagnesowania pod wpływem 
przyłożonego zewnętrznego pola magnetycznego. 
Jedną z najbardziej spektakularnych wlaściwości tizycznych ferro-cieczy jest efekt 
magnewlepkościowy. Polega on na zmianie lepkości cieczy magnetycznej pod wpły- 
wem przykladanego zewnętrznego pola magnetycznego. Erekt ten zostaje dodatkowo 
wzmocniony poprzez wewnętrzne mechanizmy tworzenia się klastrÓw i lańclIchów 
klastrów w samej cieczy. 
W przypadku braku pola ll1agnetycznego. ciecz magnetyczną traktuje sie jako za- 
wiesinę koloidalną. dla której lepkość dynamiczną szacuje sie ze wzoru Einsteina: 


II = llll . (I J.. 2.5ep). 


(ł)
>>>
Właściwości i wytwarzanie cieczy magnetycznych 


171 


gdzie 11 oznacza lepkość cieczy magnetycznej, p jest zawartością (stężeniem) substancji 
stałych, a 11o jest lepkością cieczy nośnej. Wzór (1) stosuje się dla małych stężeń cząstek 
magnetycznych, zaś dla większych stężeń stosuje się uogólniony związek: 


I 
11 = 110 . ) 
1+ ap+ blp- 


(2) 


gdzie: a, b, lpc są współczynnikami wyznaczanymi eksperymentalnie i wynoszącymi 
odpowiednio: 


5 
-li' c - I 
'J 
a=-2,5, b=
, lpc=0,74. 
p
 
Wartość lepkości dynamicznej w funkcji natężenia pola magnetycznego jest sza- 
cowana na podstawie wzoru [7]: 
11 = 110 . (I + 2,5p + 1,5 sin 2 P.,) (3) 
gdzie: sin 2 lps = 0,5 (1 + p-2) - [0,25 (1 + p-2)2 - p- 2 sin 2 y]0.5 , zaś 
p-l "" 
l  M. H  J.lMH L ( J.lMH ) , (4) 
41ta 3 K 41ta 3 K kT 
L jest funkcją Langevina. a y kątem między osią obrotu cieczy a wielkością H. 


Na rysunku 4 przedstawiono wykres zmiany lepkości cieczy magnetycznej 
w funkcji przykładanego natężenia pola magnetycznego, gdy linie pola ustawione są 
prostopadle i równolegle do kierunku przepływającej cieczy. Lepkość oferowanych 
cieczy komercyjnych waha się w granicach od 5 do 25 000 cp (5-25 000 mPa s). 
Obok lepkości. ważnym parametrem fizycznym jest gęstość cieczy magnetycznej, 
którą wyznacza się za pomocą piknometru lub szacuje na podstawie wzoru: 


P=P"lp, +PI(p,,-p.)+p,(I-p,J 


(5) 


gdzie: p jest gęstością cieczy magnetycznej, Ps oznacza gęstość fazy stałej (magnetycz- 
nej), Pa jest gęstością surf aktanta, a PI gęstością cieczy nośnej, Ip, oznacza objętość 
frakcji stałej, a Ip" hydrodynamiczne stężenie objętościowe. 


P-Urjt;'liscosily. c.p) 
0.3 


P,mdld to II 


0.1 


P",rpendi,,:ul,u' n 


0.1 


uH:kT 


.;: 


10 


15 


I:
 is the I1KI,y,nctic 
permc"bility j 


Rys. -1-. Efekt magneto-lepkościowy [8]
>>>
172 


K. Kazimierska. M. Kaczmarek, B. Nowak 


Gęstość ferro-cieczy jest większa od gęstoscl samej cieczy nośnej, a ponadto 
wzrasta ze wzrostem koncentracji fazy stalej. Dodatkowo, w obecności pola magne- 
tycznego obserwuje się pozorną zll1ianę gęstość cieczy. 
Trwałość cieczy magnetycznej wystawionej na działanie czynników atmosferycz- 
nych zależy w znacznYIl1 stopniu od zdolności parowania cieczy nośnej, która powinna 
być jak najmniejsza. Ponadto lotność cieczy maleje ze wzrostem jej lepkości. 
W tabeli l przedstawiono przykładowe własności eksploatacyj ne dostępnych cie- 
czy ll1agnetycznych. 


Tabela l. Właściwości fizyczne wybranych cieczy magnetycznych 


Nasycenie CJęstość Lepkość" J"ernperatura Icmperatura 
Ciecz nośna magnetyczne topnicnia h IHzenia' 
(A'rI-ł-'1 rkgim
 I !pa'sl [KI [KI 
IS.90 IOSO 0.003 nx 3)0 I 
Węglowodor) 3 LSO P)O 0.006 'XI 3)0 
1),90 II XO 0.007 .,-,.--.1.' 299 
-I.) 
Woda 3LSO 13XO 0.010 2731.' 299 
IS,90 liSO O.OI
 217 
22 
Estry 3LXO 1300 0.030 211 
22 

7.70 1400 OJ)3) 211 
22 
Fluorowodory 7.96 I 20S0 2.) 239 
S6 
Diestry 1)_90 II XS (J.07S 236 
22 


a - mierzona bez pola magnetycznego 
b - lepkość 100 Pa's 
c - ciśnienie poniżej 133 Pa 
e - temperatura krzepnięcia 


Jednym z niezwykle istotnych parametrów. charakteryzującym właściwości ma- 
gnetyczne materiałów jest temperatura Curie, powyżej której materiały magnetyczne 
tracą swoje właściwości magnetyczne. W przypadku materiałów magnetycznych ciał 
stalych temperatura Curie jest zawsze znacznie mniejsza od temperatury wrzenia. 
W cieczach magnetycznych wynosi ona od 65 do 200"C. 


3, PRZYGOTOWANIE I BADANIA WŁASNEJ CIECZY 
MAGNETYCZNEJ 


Ze względu na sposÓb uzyskiwania cz
:stek rozrożnia się trzy podstawowe metod;. 
przygotowania cieczy magnetycznych. Pierwsza z metod, zaproponowana przez Papella, 
polega na mokrym zll1ieleniu mikrometrycznych ziaren magnetycznych do rozmiarów 
nanometrów. Druga, najbardziej uniwersalna bazuje na reakcjach strącania tlenków meta- 
li. Z kolei trzecia. a zarazem najnowsza wykorzystuje bakterie termofilne, które w proce- 
sie oddychania wytwarzają nanometrycznych rozmiarów tlenki żelazowe.
>>>
Właściwości i wytwarzanie cieczy magnetycznych 


173 


3.1. Przygotowanie własnej cieczy magnetycznej 


Przygotowanie cieczy magnetycznej oparto na procedurze opisanej w czasopiśmie 
"Chemical Education", Vol. 76, 943 (1999). Synteza ferro-cząstek bazuje na reakcji 
łączenia jonów żelaza(H) i żelaza(llI) w obecności amoniaku rozpuszczonego w wodzie 
destylowanej. 
Reakcja chemiczna zachodzi według równania: 
2 FeCI, + FeClz + 8 NH 3 + 4 HzO ---+ Fe304 + 8 NH 4 CI 
gdzie składnikami reakcji są: 
FeCI, - chlorek żelaza trójwartościowego(Fe III), 
FeCIz - chlorek żelaza dwuwartościowego(Fe II), 
NH 3 - amoniak, 
Fe304 - magnetyt, 
NH 4 CI- chlorek amonu. 
W celu przeciwdziałania aglomeracji cząsteczek magnetycznych do roztworu dodaje 
się surf aktant - w postaci roztworu wodorotlenku czterometyloamoniowego: (CH 3 )4 NOH . 


3.1.1. Szczegółowy opis procedury syntezy ferro-cieczy 


Syntezę magnetytu rozpoczyna się od dodania 8 cm 3 l M roztworu chlorku żela- 
za(III) i 2 cm 3 2 M roztworu chlorku żelaza(H) do kolbki o pojemności 250 cm 3 , 
umieszczonej na uruchomionym mieszadle magnetycznym. Następnie do kolbki bardzo 
wolno (przez 5 minut) dodaje się 100 cm 3 l M roztworu uwodnionego amoniaku. Po 
dodaniu wyłącza się mieszadło, usuwa mieszadełko, a ciecz pozostawia się do sedy- 
mentacji. Po upływie kilkunastu minut dekantuje się wodę od substancji pozostałej na 
dnie, którą dalej przelewa się do plastikowego naczyńka umieszczonego na mieszadle 
magnetycznym. W ostatnim etapie dodaje się 2-4 cm 3 roztworu 25% wodorotlenku 
czterometyloamoniowego - (CH3}4NOH. Po wymieszaniu cieczy szklaną bagietką na 
jej powierzchni powinny pojawić się ,jeże" jak na rysunku 5 lub 6, będące potwierdze- 
niem uzyskania substancji magnetycznej. 


'. 

: 
0JJS

;::"""":""'" 

..- 

- 
fj.....:.'.: 

i? :- 



- . --




 
,-- ....

} 
':1"'- 
IX 
.='! 


.:
.. 
:':"
,'!I-- 


""\-'!'::. 
 


.
., 



:
;}
 . 


V,'
'" 
-:.,;.: 


. 
":J{, r 

, 
:.ł: 


"'-:o 


- ,- - 

 


,  

:
.ti 


---..-........ 

 ........;: 


f'
 
; 
. 
ł'
#: 
....,ł,..»..,.;_. 


""'..ł 
" 


'''''':
:.. 


R
s. 5. Zdjęcie tworzących się '"jeży" na powierzchni cieczy pod \\opływem przyłożonego magnesu
>>>
Właściwości i wytwarzanie cieczy magnetycznych 


175 


gdzie HI jest wartością natężenia pola magnetycznego, przy którym funkcja nĘ) osiąga 
wartość maksYll1alną. 
Znając efektywny mOll1ent dipolowy można także oszacować średni proll1ień czą- 
stek ll1agnetycznych wg równan ia: 


r = 1 


3.m'l1 


( II ) 


4;r. Al, 


gdzie J( 
 oznacza nasycenie ll1agnetyczne. 


W dostatecznie małych polach magnetycznych podatność magnetyczną ll10żna 
przedstawić w zależności od częstotliwości. w postaci zespolonej: 


x(f)=x(f)-iX (f) 


( 12) 


gdzie f jest częstotliwością pola magnetycznego. X (f) - charakteryzuje odwracalne 
procesy namagnesowania, a X (f)- charakteryzuje procesy dyssypacji energii pola ll1a- 
gnetycznego. Część rzeczywistą podatności magnetycznej X wyznacza się ze wzoru: 


X (/)= LJj")- L,,{f) 
. Lo(f) 


(13 ) 


gdzie Lo jest indukcyjnością cewki bez cieczy magnetycznej, zaś L). indukcyjnością 
cewki wypełnionej cieczą magnetyczną. Część urojoną podatności magnetycznej X 
wyznacza się w oparciu o równanie: 
.. (f ' ) = R(f)- Rjf) 
x.. l. , .. . L ( f , ) 
_Tl:! ". 


( 14) 


gdzie R(j) jest opornością cewki z cieczą magnetyczną, natomiast Ro(/) jest opornością 
cewki bez cieczy magnetycznej. 
Znając wykres podatności magnetycznej w ustawieniu równoległYIl1 X,;, można 
dalej wyznaczyć krzywI{ 11lI11111gllesowllllill próbki Al w runkcji zmieniającego się natę- 
żenia pola magnetycznego H. korzystając przy tym z zależności, że namagnesowanie 
równe jest calce z podatności magnetycznej 'L: 


!-l 
\/ (H)= JĄ:' dH 
I) 


( 15) 


gdzie: X zgodnie z równaniem (3.1) wynosi: 


.. ( ,, ) " dL (Ę ) " i I I ] 
X 'o =,:1...11- / " =':Xo l - , -c---:--- / c , - 
(S 
 ::; Sin 1 ::; 


3.2.2. Badania eksperymentalne 


Pomiar wlaściwosci magnetycznych cieczy został przeprowadzony wykorzystując 
aparature i metodę opracuwaną w Instytucie Akustyki na Uniwersytecie im. Adama
>>>
176 


K. Kazimierska. M. Kaczmarek. B. Nowak 


Mickiewicza w Poznaniu. W pomiarach wykorzystano następujące urządzenia: teslo- 
mierz typ RX 21-Teslometer oraz układ sterujący polem magnetycznym z elektroma- 
gnesem (o zakresie 500 mT-lT): Magnet Power Supply typ PZP 8005, wyprodukowany 
w Zakładzie Doświadczalno - Produkcyjnym RadioPAN. 
W doświadczeniu wstępnie zmierzono: 
l) indukcyjność pustej cewki: Lo = 149,7 J..lH. 
2) indukcyjność cewki wypełnionej cieczą magnetyczną: LI = 165,7 J..lH. 
Znając te wielkości obliczono rzeczywistą podatności magnetycznej X zgodnie 
ze wzorem (13): 


x = LI - L" = 165,7 -149,7 = 0.107 [_] 
L" 149,7 


Następnie zmierzono: 
3) dobroć pustej cewki: Qo = 0.215, 
4) dobroć cewki wypełnionej cieczą magnetyczną: Q. = 0,250 J..lH, 
5) indukcje pola w szczelinie bez uruchomienia elektromagnesu: B = 1,29 mT, 
6) zmianę indukcyjności oraz dobroci cieczy magnetycznej w funkcji natężenia pola 
magnetycznego w ustawieniu prostopadłym oraz równoległym linii pola. 
Na podstawie danych pomiarowych. zgodnie z rozważaniami przedstawionymi 
w punkcie 3.2.1, wykreślono krzywą Langevina. pokazaną na rysunku 8 oraz krzywą 
podatności magnetycznej (rys. 9). 


0,125 
0,100 
0,075 
 
o ,oso 
0,025 
0,000 
1000 


H,-14kAlm 
m .rr - 8.756 -1 O -UlA m 2 
 r . 7.7 n m 


H, 


10000 
H [A Im I 


100000 


R}s. 8. Wykres krzywej Langevina 


2IXJO 


,
 


M:; a 1915 Nm 


E,eoo 

 
::::!' 


500 


o 
O 5(X)()) 10C()00 15OCO) 2tKX)()) 25COXI 


H [A'ml 


R}s. 9. Wykres krzywej namagneso\\ania
>>>
Wlaściwości i wytwarzanie cieczy magnetycznych 


177 


Z krzywej Langevina odczytano wartość natężenia poła magnetycznego dla ll1ak- 
simum funkcj i f( Ś) = AL (Ś) - A (Ś) wynoszącą Hl = ł 4 kA/Il1. a następnie zgodnie ze 
wzorell1 ( 10) i ( II ). wyj iczono moment efcktyvvny cząstki dipolowej. który w tYIl1 przy- 
padku wy nosi 111,'11 = 8.756' lO-l') Am 2 , oraz średni promień cząstek ll1agnetycznych, 
który wynosi: I' = 7.7 mn. 


4, WNIOSKI KOŃCOWE 


Ciecze magnetyczne należą do klasy materialów o unikalnych właściwościach. 
Opanowanie technologii wytwarzania i wykorzystanie sterowalnych właściwości cieczy 
pozwala na rozwiązanie za ich pomocą wielu problemów technicznych. W pracy przed- 
stawiono jeden z mniej zlożonych sposobów uzyskania takiej substancji i wyniki jej 
badań magnetycznych, W najbliższej przyszłości planuje się poszerzenie badań nad 
właściwościall1 i otrzYll1anej cieczy w zewnętrznym polu magnetycznYIl1 z wykorzysta- 
niem pomiarów ultradźwiękowych. Ponadto podejmuje się próby wyznaczenia właści- 
wości rerro-cieczy wypełniających magnetycznie miękki ośrodek porowaty. 


LITERATURA 


[I] Enzel P.. Adelman N.. Beckman KJ., Cambell DJ" 1999, Preparation ol' an 
Aqueous-Based Ferrotluids, Chemical Education 76. 943. 
[2] van Ewijk (j.A. Phase behaviour ol' mixtures ol' magnetic colloids and non ad- 
sorbing polymer. Praca doktorska. 
[3] Lawnicza L Alexiou Ch" Bergemann Ch.. 200 l, Clinical Application ol' Mag- 
netic Drug. .IoumaI ol' Surgical Research 95, 
[4] Lawniczak A.. Milccki A.. 1999. Ciecze elektro- i ll1agnetoreologiczne oraz ich 
zastosowanie w technice, Wyd. Politechniki Poznańskiej. 
[5] Moridis ej.,/" Borglin S.L Oldenburg C.M., Becker A., ł 998. Theoretical and 
Experimental Investigations ol' Ferrotluids for Guiding and Detecting Liquids in 
the Subsurrace, Earth Science Division. Lavrence Berkeley National Laboratory, 
Berkeley, CA 94720. 
[6] MulleI' 1-I.W.. Flow behavior ol' ferrotluids. Materiały internetowe Max - Planck 
Institute for Polymer Research: http://www-theorY.ll1pip-mainz.mpg.de 
[7] Odenbach S. Magnetic properties ol' ferrotluids. Materiały internetowe ZARM 
University - http:, www.zarm.uni-brell1en.de 
[8] Rosensweig RE, 1997, Ferrohydrodynamics. Dover edition. 
[9] Skumiel''\" 1999. Wplyw pola magnetycznego na akustyczne właściwości cie- 
czy magnetycznej. Wyd. Nauk UAM Poznań. 
[10] Shimada K.. i'I.kagami Y.. Fujita T.. Miyazaki T.. Kall1iyama S.. Shibayama A.. 
2002. Characteristics ar magnetic cOll1pound tluid (MCF) in a rotating rheoll1eter. 
.Ioumai ol' Magnetism and Magnetic Materials 252, 
[II] http: racultv.washin!2.ton.edlLtinlavso/rerrotluid.html : materiały internetowe, 
[121 Uniwrsity of\Vashington. Department or Chemical Engineering,
>>>
178 K. Kazimierska, M. Kaczmarek. B. Nowak 


[ł 3] http://www.carolina.com: materiały internetowe firmy Carol ina. 
[14] http://www.ferrotec-europe.de: materiały internetowe firll1Y FerroTec. Limited. 
[15] http://www.mrtluid.com: materiały internetowe firmy LORD MR Technology. 
[16] http://XeroxTechnology-Ferrofluids.htm: materiały internetowe firmy Xerox 
Technology. 


PROPERTIES AND PREPARATION OF FERROFLUIDS 


S umm ary 


Ferrofluids are stable colloidal suspensions ar ll1agnetic particles in carrier liquids. 
The fluids are superparamagnetic having specific magnetic and mechanical properties in 
the presence of magnetic field. In this paper one ol' the technique ol' preparation ol' the 
ferrofluids based on chemical synthesis is described. Then, ll1agnetic measurell1ents for 
the obtained magnetic fluid clearly show that it is material owing magnetic propel1ies. 
Keywords: magnetic fluids. paramagnetic. magnetization, Langevin curve
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54- 2004 


POMIAR PRĘDKOŚCI F AZOWEJ F AL UL TRADZWIĘKOWYCH 
W NASYCONYivI MATERIALE POROWATYM. 
METODA WIDMA AMPLITUDOWEGO 


Jan Kochański I, Józer Kubik 2 


I Instytut Te:chniki 
.\kade:mia Bydgoska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkie:wicza 30, S5-064 Bydgoszcz 
2 Instytut 
kchaniki Środ()\
iska i lnrormat) ki Stosowanej 
,\kade:mia Bydgoska im. Kazimie:rza Wielkiego 
ul. Clwdkie:wicza 30. S5-064 Bydgoszcz 


\V prac) prze:dsta\
iono mdod.; W) znaczania pr.;dkości t
lzowej hll ultra- 
dźwi.;koll)ch II oparciu o prze:hieg \
idm amplitudowych sygnałów odhitych od 
hadane:j prÓhki. \ktod.; zilustnmano przykładami wyznaczając prędkość fazową 
dla dllÓch rodzajÓw matt:riallm: aluminium i spie:ku granulatu szklane:go. 


Slo\la kluczowe:: pn;dkość t
lZ(ma. widmo amplitudowe, liczha falowa 


1. WPROWADZENIE 


Nieniszczące, ultradźwiękowe metody badań materiałów są znane i stosowane 
w wielu różnych dziedzinach nauki i techniki. Podstawą do wnioskowania o badanych 
materialach (wadach w nich występujących. własnościach sprężystych, strukturze we- 
wnętrznej) jest pomiar parametrów rai ultradźwiękowych propagujących się w badanYIl1 
materiale, tj. tiumienia i prędkości tych fal. oraz wyznaczenie ich widm: all1plitudowego 
i fazowego. Wyżej wymienione parametry fal oraz ich przebieg w funkcji częstotliwości 
sa jednoznacznie określone przez zespoloną liczbę raiową oraz jej przebieg w runkcji 
częstotliwości. Znane są metody eksperymentalne [1,2,5]. wyznaczania tych parame- 
trów, bazujące na transformacj i F ouriera rai przechodzących przez badany ośrodek, 
Znajomość trans format Fouriera sygnałów na wejściu i wyjściu badanego ośrodka 
(rys. I). a w szczególności ich ilorazu. stwarza teoretycznie możliwość wyznaczenia 
ww. parametrów fal. Aby zapewnić dobre sprzężenie głowic ultradźwiękowych (GN - 
- głowica nadawcza. GO - glowica odbiorcza) z badaną próbką pomiar reałizowany jest 
w zanurzeniu (rys. I). Jeśli oznaczyć transtormaty Fouriera impulsów f;(t) oraz .f.:(t) 
odpowiednio przez J 1((')) oraz J 2(W), to parametry fal w funkcji częstotliwości można 
przedstawić w postaci następujących zależności [1.2]: 


u(U.l ) 


20 IJ\(w)1 
-lo\!; 
L ' IJ:c((v)1 


( I)
>>>
180 


J. Kochański, J. Kubik 


v(ro)- 21tf L 
- 21t n+ [ \jJ 2(ro)-\jJ I(ro) } 


(2) 


gdzie: 
!3 1 (ro) I oraz I 3 2 (ro) I oznaczają widma amplitudowe, natomiast wyrażenia '/li(O)) = 
= arg [3 I(ro)] oraz 'Jf2(ro) = arg [3 2 (0))] - widma fazowe przebiegów fi (t) i h.(t); 
L - oznacza grubość próbki, OJ - pulsację, a f-częstotliwość drgań. 


próbka 


GN fj(t) 
I 
 


f 2 (t) GO U2(t) 

I- 


UI(t) 


ciecz 


ciecz 


L 


Rys. l. Idea metody fali przechodzącej: f ,(t) i f 2(t) - impulsy talowe. u )(t) u 2(t) - impulsy 
napięciowe 


W praktyce jednak mierzy się (ze względów oczywistych) sygnały napięciowe UI(t) 
oraz u 2(t), anie flet) if2(t). Z tego właśnie powodu zastosowanie powyższej metody do 
wyznaczania parametrów fal ultradźwiękowych w materiale (przy nieznajomości cha- 
rakterystyk częstotliwościowych głowic ultradźwiękowych GN i GO) jest niedopusz- 
czalne, gdyż uzyskanych wyników nie można byłoby uznać za prawidłowe. Trudność tę 
można wyeliminować testując oddzielnie dwie próbki tego samego materiału 
o różniących się grubościach [1,2]. Uzyskane wyniki będą jednak prawidłowe tylko 
przy założeniu, że struktury wewnętrzne testowanych próbek są takie same, co w prak- 
tyce jest trudne do spełnienia. a w przypadku materiałów porowatych wręcz niemożli- 
we. Przedstawiona poniżej metoda widm amplitudowych do wyznaczania prędkości 
fazowej bazuje na pomiarze fal odbitych od jednej próbki. za pomocą jednej głowicy 
(nadawczo-odbiorczej) i nie wymaga znajomości charakterystyk częstotliwościowych 
tej głowicy. 


2. METODA WIDM AMPLITUDOWYCH 


Istota wyznaczania prędkości fazowej tą metodą (rys. 2) opiera się na pomiarze se- 
rii impulsów: impulsuf,{t) odbitego od powierzchni frontowej próbki oraz ciągu impul- 
sów fll,,(t),J,dt),J,dt),..., odbitych od powierzchni granicznych (między cieczą a prób- 
ką) wewnątrz próbki i powracających do głowicy nadawczej pełniącej również rolę 
odbiornika.
>>>
Pomiar prędkości fazowej fal ultradźwiękowych ... 


181 


próbka 


głowica N/O ciecz 
-4 ft(t) 
f wl(t) 
4 
-. fw2(t) 
4 
f w3(t) 
+- 
CIecZ 


ciecz 


1.246 
1 


fF\ł) 



 
"'" 

 HaJ 
lO 


-10 
li 
czas [usl 
Rys. 2. Idea metody echa (tili odbitych): f 
t) - impuls odbity od powierzchni frontowej: f wl(t). 
f w!(t), f w3(t),..., - kolejne odbicia wewnętrzne 


-I 
-1.239 


36 


.' 


42 


44 
44,282 


34.383 


Transformatę Fouriera zaburzenia falowego j(x,t) propagującego się w kierunku "x" 
można wyrazić następująco [4]: 
J[j(x.t)] = 
[j(O,t)] exp(-i.k.x) = 3[j(O,t)] exp(-i,p.x)exp(-a.x) (3) 


gdzie: 
k = P -ia - zespolona liczba falowa, 
a współczynnik tłumienia amplitudy fali, 
p - dla fal harmonicznych p = rolv, przy czym ro = 21t f a v jest pręd- 
kością fazową fali. 


Zakładając. że pierwszy impuls odbity wewnątrz próbki f ,,'I(t) = u(O.t), tzn. ma 
współrzędną x = O, transformatę impulsu odbitego od powierzchni frontowej próbki 
można wyrazić następująco: 



[ji.(f)] = 
[-0'1I(-2L.t)] 
a uwzględniając zależność (3) otrzymamy: 
J(f,.(t)] = -o J[u(O,t)] exp(t2Lp).exp(2La) 


(4) 


(5) 


gdzie "o" jest stałą rzeczywistą. Podstawiając następnie w tym wyrażeniu stałą A = 
= u'exp(2La) otrzymamy oS(atecznie. dla impulsu odbitego od powierzchni frontowej 
próbki. jego transformatę w postaci:
>>>
182 


J. Kochański. J. Kubik 


3[( ,{t)] - -A.3[u(0,t)]-exp(12Lj3) 


(6) 


Stosując dalej zależność (3) i dokonując prostych przekształceń, transformatę 
Fouriera ciągu impulsów odbitych wewnątrz próbki (rys 2) i docierających do głowicy 
odbiorczej można wyrazić w postaci: 


3{f"'I(t) + I,dt) + 1..3(t) +...] 


7' 
3[L"(2Ln,t)] = 3[u(0,/)].{1 -exp[-2L(iro/v+a.)}-I. 
n=() 


(7) 


Ostatecznie, uwzględniając zalemości (6) i (1), transformatę ciągu wszystkich im- 
pulsów docierających do głowicy odbiorczej można przedstawić w postaci: 


7' 
3[JF,(t)... L,u(2Ln./)] - 
rr=O 


3[u(O,t)].f(I - exp[-2L (i'ro/v+a.)]r l - A.exp(i.2Lro/v)} 


(8) 


Analiza związku w nawiasie klamrowym wyralenia (8) wskazuje. 2:e dla częstotli- 
wości o wartościach: 


12: v.n.(l!1L) n O, 1,2,3,... 


(9) 


w widmie amplitudowym wyra1enia (8) wystąpią minima. W związku z tym nasuwa się 
oczywisty wniosek: wyznaczając doświadczalnie częstotliwości dla których wystąpią 
minima widma amplitudowego wyralenia (8) i znając wartości indeksów ,.n" odpowia- 
dających tym minimom. mo2:na wyznaczyć prędkość fazową ze wzoru: 


v = 2LI/n 


(10) 


3. POMIARY 


Bazując na przedstawionej wy2:ej metodzie wykonano pomiary ultradźwiękowe li- 
tego aluminium oraz szkła porowatego nasyconego wodą. Testom poddano próbkę 
wykonaną z aluminium o grubości 5 mm. oraz próbkę ze spiekanego granulatu szklane- 
go o ziarnistości I 00 
m i grubości I 1.3 mm. Zarejestrowane przebiegi czasowe. ich 
widma amplitudowe oraz obliczone prędkości fazowe przedstawiono dla aluminium na 
rysunku 3, a dla spiekanego granulatu szklanego - na rysunku 4 (pomiar głowicą 
I MHz) i na rysunku 5 (pomiar głowicą 5 MHz).
>>>
Pomiar prędkości fazowej fal ultradźwiękowych ... 


183 


a) 


2 


: 
 Jl 
-u 
- o p 
. c.. 
co 
c: 
-\ 
-2 20 60 80 
o 40 100 
czas [mikrosek ] 
b) 
0.4 


0.1 


2 


4 


6 


8 


10 


" 
] 
g- lal jl O.
 
;;; 


[; 
J 
częstotliwość[MHz] 


c) 


n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
rfMHz l 1.295 I. 954 2.580 3.')34 3.871 4.534 5.176 5.834 6.460 
v [km/sekl 6.475 6.5\3 6,450 6.468 6.452 6.477 6.470 6,48'7 6,460 


Rys. 3. Wyniki pomiarów prędkości fazowej fal ultradźwiękowych (głowica 5 MHz) w płytce 
aluminium o grubości L = 5 mm: a) zarejestrowane impulsy. bl widmo amplitudowe tych 
impulsów. c) wyniki obliczeń prędkości fazowej v wg zależności ( 10)
>>>
I 15 
fj 
częstotliwość[MHz] 


184 


J. Kochański, J. Kubik 


a) 



 
CL) 
.0 
"" 
'c.. 
'" 
c 


u 


-I 


20 


30 


4U 


czas [usek ] 


b) 


15 


"' 
ł lal]1 
a; 


0.5 


c) 


5U 


70 


110 


8U 


60 


,ki 


6 


7 


n 3 4 5 6 7 8 9 10 
frMHzl OA76 0.646 0.8.05 0.961 1.1'13 1.282 1.441 1.6 
V [km/sekl 3.601 3.666 3.655 3.636 3.642 3.638 3.635 3.632 


Rys. 4. Wyniki pomiarów prędkości fazowej faj ultradźwiękowych (głowica I MHz) w nasyconej 
wodą próbce spieku szkła o ziamistości 100 /lm i grubości L = 11.35 mm: a) zarejestro- 
wane impulsy, b) widmo amplitudowe tych impulsów. c) wyniki obliczeń prędkości fa- 
zowej v wg zależności ( 10) .
>>>
Pomiar prędkości fazowej fal ultradźwiękowych ... 


185 


a) 


:;- 
1f Hal, O 
0)-- 
'c. 
'" 
:: 


n 


'. 


-I 


25 


30 


35 


40 


45 


50 


55 


l, 
czas [lisek] 


b) 


0.25 


02 


3.5 4 


4.5 5 


5.5 6 


j
0.15 

 0.1 
;; 


005 


fj 
częslotliwosć [MHz] 


c) 


N I 3 5 8 10 12 16 20 24- 26 
IrMHzl 0.141 0,495 0.795 1.283 1.6 1.918 2.549 3.193 3.835 4-.154 
v [km/sek l 3.2 3.74-6 3.609 3,64 3.632 3.628 3.616 3,624 3.627 3.627 


Rys. 5. Wyniki pomiarów prędkości fazowej tal ultradźwiękowych (głowica 5 MHz) w nasyconej 
wodą próbce spieku szkła o ziarnistości 100 /lm i grubości L = 11.35 ITlm: aj zarejestro- 
wane impulsy. b) widmo amplitudowe tych impulsów. c) wyniki obliczeń prędkości ta- 
zowej v wg zależności (10) 


4. PODSUMOWANIE 


Przedstawiona impulsowa metoda wyznaczania prędkości fazowej fal ultradźwię- 
kowych w oparciu o widmo amplitudowe serii impulsów odbitych od próbki stanowi 
cenną alternatywę w stosunku do innych znanych metod pomiarowych prędkości (np. 
metod fazowych fali ciągłej). Szczególną zaletą tej metody jest to, że bazuje ona na 
pomiarze tylko jednej próbki. co zwłaszcza w pomiarach materiałów porowatych jest
>>>
186 


J. Kochański, J. Kubik 


szczególnie ważne (próbka próbce nierówna). Kolejną ważną zaletą zaprezentowanej 
metody jest to, że przy jej użyciu można ll1ierzyć prędkość w próbkach bardzo cienkich, 
co jest szczególnie ważne w pOll1iarach materiałów o dużym tiumieniu, jakill1i są np. 
materiały porowate. Do wad natomiast należy zaliczyć trudność wykonania próbki 
przejawiającą się w konieczności zachowania równoleglości płaszczyzn (frontowej 
i tylnej), od których odbijąją się impulsy wewnątrz próbki. 


LITERA TURA 


[1] Kochański J., Kubik J., 2000, Badanie strukturalnych własności materiałów poro- 
watych z zastosowaniem ultradźwięków. Zesz. Nauk. A TR Bydgoszcz, Mechanika 
47,147-159. 
[2] Kubik J., Cieszko M., Kaczmarek M., 2000. Podstawy dynall1iki nasyconych 
ośrodków porowatych. PAN, IPPT Warszawa. 
[3] Obraz J,. 1983. Ultradźwięki w technice pomiarowej. WNT Warszawa. 
[4] Sachse W., Pao Y.H., 1978. On the determination ol' phase and gro up velocities ol' 
dispersive waves in solids. J. Appl. Phys. 49, 8. 
[5] Śliwiński A., 200 ł. Ultradźwięki i ich zastosowania. WNT Warszawa. 
[6] Pialucha T.. Guyott C.C.H., Cawley P., ł 989. Amplitllde spectrum method for the 
ll1easurement ofphase velocity. Ultrasonic 27. 
[7] Wehr J., 1972. Pomiary prędkości i tłumienia fal ultradźwiękowych. PWN War- 
szawa. 


DETERMINA TION OF PHASE VELOCITY OF UL TRASONIC 
W A VES IN SA TURA TED POROUS MATERIAL. 
AMPLITUDE SPECTRUM METOD 


SlImll1ary 


The paper presents a combined experimental and analytical all1plitllde spectrum 
method for the measurement ol' phase ve!ocity ol' longitudinal ultrasonic waves propa- 
gating between the bOllndaries ol' the tested sample. 
Keywords: phase velocity, amplitude spectrllll1. wave number
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


METODA ROZWIĄZANIA CIENKICH PL YT ANIZOTROPOWYCH 


Jarosław Piotr Lewandowski, Mykhaylo Delyavskyy 


Katedra Mechaniki Konstrukcji 
Wydział Budownictwa i łnżynierii Środowiska ATR 
ul. Prof. S. Kaliskiego 7. 85-796 Bydgoszcz 


W referacie opracowano podeiście do rozwiązania płyt cienkich anizo- 
tropO\\: ch. W ramach danego podejścia określono stan naprężeń i przemieszczeń 
1\ cienkiej płycie prostokątnej obciążonej poprzecznie. utwierdzonej na dwóch 
przecil\kg/: ch krallędziach. Dwie pozostałe krawędzie są nieobeiążone. 


Słolla kluCIom:: kornpoz: L matryca, płyta cienka anizotropowa. szereg Fouriera. 
funkcje kształtu 


l. WSTĘP 


Często stosowane nowoczesne ll1ateriały konstrukcyjne są strukturalnie niejedno- 
rodne. Przykładem takich materiałów są kOll1pozyty, tj. ll1ateriały zbudowane z dwóch 
lub więcej różnorodnych składników wzajemnie nierozpuszczalnych, z których jeden 
odgrywa rolę spoiwa. Kompozyt charakteryzuje się właściwościami. których nie miały 
budujące go składniki. W budowie kompozytu można wydzielić 2 fazy [1.2,3]: 
- faza I - rozproszona (zbrojenie kompozytu), 
- faza II - ciągła (matryca), pełni rolę spoiwa dla razy rozproszonej oraz stanowi dla 
niej warstwę ochronną. 
W mechanice materiałów kOll1pozytowych rozróżnia się trzy pozioll1Y modelowa- 
nia materiału: 
- mikropozioll1 - fazy I i I [ rozpatruje się oddzielnie. 
- minipoziom - kOll1pozyt rozpatruje się jako materiał złożony z jednorodnych warstw 
anizotropowych, 
- makropoziom - kOll1pozyt traktujemy jako ll1aterial jednorodny i anizotropowy. 
Jeżeli faza I jest objętościowo znacznie większa w porównaniu z fazą II, to taki 
ll1aterial z dużą dokladnością możemy badać na poziomie makroskopowym (gdzie 
obowiązującym jest model c'ol1fil7l1l1l11 IIIUlcrialowego) i traktować ten materiał jako 
jednorodny i anizotropowy. W praktyce wiąże się to z wprowadzeniem odpowiednich 
modulów zastępczych [1.3-51.
>>>
188 


J.P. Lewandowski, M, Delyavskyy 


2. ROZWIĄZANIE PL YTY CIENKIEJ ANIZOTROPOWEJ 


Podstawowe równanie teorii zginania cienkich płyt anizotropowych ma postać 
[6,7]: 


a 4 w 2 4 11' 2 4 w 2 4 11' 2 4 11' (l) 
DII
+4[)16
+2(DI2 +2D(,J ""'.,2
,2 +4f)26
+f)22
=(/
 p 
CX I lXI (X 2 1.\1 (X 2 (X,, Xc IX 2 


gdzie: 
D" - sztywności płyty. 
w - ugięcie płyty. 
q - obciążenie poprzeczne przyłożone do powierzchni górnej płyty, 
p - obciążenie poprzeczne przyłożone do powierzchni dolnej płyty. 


Układ współrzędnych X/OX2 wybrano w geometrycznym środku płyty. Mając ugię- 
cie płyty fil możemy wyznaczyć kinematyczne i statyczne charakterystyki stanu naprę- 
żeń w płycie: 
kąty obrotów normalnej do powierzchni środkowej 


(""'.11' 
(j) =-,j= 1,2 
?" 


(2) 


mOll1enty 


[ 
 
 o l 
c-w a-w (
-W . 
/v/II = - Dl) 
 + D I2 
 + 2 D) h""'. ""'. J 
eXI iX2 (XI (X 2 


[ 
7 

 
o 1 
c-w c-w (,-W 
I'V/22 =- D l2 ""'.,2 +D 22 ""',,2 +2D2h ""'" 
 
c,) 1.\2 ,x),x 2 ,J 


[ , 
___. ') '"' l __ -, ! 
c-w c-w ,'-w 
M I2 =- D)6
+D2h
+2Dh6 
 ""', I 
C'I 1.'2 ('X I (X 2 J 


(3) 


- uogólnione siły tnące 


. ("11'v/12 
vI = QI +--::;-- 
(x
 


. DJ/ 12 
lo = ()o +- 
- -- (
XI 


(4)
>>>
Metoda rozwiązania cienkich płyt anizotropowych 


189 


gdzie: 


[ --
, """'--' 
D ('W 
 D e'H' 
Q, = - II 
 + J 16 

 -' -- 2:l 
(XI eXI eX 2 




 
e IV 
+(D I2 +2D (6 ) 

 
, 
ex I a'c:i" 


, ] 


 
e } . v 
+ D J6 
 
- DX2 


[ ' , 


 '"'j 
( w e w 
Q2 = - D l6 - . ' + 3 D 26 

 
 
 :1' 
(Xl c'l lxi 



 1 
C'w 
+ (D 12 + 2D 66 ) , 
'"" 2 '"'- 
eXI C'2 



" j 
e ,v 
+ D" 
 


 Dx
 


3, ROZWIĄZANIE RÓWNANIA PODSTAWOWEGO 


Rozwiązanie równania ( ł) podajemy w postaci sumy w = H'()+W* całki ogólnej w() 
jednorodnego równania: 


i"1-+\I' i"1-+ 1I ,. 0-+\1' ('C-+}I' a-+1I' 
/)11 -+4/)j()
+ 2(/)12 + 2/)66)
+ 4D 26 -----;-+ D 22 -=0 (5) 

 -+ , ", 
 -
 _ 
 
, 
 -+ 
(X[ (XI (:\'2 (:\"j (:\'2 D'I (:\'
 (:\'2 


i całki szczególnej w, niejednorodnego równania (l). 
Dla określenia całki szczególnej rozkładall1Y obciążenie zewnętrzne w cztery 
podwójne szeregi Fouriera: 


q(x, ,x.J = i: i: [a lllll CO,I' 8\
}xI CO.I b!,:' ]x:, + h,"" cos O

)XI sin O

]x:, + 
11/=111=1 


"[11,[:,] ! . dl] . -l:,] j 
+CIIII1,I'1/10IllXI cosO Il x:, +( IIllIslnUlllxl SInOlI x:, 


(6) 


Korzystając z powyższego wybieramy rozwiązanie szczególne równania (I) 
w postac i podobnej: 


, _ 
 
 [ f ,,[1], -[2] B dl].,. d2] 
11" - L.. L "/1//1 COS 0/1/'\ l COS o /I X2 + 1///1 COS u /1/ ,\ I SIn u /I X2 + 
11/=1/1=1 


( ' . dl] .,[.'] D . -[I] .,[.'] J ' 
+ 11111 .1'l/1u lI ,X I coso" x:, + 11111 slnó lIl x, S1170" x.' 


(7) 


Podstawiając wyrażenia (6),(7) do (I) i porównując wyrażenia przy jednakowych 
harmonikach otrzymujemy uklad czterech równań algebraicznych względem niezna- 
nych parametrów .4 11111 , B""I' C. '11111' D IIIII . 
Przedstawiamy calkę ogólną jednorodnego równania (5) w postaci [8]: 


\1 '- 
 [f rl] (') " ()I ,,d.'I "( 
 f [.'] ( ,. ) " ()I ' Ó ,[I],. + 
. -'::"'.11111)'1 - .U m ..' '.11111)":' -, 11/"1 
!II
I 



[II ( ' ) . ,[.'j., .[.'] ( ., ) "'[1] ., l 
'./'(111 ) ,CI .ll/1l);1I .\:, - ./' 1 1111 "C .1/170;11 "1 
., ., . J 


(S)
>>>
190 


J.P. Lewandowski. M. Delyavskyy 


gdzie: 
f .[;]- nieznane funkc J o e. 
. p(m) 
i)i] = (2m-l)n . = I') 
m I'. ,J ,- 

aJ 
2a l - długość płyty na kierunku XI' 


Wówczas otrzymujell1Y [9]: 


'l] 8 [ 
, _' [I] .[1] ., [c], [1].[1]' .' [ej, 
H(X I , xc) - I I R rl (IIIl'V r (1II )(x l )UJS 8 111 .Y c + Rrcllll)!Vr(11I )(x 1 ).1//18 111 ,y c + 
1II=lr=1 


R[c] w[c] ( , ) , '8[1], R[c] w[c] ( ) ,..[IJ ( )l 
+ rl(lII) 1'(111) Xc C. 0,\ II/'Y I + r1(1II) 1'(111) Xc .1111(\11 XI -+ w, XI.X c 


(9) 


gdzie: 


R[j] 
rv(m) 
wUJ 
r(m) 


- nieznane parametry, które określamy z warunków brzegowych, 


- funkcje kształtu ugięcia płyty. 


Podobnie. korzystając ze wzorów (2). (3). C..!) otrzymujemy wyrażenia na kąty 
obrotów. momenty i uogólnione siły tnące: 



 CD 8 [ 
_ cw _' [I] 1[1] , . ,
[c], l:,] ,[I] .' " ,l:,] , 
(PI -
- II R rl (III)L r(III)('Y I )C.O,l 0 111 (.Y:,)+Rr:'(lIIl
r(lIIlYI),I//1ÓIII (.X:')+ 
C'X I 1II=lr=1 


R [:'] L I[:'[ . ( ) , ,,[1] ( , \ R [c] l ,f:,] ( ) . "[1] ( \1 * 
- /"1(111)' 1'(111) X:, .1 In U III 'X I r r:'llII) j r(1II) x, C. 0.1 0," Xl 
 + PI 


., er 8 [ 
_ (W _' [I] .[1] " 
[:'], [I] .[1] , . . '[:'[ , 
CPc - -:;-:- - I I - Rrlllll)! r(1II)(x l ),1//10 111 (.X2)+ Rr2llllj! rlllll xl )UJ,I O/II (.x 2 )+ 
('Y2 1II
lr=1 


+ R[c] /. l:,] ( y ) COl' 8 ll ]l y ) Rl2] /.'[:'] ( X ) linóll! ( y J 
  P ' _ " 
. rl(lII) r(lII) ,'c ' III ',o I + r21111) r(1II1 "2 'II . I 
 


( I ()) 


gdzie: 


(PI * = (
I' '.' . (P:''' = (
i' " 
(XI CY2 


u/

L) - funkcje kształtu kąta obrotu (Dl' 
V}(,],) - funkcje kształtu kąta obrotu D, , 


j = 1.2 
j = 1,2
>>>
Metoda rozwiązania cienkich plyt anizotropowych 


191 


_ 

f [1] [ ,[I]c ( ) . ,dc] ( _ ) "[I], ( _ ) " dc] ( )] 
1'vl[l- LLIRrilll/)_\rl(lI/)XI (OSOIll it c +'\rl(III),CI .Iln0lll Xc + 
1I1=lr
1 


R [I] [\ .[1], ( ) . dc] ( ) \ ,[1], ( ) . 
[c] ( )] 
+ rC(II/I' rC(III) X[ Sln0lll Xc +, rC(III) x 2 COSO ,II Xc + 


[ej [ ,[0], ( ) dl] ( ) [c i ' ( ) . [1] ( )] 
+ Rrllll/) '\'1(11/) Xc COSO III XI + '\""1'111/) Xc SInOlII XI + 


[c] [ "[ci, ( ) . '[I] ( ) [c]c ( ) -[1] ( )] l 
+R r "!(II/)'\rc(lII)Xc SI/10 1l1 XI +Xrc(lI/)Xc cosO III XI J +!vl ll * 


gdzie: 



 ") ..... l '" l 
_ (-w. C'W. ') D C'W, 
HII,-DII
+Dlc
+- 16
 
('X I - Cxi C(I cX c 


x [J] ( ) - funkc J o e kształtu momentu zgina J ' ą cego J/II. J . = L2. 
'''' 1J1' "--" '-' 


-f
1 [II [ .II]c ( _ ) , ,dcJ ( ) . [I ! , ( . ) " d2] ( )] 
llv/ cc - L L I R rl(lII) }rl(lI,) ,cI [OS 0111 Xc + Yrlll/) 'CI .1 In 0111 Xc + 
1I/=!I'=1 


R [I] [} .[I), ( ) . d c ] ( ) Y [I]c ( ) dcJ ( )] 
+ 1"(11/1 rC(lI/) xI Sin U III Xc + rC{II/) XI COSO III Xc + 


, R lc] [} .Ic], ( . ) . ..;;[1] ( . ) Y [cl' ( . ) .' .;;[1] ( . )] 
T /"[111,1 /" I LI/I ,\c [(J.lVIII .\\ + /"1(111) .\c ,I 1/1 VI/I .\, + 


T Ri[
!'J}}
i,
J\"c )sin b
:)(XI) + y}
h,lcJCO,1 0
:)(Xt)]} + Mec. 


gdzie: 


......' .....1 .....' 
.\/". -D (-W, +D C'w, +'D C'w", 
- 
 l ...... ") 22..... l - 26..... .... 
Ul,' Oxi (XI C'X c 
}}:)II1) - funkcje ksztaltu momentu zginającego Me'e' j = 1,2. 


_ f
 I [I] [ [[]c . .
[c] ( . ) [I], ,"lcl ( . )] 
I/lc - 

 iRi'lIlI/l Z"[(iII) (oSó/ 1I .\c +Z,'I(II/).lI/1Ó/ 1I ,xc + 
;1/=1/"-:::1 


[II i III, . .[c] ( . ) [I]c ., .[c] ( . ) 1 
+ R.ill/,)I Z/"C(III) ,I In i'\1I 'C c . +Z,'clll/) (O,IÓ ,II .ccJ+ 


R [cj [z -IC]c
[I] ( ) Z lc], "[1] ( )] 
+ /"1(11/) rllll,)cosó lIl XI + 1'1(11/1,1'1/10 111 XI + 


R [cl [z lej " .[11 ( . ) Z [cj .dl] ( - )] . \ , 1 
+ ,c(1II1 'r'(II/).III/Ó III _CI + rC(III)(O,10 11I -\1 +. 'Ic* 


( II)
>>>
192 


J.P. Lewandowski, M. Delyavskyy 


gdzie: 




 
, 
, 
('-II' ('-W ('-W 
j'v/I
* = DI6
+D26
+2D()()
 
(X I - (X
 (XI (X 2 


zu1 ) - funkc J ' e kształtu momentu z!!:ina J ' ą ce!!:o M I " . ' , = 1.2. 
rv{m '-' '- - 


. _ fe 8 f [I] [ [I]c ( ' ) , ,
[21, , [I], ( , ) . ,[e], ] 
VI - 2: 2: (R"I"'1 P,'I'''' XI (,0,10/11 "2 -t P"I"oi .'1 ,1111'6/11 "2 + 
/II
I r=1 


+ R[
!"" [p'I;,I,
" (XI )COS6,;, 2 ]X e + pl,I,],,
, (X, )sin6 , \,2 1 . x J + 
R 12] [p I21e ( ) ) 
[I] P I2I' () ' AIII ] 
+ ,.""" ,"""" X 2 COS ( /II XI + '"'''' x 2 sIn u/II XI + 
RIO] [p l' Ie ( ) A[11 pl')' ( ) . )111 ] V "') 
+ r
l/lll r21/111 x 2 COSu/l 1 XI + r21/111 X 2 Sln( /II XI + \' i 


gdzie: 


r:[

II1) -- funkcje kształtu siły poprzecznej {'h j =1.2. 
l ,.' O ., r'M I , * 
'1"'=_l'.+
 
ex, 


[ " " ] 
?-\v * t\v * (-;.\v * (
-\v * 
Ql*=- DII
+3DI6
+(DI2+2DM)
+D'6
 
('Xl ('XleXe (XIC'e ex, 


_ J: 8 J III r [lic , ",121. Ills.." 121 . ] 
V 2 - 
 
 lR,,,,,,,lQ'''''''(.'i)CO
OIl1 x2 +Q"I""("i)SInO'1/ '\2 + 
01,=1,.=1 
+ R[
], [Q[
I
" (XI )COS()',
,:ix: + Q11l'" (XI )sin Ó,;,:l x :] + 


R l I [0 1:1c ( ) 'III . 0 1:1" ) . ) '1 1 1 ] 
+ ,
"" _",,,,, x: COS()", XI -t- _",,,,,(,"C
 SIn( 111 XI + 


+ Rl
,!." [Qi:I
, (X: )cosS,
:IXI + Qi
I,,
 (x: )sin s,
:IXI]+ V: *: 


!!:dzie: 

 Q,
fL) - funkcje kształtu siły poprzecznej Q,-. j = 1.2. 


('1/ * 
f/'l* = OJ 
:
 +
 
- -- ;\'\ 


r ._ 
I \1";' w" ("\1'* ,"11'* ( 12 ) 
Q2 * = - l D 16 ----:;-T -r- 3D 26 
 + (D 12 -i- 2D('IJ)
 + D'2 
 
1,.\[ ("11"2 (.,[ ("2 I .,
>>>
Metoda rozwiązania cienkich płyt anizotropowych 


193 


4. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY 


Na podstawie otrzymanych wzorów podano rozwiązanie dla płyty obciążonej po- 
przecznie, utwierdzonej obustronnie na dwóch przeciwległych krawędziach. 


P(
l' 
) 
I I 
I
- 
, , , 
" , 
, O 
, 
, 
, 
, 
, 

2 
/ 28, / 
/ / 


Rys. l. Schemat obliczeniowy 


Warunki brzegowe: 


,.J = O. in 1 = O 
""Ix, =:ta, '...1 x, =:1:0, 


(13) 


M 22 Ix 2 =:ta 2 = O; V 2 Ix 2 =:l:0 2 = O 


(14) 


Te warunki spełniamy oddzielnie dla części symetrycznej oraz dla części anty- 
symetrycznej kinematycznych i statycznych charakterystyk płyty. Z wyrażeń (9,10) 
otrzymujemy: 


M 221 X2 =:ta2 = tVI 22 I x2=:ta2 + ,W 221 X2 =:ta2 = O 


(15) 


i
1 ni x2=:!:02 = tJ
 R,\I,łm) [ł:!:
, li (XI )cos o!
 ] (:t a:J]+ 


8 [ ] -t [ ] 
[I] (1)., . [2] [I] [1]- . [2] 
+ L R"I(m) Y rI (lIl) (X, )smOm (:ta2) + L R r2 (IIl) Y r2 (1Il) (XI )smOm (:ta2) + 
1'=5 1'=1 


8 [ ] -t [ ] 
[I] [I]c [?] [? [?]c [I] 
+ L R r2 (1Il) Y r2 (1Il) (X, )cos o,;' (:t a2) + L Rriłlll) Yr
m)(:t al )cos om (XI) + 
1'=5 1'=1
>>>
194 


J.P, Lewandowski. M. Delyavskyy 



 [2] [ [2], ( ) . [1] ( )] 
 l:,] [ ,l:,], ( ) . 
[I] ( )] 
+LRrl(m)Yrl(lII) i: a:, SI/10 , ,, XI +LRr:'lm)}r:'(III)i:u, S 1/1 bili XI + 
'-0::::.) r=! 



 l:'] [y [:'k ( ) 
[I] ( )] 1 ' { * I O 
+ f:s Rr:'(m) r2(m) i: a:, cos bili XI f + 1:'2 x:'
",,:' = 


(16) 


;\1 :'21 \:'
",,:' ='
I{
 R).IIt" )[Y}
!
" ltl )COS i3

](:!: U:, )]+ 


4 [ ] 8 [ ] 
[I] [I I . 
 l:, I [1] [I], . 
 l:, I 
+ L Rrl(lII) yrlllllltl ) S 1/1 bili (:!: u:') + L Rr:'(m) Yr'llIlltl ).\'1/1 ° III (:!: u:) + 
/"=1 r=5 


4 [ ] 8 [ ] 
[I] .[1 l, _.. 
 I:' I -'- [:'] .[:'], . . 
 [I J _ 
+ L R r2 (1II) } r:'1 Im)1 C\ I )(,0.\ bili (... CI:, ) + L Rrl (III) } rlllll) (:!: u:' )L 0,1 Ó III (.\1 ) + 
r=\ 1'=5 


4 [I [ ] ] 8 [ ] 
2 [2], . [I [:'], [:'], . 
 [II 
+ L Rrl m) Yrlllll ) (i: CI:, )SI/1 O III (XI) + L R r : llII ) }r:'IIIII(:!: a2 ).\'1/1 ° 111 (XI) + 
1"=] /"=5 



 R [2] [} .[2], ( + ) . .d l ] ( - )] l ' { ' * 1 _ O 
+ 
 r:'(III) r:'llII) _a:, L 0.\ U III '\1 J+":':' I',
"-U!- 


( 17) 


/':,:,1 \", 
"", = (-:,:,1 l. 

u. +1"::,:,1 \. 
:"'. = O 


( IS) 


r { 8 ] 
- - . [I] [I], _ , . 
[:'] + 
VdX2=i:":'-'
1 I
Rrl(III)[Qrl(ml\I)W.\b,,, (_u:')+ 



 R [l] r [II, ( ) . '[:'] ( )] 
 R [II r [I], ( ) . '[:'I ( )] 
+ L rlllll)lQrl(1I11 xI SlnÓ," =u:' + L r:'11I1 IlQr:'!1II I xI smó lI i:u:, + 
r= I r= 5 



 R [I] r O [I]c ( ) [:,I ( )] 
 [:,1 r [:'j, ( ) [1] ( )] , 
+ L r:'(m)l'--r:'llII) XI COSÓ'II :tu:, + L Rrll"dlQrllml i: u:' C()SÓ III XI ' 
/"=1 /"=5 


, 
 R [:'] r o [:']' ( -'- ) .' [1] ( - )] , 
 R [:'] r o [:']' ( + ) .' 
[II ( - )] 
'L ,111II)l'--rl!lII) _u:. .\/l1ó" '\1 'L ,:'!lIIll'-r:'(III) _u:, .11I1l\1I '\1 + 
!'
I /"=5 


+ 
 R,[
tJQ,l.
I'"j:t u:, )cm 0[;)(X 1 )]} + 1°:,:, * I l:' u:' = O 


( 19)
>>>
Metoda rozwiązania cienkich płyt anizotropowych 


ł95 


'l) f 
 
 ] 
--; _ [I] [I]c _ 
 (2) 
fi 2c I ,c
:':uc -'
Il
 Rrl(lII) Qrl(1II lYI )ws D,,, (:t a2) + 


R 
] ] -I 
 ] 
[I] [I , . [c] [I] [I], . [:,] 
+ L Rrl(lII) Qrl(1II )(x 1 )sm D III (:t (2) + L Rrc(lII) Qrc(1JI )(x l )sm D III (:t a:,) + 
1'-:=) 1'=1 



 [I] r [Ik ( ) ,,[2] ( )] 
 [c] r o [c], ( ) [1] ( )] 
+ L.. Rrc(lII)lQrc(lII) XI COSU m :tac + L.. Rrl(lJI) lI... rl(lII) :ta:, COSD II1 XI + 
1'=5 r=1 


R 
 ] -1 
[ ] 
[c [c , . [I] [c] 2]' . [I] 
+ L RrJ,,) Qrl(IJI)(:t a2 )SmDm (XI) + L Rrc11/ 1 )' Qrc(IJI)(:t a c )smD III (XI) + 
1'=5 1"=1 



 R [2] r Q [c]c ( ) 
[I] ( )] Il ,. * [ O 
+
 rC(III)
 rC(III):ta c COSO II1 XI J+rcc ,c=:1:uc= 


(20) 


H' I l' =+" = I-v i , . =+u +\V l , =+u = O 
I - I I - I - I -- I 


(2 ł) 


_ I - f. { R [I] 1I/[I]c ( ) . .,[2] 
 [ [c] V [2], ( ) 
 dl] 
li ,,=:tu, - '
I ,E Rrl(IJI)" r(lJI) :t al L OSÓ IJI X:, + 
 Rrl(lIIl r(1II) X:, COSU III (:tal) + 


/ [2] // [2],. .' 
[I] ( + )] 1 -'* 1 O 
',.21/11) ,.(III/'\2).I/I1ÓI/ 1 -"I )+11 \'
:+:'" = 
-j _ y r R [I] . .[1], ( + ) . '[2L 
 [ [c] [:']c ( ) . ,,[I] + 
III \,
=u, - I i I R,.c(lII)vV,.(III! - al ,llI1b jll Xc + L.. Rrl(III)vt;'(III) X 2 LOSU jll ( _al) + 
111=1 l 1':::::1 1'-:=) 


(22) 


+R[
] ( j l1'[ 1 2), ) ( x, ).\'iI18
:,J(:t "I) 1 11 '* 1 ( I = O 
1- 11/ I '" - t \1 =:!:tll 


(23 ) 


(p l \ 
-u = (p l \ 
-" +ip l \ 
+ " = O 
I - I I - I I - I 


(24) 


_ I _
I
 [I] .[1] ( + ) , '[2] ( _ ) _
 [ : .: . ( ) . ,[J] ( ) 
qJx,
::", -L..iL..Rri(lIIl
r(III)-(/1 COS')III .\: L.. R/,I(II1!Lr(III) x: smiJ ll1 :tal 
1II=ll/'=1 r=' 


R c L 'c ( - ) . "[1] ( + )] ) - O 
+ (21111) "(1111 '\2 LO,IÓ jll - (/1 1- 


(25) 


-I _ 
 ) 
 [:] ;[1] ( ) . .[:] ( ) _ 
 [ 2 ,2 ( ) . '[1] ( ) 
qJlx, =::", - L i L Rr2(IIJ
 /'(111) :t (/1 SIn ()/Il x2 L Rrl(/Il)L /'(111) x2 sm iJ l11 :t al + 
111=11 r
1 /'= I 


.J.. 2 .c ( _ ) . . '[1] ( + )] l _ 
, Rr2111i\L r(jll) .\c L 0,1 l\1I - LII I - O 


(26)
>>>
196 


J.P. Lewandowski. M. Delyavskyy 


Rozwiązując otrzymany układ równań uzyskamy nIeznane parametry R/

.tl)' 
zatem na podstawie wcześniej podanych wzorów określamy przemieszczenia, momenty 
i siły tnące w płycie. Natomiast wartości naprężeń średnich (w materiale określonym 
modułami zastępczymi) możemy obliczyć ze wzorów: 


_ 12 Al uj.\ . _ 6 Tu ( h 2 - .2 J = '") 
a 
 - .1:, , a l " -, .c" a,
 L_ 
U" h.1 " LIr' 4 . 


(27) 


LITERA TURA 


[1] 1Y113 11 H T.. ,l],3aKo M.. 1982. MeXaHI1Ka paJpyweHWJ KOMn0311UHOHHblX 
MaTepHa.:loB, nepeBOI1 c jjnOHCKOro c.n. MaCJleHHI1KOBa nOI1 pel1aKWl6\ B.Y\. 
6YPJlaeBa, MHp MocKBa, 232 c., I1Jl. 
[2] German J., 200 I. Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych. Wyd. Politech- 
niki Krakowskiej. 
l3] KpHcTeHceH P., 1982. BBel1eHl1e B MexaHI1KY KOMn03I1ToB. M. Mup MocKBa. 336 c. 
[4] ,l],eJljjBCKHH M,B.. OHblWKO ;U1., Call11BCKI1H B.M., 1990. npoCTpaHcTBeHHO- 
apMHpoBaHHble KOMn03HUl10HHble Ma:repI1lli1bl. Oo'wp. J
en. B BYlHylTYI 
20.04.90.-N
 6425-B90. JlbBOB, n c. 
[5] Hashin Z.. Rosen B.V.. 1983. The elastic modul offiber 
 reinforced materials J. 
Appl. Mech. 31(2). c. 223-232. 
[6] Kączkowski Z., 2000. Płyty - Obliczenia statyczne. Arkady Warszawa. 
[7] Lechnicki S.. 1957. Teoria anizotropowych tarcz. ITTL Moskwa. 
[8] Delyavsky M.. Krawczuk M.. Nagórko W.. Podhorecki A.. 2002. Pure bending ol' 
orthotropie elastic rectangle beam. Engineering Transactions 50 (1-2). c. 55-67. 
[9] Podhorecki A.. Delyavskyy M.. Ran R.. 2003. O pewnej metodzie rozwiązywania 
układów płaskich złożonych z elementów płytowych. [W:] Budownictwo ogólne. 
Zagadnienia konstrukcyjne, materiałowe I cieplno-wilgotnościowe w budownic- 
twie. Wyd. Uczeln. A TR Bydgoszcz, 123-129. 


THE METHOD OF SOLUTLON OF THIN ANISOTROPIC PLA TES 


Summary 


The approach to solving the thin anisotropic plate has been suggested. In the frame 
ol' this approach the 
rate ol' the displacements and stresses in the thin rectangular trans- 
versally loaded plate perfectly clamped at the two opposite cd ges is uetermined. There 
is suggested the other two edges are unloaded. 
Kcywords: composite, matrix. thin anisotropic plate. Fourier's 'ieries, function ol' form
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


WPLYW SEKWENCJI PROGRAMU OBCIĄŻENIA NA PRZEBIEG 
PROCESU STABILIZACJI STALI 45 


Stanislaw Mroziński 


Katćdra Podst
1\\ Konstrukcji !Vlasz) n 
\V) d;:ia! !Vkchaniczny A I'R 
ul. Prol". S. Kaliskicgo 7. 85-796 B) dgoszcz 


\\. rrac) /alllics/C/ono II) niki ora/ anali/; niskocyklowych badań zlll;o.e- 
nimI) ch stal i 45 II II Munkach obciqh?li rrogranlOllall) ch blokowych o róJ.nej se- 
blcncji rO/iOIlH'J\\. Poduas badari stosolIano cztcry typy progl'allló\\: stopniowo 
narastajqce. storniollo Illalcjqce. stopniollo rosnqce a mLst;pnie Illalejące oraz 
ohciq/enia o nieregularn) 111 nast;pstllie roziollll1ll. Wyniki hadań anali/.Ollano 
II 
lspekcie II rl) II 11 rostaci programu obciqżenia na przcbieg procesu stabilizacji. 
.\nali/e rrocesu stabili/acji prowad/()no poniwnujjc amplitud; napr;żcnia dla 
II) branych storni rrogl"alllll II kolcjn)ch hlokach. Analiza por()\\,nawcza tcgo pa- 
l"allletru UlI idoC/nila pouohiclistllo pr/cbicgu rroccsu stabili;:acji podczas obcią- 
/cń rrogramoll an) ch ora/ staloalllrlituuoll) ch. 


SIO\la kluC/olle: obciq/cnia rrogramlJ\lane. tł-\Ia!o
'; zm;czcnio\\a. II!asności 
cyklic/llc 


l. WPROWADZENIE 


Jednym z podstawowych założeń metody oblicze,i trwałości zmęczeniowej opartej 
na analizie lokalnych odksztalceń i naprężeń jest niezmienność parametrów pętli histe- 
rezy podczas cyklicznego obciążenia. W pierwszych pracach prowadzonych w zespole 
prof. S. Kocańdy [2.3.4] na podstawie badali zmęczeniowych materiałów metalowych 
v\skazano na zmiany parametrÓw pętli histerezy podczas obciążeń stałoamplitudowych 
i Zll iązane z ty m trudności jednoznacznego określen ia okresu stabilizacj i własności 
cyklicznych. 
W pracach prowadzonych przez prof. J. Szalę i współpracowników [6.13.14] na 
podstawie badali stal i -15 w warunkach II y stępowania przeciąże,i wykazano. że po każ- 
dej zmianie poziomu obciażenia występO\\a!o zjavvisko umocnienia materialu. Porów- 
nanie pętli histerezy przed i po zmianie poziomu obciążenia wskazywało na zmiany 
własności cyklicznych materiału, a przede wszystkim utratę stanu stabilizacji uzyskanej 
na poprzednim poziomie obciqżenia. Zmiany l\Jasności ll1ateriału oceniano podczas 
obciążenia osiO\vego i zginania. 
Stosowane podczas wcześniej omówionych badali przebiegi obciążenia dotyczyly 
prostych, dwustopniowych programów obciążenia. W przypadku realizacji obciążenia 
eksploatacyjnego mamy najcZl.;śeiej do czynienia z losowym następstwem wartości 
amplitud cyl\.li obciqżenia. Ilartosci średnich oraz częstotliwości. W pracy badawczej
>>>
198 


Stanisław Mroziński 


prowadzonej w latach 1996-1998 przez zespół prof. J. Szali [11,15] zajmowano się 
procesem sumowania uszkodzeń zmęczeniowych. Podczas badań stosowano zróżnico- 
wane programy obciążenia oraz różne materiały. W pracy wykazano brak stabilizacji 
własności cyklicznych oraz niedoskonałość metod obliczeń trwałości bazujących na 
założeniu istnienia okresu stabilizacji. 
W pracach [8.9] Mroziński na podstawie wyników badań stałoamplitudowych 
trzech metali dokonał analizy danych materiałowych wyznaczanych w różnych okre- 
sach żywotności. Największym zakresem zmian spośród badanych materiałów charak- 
teryzował się stop aluminium PA7 i stal 30 HGSA. 
Problemem badawczym jest zarówno sam opis przebiegu zmian własności cy- 
klicznych podczas obciążenia nieregulamego, jak również możliwość przewidywania 
tego przebiegu np. na podstawie danych uzyskanych podczas obciążeń stałoamplitudo- 
wych. Rozwiązanie problemu wymaga analizy porównawczej przebiegu procesu stabi- 
lizacji podczas obciążenia nieregulamego i stałoamplitudowego. 
Celem podstawowym pracy jest ocena wpływu sekwencji poziomów obciążenia nie- 
regularnego na przebieg procesu stabilizacji stali 45. Celem dodatkowym jest analiza po- 
równawcza procesu stabilizacji podczas obciążenia nieregulamego i stałoamplitudowego. 


2. OPIS BADAŃ 


Próbki do badań zmęczeniowych wykonano z normalizowanej stali 45 zgodnie 
z normą ASTM [1]. Podczas badań stosowano obciążenie programowane blokowe 
o różnej kolejności stopni w bloku (rys. I): 
a) Lo-Hi - obciążenie narastające (Low-High), 
b) Hi-Lo - obciążenie malejące (High-Low), 
c) Lo-Hi-Lo - stopniowo rosnące następnie malejące (Low-High-Low), 
d) I - nieregulane stopniowane (lrregular) 


a) b) c) d) 
Lo-Hi Hi-Lo Lo-Hi-Lo 

- 
 -
 
- - F 
: =1!h 
 
 , 
1.. _ 
- 1- 
- - 
--, ',.-- 


Rys. l. Programy obciążenia 


Podstawą opracowania parametrów blokowego programu 
bciążenia był przebieg 
o nieregulamym następstwie cykli. Rozkład amplitud w tym przebiegu uzyskano wyko- 
rzystując funkcję rozkładu beta 
j( ) I a-I ( \JH 
Eac =- ( ) Eac I-ElIcJ 
B a.13 


(I) 


gdzie: 
B 
a,13 


- funkcja beta wyrażona funkcją gama B(a,l3) = [(a)[(I3)1[(a+I3), 
- parametry rozkładu beta.
>>>
Wpływ sekwencji programu obciążenia... 


199 


Poprzez odpowiedni dobór parametrów a i 13 uzyskano przebieg obciążenia niere- 
gulamego charakteryzowanego wartością maksymalnej amplitudy odkształcenia cał- 
kowitego Eoemm W jednym bloku programu obciążenia oraz współczynnikiem wypełnie- 
nia widma obciążenia ł:;; : 


i=łO E n I 
Ś = I aci 
1=1 Eac max no 


(2) 


Dla parametrów rozkładu a = 3 i 13 = 3 uzyskano wartość ł:;; = 0,56. Przebieg niere- 
gularny poddano schematyzacji metodą lokalnych ekstremów uzyskując widmo bloko- 
we, które było podstawą opracowania różnych programów obciążenia różniących się 
kolejnością stopni. Parametry stałe dla stosowanych programów obciążenia pokazano 
i wyjaśniono w tabeli I na przykładzie programu nieregularnego ,,1". 


Tabela I. Parametry programów obciążenia 


Schemat programu ParametrY 
10 Stopień E.e 0/0 n. Pozostałe 
" J .!. 
E,.,%'I_ri I 
7 I r------... I 0.15 2 

I I ,L- i 2 0.3 8 
4 -------, 
05 
 
 3 OA5 9 
. 2 J I L..1 4 0.6 15 no = 100 
o 5 0.75 14 cykli 
1- 

', 1 
 6 0.9 17 i;;= 0.56 
-1_
: - ---.---L______ 7 1.05 9 
:--1 ' 8 1.2 19 
n, 
-1,5_ 
 - 9 1.35 5 
( n. ) ( n. 
10 L5 2 


Badania zmęczeniowe wykonano na hydraulicznej maszynie wytrzymałościowej 
Instron 850 l. Podczas badań przyjęto stałą prędkość przyrostu odkształcenia względne- 
go części pomiarowej równą I %/s. Parametrem sterującym podczas badań było od- 
kształcenie całkowite części pomiarowej próbki mierzone przy wykorzystaniu eksten- 
sometru będącego na wyposażeniu maszyny wytrzymałościowej. Podczas badań reje- 
stracji podlegały całe wybrane bloki obciążenia (100 cykli). 


3. WYNIKI BADAŃ 


3.1. Trwałość zmęczeniowa 


Uzyskane dla poszczególnych typów programów obciążenia liczby powtórzeń 
bloku programu Ą oraz uzyskane trwałości zestawiono w tabeli 2. Jako trwałość zmę- 
czeniową przyjmowano całkowitą liczbę cykli do momentu. w którym na i-tym pozio- 
mie programu nastąpiło około 5% zmniejszenie obciążenia w stosunku do obciążenia 
maksymalnego na tym poziomie. W tabeli zawarto również wyniki obliczeń wartości 
średnich trwałości uzyskanej dla poszczególnych programów obciążenia.
>>>
200 


Stanisław Mroziński 


Tabela 2. Wyniki badań 


Trwałość zmęczeniowa 
Nr próbki Lo-Hi Hi-Lo Lo-H i-Lo I 
A 2N f A 2N f A 2N f A 2N f 
I 17.25 3450 17.84 3568 18.77 3754 14.15 2830 
2 15.75 3150 14.5 2900 17.7 3540 15.1 3020 
3 15.3 3060 15.33 3067 15.5 3100 15.8 3160 
Srednia 16.1 3220 15.89 3178 17.32 3465 15.02 3003 


3.2. Własności cykliczne w bloku 


Dla zarejestrowanych podczas badań kolejnych bloków obciążenia określono 
wartości podstawowych parametrów pętli histerezy, tj. amplitudę naprężenia a., ampli- 
tudę odkształcenia plastycznego Eap oraz energię odkształcenia plastycznego tJ. Wp/o 
W poniższej pracy ze względu na jej objętość analizę ograniczono do naprężenia a.. 
Przebiegi zmian naprężenia aa w poszczególnych blokach obciążenia pokazano w for- 
mie wykresów na rysunku 2. 


a) b) 
600 l 600 - 
550 - 550 
500 - 500 - 

 I Ol 
c.. 450 - 
::E 450- ::E 
t5' 400 
 ! t5' 400 
 I 
350 
 3 6 9 12 14 350 - 
300 300 
o 20 40 60 80 n 100 O 20 40 60 80 n 
c) d) 
550 - ::kf1 

 
500 - 
"' 450 J "' 450- 
c.. 
400- J 
::E 
" t: I 3 6 I 
350 - II 
300 l' 
20 40 60 80 O 20 40 60 II 80 II 100 
U 


Rys. 2. Zmiany a. w bloku programu: a) Lo-Hi. b) Hi-Lo). c) Lo-Hi-Lo. d) I 


4. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ 


4.1. Trwałość zmęczeniowa 


Jak należało oczekiwać, liczba bloków obciążenia A zrealizowanych do chwili 
pęknięcia jest dla kazdego typu obciążenia bardzo zbliżona. W pracy przeprowadzono 
analizę wariancji dla czterech średnich trwałości uzyskanych dla poszczególnych ro-
>>>
Wpływ sekwencji programu obciążenia ... 


201 


dzajów programów obciążenia. Przeprowadzona analiza na poziomie istotności 
a = 0,05 wykazała, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości 
średnich wartości trwałości zmęczeniowej uzyskanej dla poszczególnych programów 
obciążenia. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że kolejność stopni 
programu obciążenia nie wpływa na trwałość zmęczeniową. O przebiegu stabilizacji 
decydowała zgodnie z przyjętym założeniem jedynie kolejność cykli w bloku programu. 


4.2. Własności cykliczne 


Na podstawie analizy przebiegów aa w kolejnych blokach obciążenia można 
stwierdzić, że niezależnie od programu obciążenia materiał ulega cyklicznemu umoc- 
nieniu. Świadczy o tym wzrost naprężenia aa na tych samych stopniach w kolejnych 
blokach programu obciążenia. W pracy poddano szczegółowej analizie przebiegi zmian 
naprężenia au na poszczególnych stopniach realizowanych programów. Ze względu na 
ograniczoną objętość poniższej pracy na rysunkach 3-6 pokazano przebiegi aa dla 
dwóch reprezentatywnych stopni o amplitudach Eac= 0,6% i 1,2%. 
Analiza wykresów pokazanych na rysunkach 3-6 wskazuje, że przebiegi zmian aa 
na stopniach zależą od programu obciążenia. Zmiana amplitudy odkształcenia z więk- 
szej na mniejszą prowadzi najczęściej do chwilowego osłabienia materiału na kolejnym 
stopniu i uzyskania na nim nowego poziomu naprężenia stabilizacji aas. Naprężenie to 
jest wyższe od naprężenia stabilizacji uzyskanego na danym stopniu w poprzednim 
bloku. Z kolei przejście na wyższy poziom odkształcenia prowadzi najczęściej do pro- 
cesu umocnienia materiału i uzyskania nowego naprężenia stabilizacji a".. Naprężenie 
to jest również wyższe od naprężenia stabilizacji dla tego samego stopn-ia obciążenia 
zrealizowanego w poprzednim bloku. Inny przebieg mają zmiany naprężenia w progra- 
mach Lo-Hi oraz Lo-Hi-Lo na poziomach odkształcenia Eac 0,6%. 


a) 


b) 


A
n-łrE- 
... 
£-.:=0,6% I---,
 


---- 
- 


) 


560 - 
550 - 

 
"- 

 540 - 
ti 
530 - 
520 


E.o = 1.2% 1 -- 
---..r-, 

 _ln8
 
. ) 
 

 =-: 
 12 

 9 

 : 

 I 

 



60 - -- 


15 
12 
_ 9 
6 
3 


450 - __ 
-------- 


=440" 
"- 

 
c" 430 - 


420 - 


- 


410 


o 


10 n. 15 


10 


15 nI! 20 


Rys. 3. Zmiany cr" na dwóch stopniach programu Lo-Hi: a) E"c= 0.6%. b) Eac= 1.2%
>>>
202 


Stanisław Mroziński 


a) 



n.
 
460 -, E",= 0,6% 1 - "- 
I 
 ;i 14 
450 '---- ---- _ 12 
ci: l 
 =--- 9 

 
 
 6 

 ------- 4 


440 
 


430 


o 


\O 


n4 15 


Rys. 4. Zmiany (Ja na dwóch stopniach programu Hi-Lo: a) Eac= 0,6%. b) Eac= 1.2% 


b) 


5 


a) 


n..
n.... 
E = o 6% p _
________',:-
 
 n. = n.'+n. . 
415 J "' , - '---) 
-- n.'
 -- n...---?- 
I I 
 _ ,14 
'" 405 -14==::::::::-==== _____ 
 I
 
c.. 12
 ____ 6 
::E 395 - 9 ________ ---- 

 ___ --.......... 3 
tJ 6 _____ 
385 l 3 ______ I 
'I
 
375 
O 3 6 9 12 n. 15 


b) 


2 


570 - 
I 
560 l 

 550 i 

 

 540 l 
530 1 
520 


..."1,2% t -::,

 
'---- t :. 15 
'---- 14 
-............-. 12 
--- 
'---- 9 
""-- 6 
3 
"-- 


O 


\O 


n, 20 


5 


15 


E.., = 1,2% ,ti I 
510 - r' +h,+ 
r,J 
500 
 1- nB'-----'Jo 
490 1'4 :;;;:::=- 
 
C'O 12' ------- 

 480 - 9:::::----- 
-o470ć6
 
3 
460 - ____ 
1 1 / 
450 
O 


08= "8-+Ilg.' 


Z. n,.. ) 
'-.._ 14 
'-----
 12 
'-- 9 
"-- 6 
3 
'-------I 


12 


15 n,18 


Rys. 5. Zmiany (Ja na dwóch stopniach programu Hi-Lo-Hi: a) Eac= 0.6%. b) Euc= 1.2% 


3 


6 


9 


a) 


450 l I - 1 -i 
,:: 
 :
 

-:::; 
 I _ f 
400- 
, 
1 


390 


O 


\O 


1"4 


5 


15 


b) 
510 - 
 ;j 
500 
 j 
'" 490 
c.. 
:::;: 
t:; 480 
470 '-
 1,2% 
 1- L-
l 
460 -n, 
O 10 15 n, 20 


Rys. 6, Zmiany (Ja na dwóch stopniach programu I: a) Eac = 0.6%, b) Eac = 1.2% 


Na poziomach tych pomimo przejścia z poziomu niższego na wyższy materiał 
podlega niewielkiemu osłabieniu. W celu zilustrowania tej własności na rysunku 7 
pokazano przebieg zmian {Ju na poziomie Eac= 0,45% dla programu Lo-Hi.
>>>
Wpływ sekwencji programu obciążenia... 


430 - 


420 - 


" 
!:E 410 - 
tS 
400 - 


390 
o 
Rys. 7. 


2 


4 


6 


8 n, 10 


Zmiany (Jm na poziomie odksztalce- 
nia Eac= 0,45% dla programu Lo-Hi 


203 


490- 
 2 
I r 
...0/. 
470 - b - E - - 2 
I L:. 1.2 --ł
 
CIS 4501 06-
 -J' 

 430 
 
=
::::::
:
:
 . - l -) 
c' 410 J 
390
a':
 
370 , '- 
o 2 4 6 8 Ą 10 


Rys. 8. Naprężenie (Ja dla Lo-Hi-Lo na końcu 
stopni Eac= 0,6% (a) i 1.2% (b) 


Wyższe naprężenie stabilizacji (Ja., na stopniu o amplitudzie Eac= 0,45 w kolejnych 
blokach wskazuje, że pomimo chwilowego osłabienia na stopniu materiał podlega cy- 
klicznemu umocnieniu. 
Na szczególną uwagę zasługują zmiany (Ja podczas obciążenia Lo-H i-Lo (rys. 5). 
Przebiegi 'zmian (Ja W tym programie obciążenia mają inny charakter podczas obciąże- 
nia narastającego a następnie malejącego. Poziomy naprężenia stabilizacji (Jas na tych 
samych stopniach podczas obciążenia narastającego a następnie malejącego nie są sobie 
równe. Niższe wartości naprężenia (Ja można zauważyć podczas obciążenia narastające- 
go, natomiast wyższe podczas obciążenia malejącego. Różnica pomiędzy naprężeniami 
(Ja na tym samym stopniu podczas obciążenia malejącego i narastającego zmniejsza się 
wraz z liczbą powtórzeń A bloków programu obciążenia. Powyższą cechę stali 45 zilu- 
strowano na rysunku 8. Na rysunku pokazano przebieg zmian (Ja W ostatnim cyklu stop- 
ni o amplitudzie Eac = 0,6% i Eac = 1,2% podczas obciążenia narastającego i malejącego. 
Z położenia wykresów wynika. że różnica pomiędzy naprężeniami (Ja zanika w końco- 
wym okresie żywotności. 
Na podstawie analizy zmian naprężenia (Ja na poszczególnych stopniach programu 
można zauważyć zależność tego parametru od okresu żywotności. W pracy przeprowa- 
dzono analizę porównawczą wielkości zmian naprężenia (Ja dla poszczególnych stopni 
programu obciążenia blokowego oraz stałoamplitudowego. W celu bezpośredniego 
porównania przebiegu procesu umocnienia zachodzącego podczas obciążenia stałoam- 
plitudowego i programowanego blokowego na rysunkach 9+ 12 pokazano przebiegi 
zmian (Ja W funkcji trwałości względnej n/N. 
Na podstawie analizy wykresów pokazanych na rysunkach 9+ 12 można zauważyć 
podobieństwo jakościowe oraz ilościowe w przebiegu procesu stabilizacji podczas ob- 
ciążenia stałoamplitudowego i programowanego. Naprężenia (Ja określające chwilowe 
własności podczas, obciążenia stałoamplitudowego i blokowego mają w tych samych 
okresach żywotności podobną wartość. 
Z wykresów wynika, że materiał pomimo zaburzenia procesu stabilizacji przez 
zmianę amplitudy odkształcenia na kolejnym stopniu wydaje się "pamiętać" przebieg 
procesu stabilizacji. Na wykresach zmian (Ja podczas obciążeń programowanych widać 
bardzo wyraźne trend zmian własności cyklicznych. Trend tych zmian jest bardzo po- 
dobny do przebiegu procesu zmian własności cyklicznych mającym miejsce podczas 
obciążenia stałoamplitudowego. Widoczne jest to dla wszystkich programów obciążenia 
realizowanych podczas badań.
>>>
204 Stanisław Mroziński 


a) b) 
460 l 560 , I Eac 
450 550 
tO 540 
Q... " 
:2 440 l=----.r c.. 

 :::E 530 

 
-'-" 
I I . ---I---'-' tj' 
430 
 6aoc= 0,6% - ..... 
I tr- 520 
Ir I '" 
420 510 
o 0,2 0,4 0,6 0,8 n/Nł 0,2 0,4 0,6 0,8 nfN \ 


Rys. 9. Zmiany (Ja na dwóch poziomach odkształcenia: Eac = 0,6% (a) i E,rc = 1.2% (b): I - ob- 
ciążenie stałoamplitudowe, 2 - obciążenie Lo-Hi 


a) b) 


tO 
Q... 
:2 

 


l X 
i "- l 2 
k 
 
-I - 
E K - 0,6% -"'- _ "'- 


I "' 


L
,.'% [ 


 


nIN 


Rys. 10. Zmiany (Ja na dwóch poziomach odkształcenia: Eac = 0.6% (a) i Eac = 1.2% (b): I - ob- 
ciążenie stałoamplitudowe, 2 - obciążenie Hi-Lo 


a) b) 
460 I Euc I 
"' 
450 \ 
tO \ 
Q... 440 \2 2 
:2 
tJ 
 A I=-
 
430 
to..... E.c=O,6% - - - .... 
) 
420 
o 0,2 0,4 0,6 0,8 


Rys. II. Zmiany (Ja na dwóch poziomach odkształcenia: Eac = 0.6% (a) i E.c = 1.2% (bl: I - ob- 
ciążenie stałoamplitudowe. 2 - obciążenie Lo-H i-Lo
>>>
Wpływ sekwencji programu obciążenia... 


a) 


205 


b) 
560 
550 
'" 540 
"- 

 
t:J 530 
520 
510 
o 0,2 0,4 0,6 0,8 


Rys. 12. Zmiany 0". na dwóch poziomach odkształcenia: Eac= 0.6% (a) i Eac= 1,2%(b): I - ob- 
ciążenie stałoamplitudowe, 2 - obciążenie nieregularne I 


Uzyskiwane w końcowych cyklach obciążenia stopni o amplitudzie Eac = 0,6%, 
i Eac = 1,2% naprężenia a. zmierzają do poziomu naprężenia odpowiadającego napręże- 
niu aa dla obciążenia stałoampolitudowego. Powyższe spostrzeżenie może mieć duże 
znaczenie praktyczne. Wskazuje bowiem na możliwość przewidywania procesu stabili- 
zacji materiału podczas obciążenia eksploatacyjnego na podstawie znajomości tego 
procesu dla obciążenia stałoamplitudowego. Pozwala to prowadzić obliczenia trwałości 
zmęczeniowej uwzględniając występujące w materiale procesy umocnienia, osłabienia 
czy stabilizacji. Takie podejście do problemu obliczeń trwałości zmęczeniowej może 
mieć szczególne znaczenie w przypadku materiałów charakteryzujących się brakiem 
okresu stabilizacji, np. stopów aluminium czy miedzi. Uwzględnianie podczas obliczeń 
chwilowych własności tych materiałów określonych podczas badań stałoamplitudowych 
może przyczynić się wzrostu skuteczności obliczeń trwałości zmęczeniowej. 


5. WNIOSKI 


Przeprowadzona analiza wyników badań pozwala sformułować następujące wnioski: 
l. Kolejność stopni programu obciążenia blokowego nie wpływa na trwałość zmęcze- 
niową. 
') Podczas obciążenia programowanego blokowego, podobnie jak podczas obciążenia 
stałoamplitudowego próbek ze stali 45 nie występuje okres stabilizacji własności 
cyklicznych. Z tego względu wątpliwości budzą metody obliczeń trwałości zmęcze- 
niowej bazujące na założeniu istnienia okresu stabilizacji własności cyklicznych. 
3. Na przebieg procesu stabilizacji własności cyklicznych stali 45 na poszczególnych 
stopniach programu obciążenia blokowego wpływa kolejność stopni programu ob- 
ciążenia. Zachodzące w materiale zmiany własności cyklicznych, tj. chwilowe 
umocnienie lub osłabienie zależą od amplitudy odkształcenia stopni występujących 
po sobie. 
-l. Przebieg procesu cyklicznego umocnienia zachodzący podczas obciążenia stałoam- 
plitudowego i programowanego analizowany przy wykorzystaniu amplitudy naprę- 
żenia au wykazuje podobieństwo jakościowe dotyczące charakteru zmian własności 
cyklicznych oraz ilościowe dotyczące wartości chwilowych tego parametru w tych 
samych okresach trwałości.
>>>
206 


Stanisław Mroziński 


5. Podobieństwo ilościowe oraz jakościowe przebiegu procesu stabilizacji podczas ob- 
ciążenia programowanego i stałoamoplitudowego pozwala sformulować tezę o możli- 
wości prze\vidywania chwilowych własności cyklicznych materialu elementu kon- 
strukcyjnego podczas obciążeń eksploatacyjnych na podstawie danych uzyskanych 
z badań normatywnych (próby staloamplitudowe zgodne np. z ASTM i PN). 
6, Wykorzystany podczas opisanych badań materiał (stal 45) podczas obciążenia 
zmiennego charakterYZllje niewielki zakres zmian własności cyklicznych. W celu 
srormułowania wniosków o charakterze ogólnym niezbędne są badania werytika- 
cyjne przy wykorzystaniu materialów o zróżnicowanych własnościach cyklicznych 
oraz innych opisów procesu zmęczenia, takich jak opis odkształccniowy czy opis 
energetyczny. 


LITERA TURA 


[I] ASTM E606-92. Standard Practice for Strain-Controlled Fatigue Testing. 
[2] Brune W.. Kocańda S., ] 987. Low cycle ratigue strength ol' K22MA steel and its 
welded butjoints. Archiwum Nauki o Materiałach, t. 8, z. 3. 
[3] Goss Cz.. 1982. Doświadczalna i teoretyczna analiza własności stali o pod- 
wyższonej wytrzymałości w zakresie małej liczby cykli obciążenia. Dodatek 
do Biuletynu ł ł (363), W AT Warszawa. 
[4] Goss Cz.. Kocańda S., ł976. O osłabieniu stali 45 przy małej liczbie cykli zmian 
obciążenia. Biuletyn W AT ł 2, Warszawa. 
[5] Kaleta J., 1999, Doświadczalne podstawy rormulowania energetycznych hipotez 
zmęczeniowych. Oficyna Wyd. Politechniki Wroclawskiej. 
[6] Mroziński S., ł 995. Comparison Analysis ol' Low-cycle PropeI1ies ol' 45 Steel 
Under Axial Loading and Bending. Doctoral work. University ar Technology 
and Agriculture, Facułty ol' Mechan ical Engineering Bydgoszcz. 
[7] Mroziński S., ł 998. Doświadczalna ocena proccsu stabilizacj i własności cy- 
klicznych materiałów konstrukcyjnych podczas obciążenia staloamplitudowego 
i nieregularnego. XVIII Sympozjum Mechaniki Eksperymentalnej Ciała Stalego, 
Jachranka k. Warszawy, ł 4-16 października ł 998. 
[8] Mroziński S.. 2003. O zmienności danych materialowych przyjmowanych do 
obliczeń trwałości zmęczeniowej. II Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Mate- 
riałów i Konstrukcji. Augustów, 4-7 czerwca 2003. 
[9] Mroziński S., 2002. Weryfikacja analitycznego opisu pętli histerezy. XIX Sym- 
pozjum Zmęczenia i Mechaniki Pękania. Bydgoszcz-Pieczyska. 23-26 kwietnia 
2002. 
[10] Mroziński S.. Topoliński T.. 1999. New energy model of tatigue damage accu- 
ll1ulation and its veritication for 45-steeł. Journal ol' fheoretical and Applied 
Mechanics. 2. 37. 
[ł I] Szala L ł998, Hipotezy sumowania uszkodzeń zmęczeniowych. Wyd. Uczeln. 
A TR Bydgoszcz. 
[12] Szala L ł 978. The erect ol' load sequence on tatigue I i re. Journal ol' Theoretical 
and Applied Mechanics 2. ł 6.
>>>
Wpływ sekwencji programu obciążenia... 


207 


[13] Szala J., Mroziński S., 1993. An analysis ol' the influence of overloads on the 
t'atigue life ol' 45-steel within the range ol' low - cycle ratigue. Journal of The- 
oretical and Applied Mechanics 4.31. 
[14] Szala L Mroziński S.. 1995. Piane bending low - cycle fatigue investigations ol' 
45-steel. Journal of Theoretical and Applied Mechanics 1,33. 
[15] Szala 1.. Mroziński S.. Boroński D.. 1998. Badanie procesu sumowania uszkodzeń 
zmęczeniowych. Sprawozdanie z projektu badawczego KBN nr 7 T07 A03508. 


INFLUENCE OF LOADING PROGRAM SEQUENCE 
ON THE COURSE OF THE 45 STEEL STABILIZA TION PROCESS 


Summary 


Results and low-cycle t'atigue tests analysis ol' 45 steel in conditions of block pro- 
grammed loading with a difrerent sequence of levels were presented in the paper. Dur- 
ing tests tour types ol' programs were applied: gradually increasing. gradually decreas- 
ing. gradually increasing and decreasing. and irregular. The sequence ot' levels in the 
block loading program was the parameter, which diversifled the applied programs. The 
results ol' tests were analysed in the aspect ol' intluence of loading program character on 
the coursc ot' the stabilization process. The analysis of the stabilization process was 
pertomled by comparing the stress loading amplitude tor the chosen levels ol' the pro- 
gram in the tollowing blocks. The comparative analysis showed similarity ol' the stabi- 
lization processes both under (he programmed and the constant - amplitude loading. 
Keywords: low-cycle properties, ratigue lire. programmed loading
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESlYTY NAUKOWE NR 2.-13 - MECHANIKA 54 -- 2004 


METODA ROZWIĄZYWANIA PŁ YTY CIĄGŁEJ 
WZMOCNIONEJ KRATOWNICAMI 


Jacek Nitka. Dariusz Buchaniec, Mykhaylo Delyavskyy 


Kut.:dra Nk.:huniki Konstruk.:ji 
\\')dziul nudlJ\\ni.:t\\u i In/) ni.:rii Srodo\\ iska ,\ fR 
ul. Proi'. S. Kaliski.:go 7, g5-7% Bydgoszu: 


\\ pru.:) rolpatruj.: si.; pl) t.; .:iqglą izotropu\\q poląuoną \\ sposÓb .:iągl) 
I "mtm\ niGl!11i. Dla 1"0/\\ i'!lania ta"i.:gu ukludu do"onano ro/dziulu nu pl) t.; i kra- 
hm nic
. a ich \\ spÓłdziałanic zast"piono przc...: nionan.: obciążenie popr/':c/nc, 
"tÓn: \\Y/nacla si
 I \\arunkÓw z.godno
ci ugi.;cia "ruwędzi pl) ty i krato\\llicy. 


Slo\\u kluc/(\\\.:: pl: ta. "rat()\\nica. Slcrcg Fouri.:nt. i/otropia 


l. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU 


Rozważamy cienką plyt;;; ciągłą swobodnie podpartą na krawędziach podłużnych 
połaC/onq na krawt;liziach poprzecznych w sposób ciągły z kratownicami statycznie 
wyznaczalnymi (rys. I). Zakladamy. że kratownica jest nieobciażona. a także pOll1ijamy 
jej CięŻeli. wlasn). Rozpatrywany układ możell1Y traktować jako uproszczony schemat 
statyczny konstrukcji mostowej. Dla rozwiązania takiego ukladu dokonujemy rozdzialu 
na plyte i kratownice. a ich współdzialanie zastąpimy przez nieznane obciażenie po- 
przeczne rozłożone IV sposÓb ciągły [I]. Przyjęto, że węzly pasa dolnego kratown ic) 
rozmieszczone 'ią dostatecznie gęsto. To prowadzi do możliwości uproszczenia polega- 
jącego na zaniedby\\aniu sil poprzecznych i momentów zginających w tym pasie. Każ- 
dy element rozpatrujemy oddzielnie (rys. 2. 3). Plytę rozwiązujell1Y metodą podaną 
w pracach [1.
1. natomiast kratO\
nicę za pomocą runkcji wpływu. Celem pracy jest 
opraco\\anie I11dody wyznaczenia przemieszczeri i sil wewnętrznych przekrojowych 
IV ply cie oraz sil norll1alnych w prętach kratownicy wywolanych obciążeniem ze- 
\\nętrznym przylożonym do powierzchni górnej płyty.
>>>
210 J. Nitka, D. Buchaniec, M. Delyavskyy 


I L=2a) 
.. 


Rys. I. Schemat układu płytowo-kratowego 


Lz 


L3 


Li 


Lo 


1 


2 


4 



 


:t. 



A 
Ll 


3 


B 
Ll 

 



 I 


.1 


L=2*Ll 


- 


Rys. 2. Schemat kratownicy obciążonej nieznanym obciążeniem poprzecznym
>>>
Metoda rozwiązywania płyty ciągłej ... 


21 I 


t-
x.) 
/ 


, , 


", 


, , 


\: ...... 


LY 


X2/ LY 
L 


X
 
I 

 


Rys. 3. Plyta obciążona silami zewnętrzny mi i nieznanymi siłami współdziałania 


2. ROZWIĄZANIE PL YTY 


Dla rozwiązania płyty przecinamy ją na podporach posrednich i każdą z nich roz- 
patrujemy oddzielnie, a ich współdziałanie zastępujemy przez nieznane momenty zgi- 
nające (rys. 4). 


'(1) 


'(2) 
T\X'T
 
./. '"'LU U U_LU.-ł_.ll '_, 
'l: 'I I 

 I , 





 
_ u....I...' '- U _
LU U. t , 
- 


x' 


"(2) 


x 


, 
'i' 


, 
x' 


, 


, 
x' 


)( 


Rys. -ł. Schemat obliczeniowy płyty ciągłej 


Te momenty podajemy w postaci szeregu trygonometrycznego: 


.. _ K ( [2] ) . ( ' [2] ) 
[2] _ (2i-l)JZ" " [2] _ ;JZ" . 
'\;/11 - L A, cos Oj x:! + Bj sm lj x:! ' 0; - ..,. . 'i - .' 

I -
 
 


(1)
>>>
212 


J. Nitka, D, Buchaniec. M. DelyavskYJ 


ponieważ każdą dowolną funkcję można zawsze rozłożyć w szereg Fouriera. Tu- 
taj: .ii' Si (i = L1....K ) - są to nieznane parametry. które wybieramy tak, aby był: 
spełnione warunki ciągłości kątów obrotu na wspólnej krawędzi dwóch plyt [2,3]. 
Płyta jest poddana działaniu obciążenia zewnętrznego c/(xl' x::» na powierzchni 
górnej, nieznanych momentów zginających na krawędziach podłużnych, a także obcią- 
* 
żenia T:: (XI) na krawędziach poprzecznych, Aby rozwiązać takie zagadnienie trzeba 
rozwiązać równanie podstawowe k-tego przęsła płyty i spełnić warunki brzegowe. 
Korzystamy z podstawowego równania teorii plyt cienkich izotropowych opisują- 
cego niewiadomą funkcje ugięcia w: 


c-+w 
-+2 

 -+ 
u'l 



J 
( -H' 



-+ 
C'\I' q 
+-=-. 

 -+ D 
( x:: 


(1) 


'""' l -. ...., 
(XI-( Xi 


gdzie: 


Eh 3 " . 
D = ( J oznacza sztywnosć płyty na zgInanIe. 
11 I - v- ) 


Mając wyrażenie na ugięcie wyznaczam: przemieszczenia pOLlOll1e, momenty 
i siły poprzeczne w płycie cienkiej izotropowej: 
('Iv 011' 
zq = -x3 -::;-, li:: = -x3 --::;--, (3) 
('):1 ex') 


1\.111 


[ 
 '") ') C 
D (- IV (
- 11' 
=- -+v-. 

 '") 
 '") 
ex] (
\'2 


--
 -,-' 
(11' I. - \I' 
A/ 2 :: =-D 
+I'
 
(Xi Ul 


,HI1 =_D(I_I,) [ 
(
2
1' l i ' 
(XI (X2 
 


(4) 



 I
:: ,:: 1 
(" I.' \II C 11' 
o] =-D- -+- 
-- ..... -.1 .....' 
 
(Xl l ( 
\'I (.\'i 
 



h 



 I
, 
'") 
( I ( - \I' (-\I' 
=-D-I-+- 
-. !"" -., -, l 
'x') 'X 1 - (x::; 
- J 


(5) 


oraz uogólnione siły Kirchhotfa: 

'I = Ol -'- ;
Ml:: , V, = O, + ('A/l:: 
- (
\" -- ,'xl 


(6) 


Rozwiązanie róvvnania (1) składa się z sumy rozwlazan: ogólne,=,o \1'01 szczegól- 


nego \1'", : 


w= \1'0 +- \1'",. 


(7)
>>>
Metoda rozwiązywania plyty ciąglej ... 


2ł3 


W celu określenia calki szczególnej. obciążenie zewnętrzne q(xl' x2) w ogólnym 
przypadku rozkładamy w cztery podwójne szeregi Fouriera: 
, - - 
 
 I . ( .[1] _ ) . . ( .[2] _ ) h ( .[ I] ) ., ( .[ 2] ) 
(j(.\ I' '\2 ) - L L l Ul/II' COS ')111 '\1 COS VII '\2 + mil COS V m XI S m V I1 x2 + 
111=111=1 
. ( ' .[ IJ ) ( .[2] ) I ' ( .[ 1] ) . ( -[2] )] 
+c mll s In V/" xI COS VII x2 -t-, IllI1 S In ')m xI s In V I1 x2 . 


(S) 


W sposób podobny podajemy ro/.wiązanie szczególne: 


w. = i i ['111111 COS (v'/
:]XI ) cos (')/[,2]x 2 ) +B,,," cos (5,l,:]xl ) sin (vf] x2 ) + 
m=III=1 


( ' . ( ,[ I] ) ( .[2] ) D . ( dl] ) . ( d 2 ] )] 
+ 11111 sm V m XI ,cos ()II X2 + ml1 sm um XI sm u l1 X2 ' 


(9) 


Podstawiamy wyrażenia (S). (9) do równania (2). Przyrównując wyrażenia przy 
jednakO\\ y ch harmonikach uzyskujemy układ I iniowych równań algebraicznych wzglę- 
dem nieznanych parametrów AII1I1' B II1 /1' ('11117' DII1I7' 
Rozwiazanie ogólne równania jednorodnego: 


--+ --+ 
-+ 
(\1'0 (\r o (\1'0 
-+'-+-=0 
--+ -,"," --+ ' 
(X, (XI-( xl (X2 


( 10) 


wybieramy w postaci 1'+]: 


, _ 
 1I1I ( , ) . / ,[ 2 ], 11 1 1 ( _ ) .' ( . [2], '\ f 12! ( , ) . . ( .[1] I 
\1 11 - LL/2A '\1 CO\');, '\2 )+/Ik '\1 sm /A '\2)+ 2k '\2 COS V A XI)+ 
A n-l 


. 1 1 1 ' ( [ I ] \ J 
+f lk - (X2) Slnl/ k XI j , (II) 
gdzie: /

] (x i ) 
ą to n ieznanc runkcje, Podstawiamy wyrażen ie ( II ) do równan ia ( 10). 
Po rozdzicleniu zmiennych uzyskujemy cztery równania różniczkowe zwyczajne: 


[1]1 II) . .., , l 1](/; ) _ ,[ 2 f[ I] _ .[2]-+_ 
t 2A (\I)--/2k ('\\)')A +hA ('\I)V A -O. 


( 12) 


[ 1 ] 1 II ) [ 1 ] 1;;) [ " ] 2 [ I ] [ " ] -+ 
/ . ( \" ) - .., f . ( \" ) v - + f . ( \" ) v 
 = O 
. lA . I - lA . I 'k . Ik . I l k . 


(13 ) 


.[ 2]1 II), ..,[ 2]1 ;; ) . ,[ I f [2] .[ 1]-+ _ 
hA ('\2)--/2A (\2)');, +f 2A (X2)V A -O. 


( 14) 


[ " ] 1111 [ ' j l/;\ [ 1 ] 2 [ o ] [ 1 ] -+ 
/ .- (\ ' ) -J f '- ('C ) .(. +j '- (\ ' ) ,/. = () 
, lA ' 2 - lA . 2 '!. . lA . 2 i A . 


(15 )
>>>
214 


J. Nitka, D. Buchaniec, M. Delyavskyy 


Rozwiązanie tych równań ma postać: 


.[1] . _ (I] [I] [1] xl [I]. [l] [l]. [I] XI .[1] . 
.f 2k ('\1) - Rlk 
(k) (XI) + R 2k --;; F 2 (k) ('\1) + R'k F 2 (h) ('\1 ) + R-tk --;; Fl(1.) ('\1 ), 
I I 


i .[
] ( ) - R [
] F '[
] ( ) ! ')[
] x
 ,,[
] ( . ) R [
] ! .[
] ( . ) R [
] x
 ! .[
J ( . ) 

k x
 - lk 1(.') X
 + \
k 
 r 2 (k) '\2 + Jk 
(k) .\
 + H -;;: i(A) '\2 . 
- - 


.[1] _ (I] [I] . [I] xI [l] . [l] [i] . [1] xI ,[i] . 
ilk (.Id - RSk 'P1(k) ('\1)+ R 6h 
'P 2(k) (Xl)+ Ru 'P 
(k) ('\1)+ R iU 
 PI(I.) ('\1)' 


.[2] _ [2] [2]. [2] x
 ,(2]. [2] (2] . . [2] .12 [2] . 
.fIk (.12) - RSk 'P I( k) (X2 ) + R hA (/2 fi 2( h) ('\2 ) + Rn 'P 2( h) ('\2) T RSh (/2 'P l( k) (X2 ). 
gdzie: 


ch ( 0[2]X ) sh ( 0[2]x ) 
[I] _ A I [i]. _ A I 

(k) (XI) - ( .(2] ) . F 2 (k) (.\d - ( .[2] ) ' 
exp Ok (/1 exp ()k (/1 


Ch ( o[i]x
 I sh ( o(l]x
 ) 
[2] . _ k -) [2] . _ A- 

(h) ('\2) - ( .[1] ) . F 2 (k) ('\2) - ( .[1] ) . 
exp Ok (/2 exp () A (/2 


ch( )2]x I sh ( )2].\ ) 
'P[I] \' = \." I) 'P[l] r = ' h I 
I( k) (. 1 ) ( [2] ) . 2( k) (. l ) ( (2] ) 
eXPlYk (/1 exp lA (/1 


chr)i].\
 I sh ( Ji]x
 ! 
[2] . _ '\ A -) [2] . _ ,,1,- 
'Pl(h) (X2)- r . [l] . 'P 2 (h) ('\2)- ([l] I' 
exp lk (/2 I expl/k (/2 J 
\ ) \. 


Określamy wzór na ugięcie płyty [5]: 


,_ S K 
 [I] .[1]. (2] .(2] . . l -'- ' 
}
 - ') I I Ruklllllh) ('\1..12)+ Rlih 11111 A) ('\1"\2) I \1,. (16) 
11=1 1,=1 - - 


Funkcje 1V1
:l) noszą nazwę runkcj i kształtu ugięcia.
>>>
Metoda rozwiązywania płyty ciągłej ... 


Wyznaczamy wzory na przemieszczen ia poziome: 


_ X A' [ [i] 1[1] .. P] ,P] . . ] i"\v. 
lii-II RUALUIA) ('\I"\2)+R UA LU(A) ('\1"\2) + i;x . 
u=IA=1 I 


_ X A' [ [i] [l] .. [2] .[2] . . ] i\v* 
lI2 - I I RukIUIA) ('\I"\2)+R uA fUlA) ('\1"\2) +
. 
u=l l, =1 cX2 


momenty zginające: 


X A' [ ] [ 
2 
2 ] 
_  [I] .[i] .. [2] .[2]. 1 W. C w. 
Hll-
I R Uk '\Ulk)('\I"'2)+R uA '\uIA)("I,X2) -D -:::-:2+v
, 
u-Ik=l ul IX2 


215 


( 17) 


( IS) 


( 19) 


_ 
 ,I [I] ,[i] .. [2] .[2] ] [ 1-:'-11'* '('-w,, ] 
H22-

lRuA}uIAj("I"2)+Ruk}liIA)(Xl'X2) -D 
H 
2 ' (20) 
u
l kcl (X2 1 xI 


momenty skręcające: 


_ X A 
 [1] [I] .. [2] [2] . . ] 1
2w. 
,H 12 - I ' l R I Z I , ) (., I ..l2 ) + R I Z , ) (., I . .\ 2) - D ( I - v ) 
 ' 
L... Uh U h Uh lil hl\' '\' 
u=lk=1 "(.2 


sily tnące: 


_ x A' I [I] [I] .. [2].[2].. ] (', [ 21211'* c211'* J 
VI - , 'I R ,T I I ) (.\ I ..\ 2 ) + R I r I I ) (., l ' .\ 2) - D ---::- ---:;- + ---:;- . 
L... L... Uh U h lih U h C\' 
 _ _ _ 
u=IA=IL' 1 C\'I (X2 


X A I [ ] [ ] [ ] [ ] l 
 [ 
2 
2 J 
_ I . l " 2. 2 .. ( , C 1\'. I' H'. 
Qo - " R I G I I ) ( .\ I ..'o) + R I. Ci t l. j ( .l I ..\ o) - D - -----,- + -----,- . 
-- L... L... L Uh U h - Uh li' - J ?\'o -; _ _ _ 
u=1 k
1 .. - 1 Xl 1 x2 


oraz lIogólnioną siłę tnacą według Kirchhoffa: 


X A - - r ,o _o J 
. _  '): [i] .[1] .. [2] .[2] . . _ 
 (-\1'* -'- -, _ , c-w. 
1 1 -', IR,A j l j (.ll..h)+R I. A j l. j (.\]..,O) j D o (- 1) o . 
L _ I Uh II 1\ - Uh li 1\ - -. 
 I -:'._ -. _ 
u=1 l, =1- (.ll \ (.\\ (X2 / 


(21 ) 


(22) 


(23 ) 


, " ') ') \ 
. _ f 
I [I] [I] .. [2] [2] . . j _ 
 I ' 1:-\1'* , -'_ " ('-w" I -, 
12-L....L...IR,dLulkl(.\[,.\2)+RukLUlk)(.,I,.,2) D
., .,.2 -r(_ 1) .,.2' (_4) 
u=lk=l- (.l2 \ ('\1 C\2 J 


3. ROZWL-\L\NIE KRi\ TOWNICY 


Ab) okrc,lić przemieszczenie do\\olnych punktów dolnego pasma kratownicy pod 
nieznanym obciążeniem T 2  (xI) (rys. 2) korzystamy z funkcji wpływu sił normalnych
>>>
216 


J. Nitka. D. Buchaniec. M. Delyavskyy 


w prętach kratownicy [6]. Funkcje te uzyskujemy rozwiązując kratownice od obciąże- 
nia jednostkowego P = I przyłożonego do pa
a dolnego na odległości x od lewej pod- 
pory. Przykładowo podajemy funkcje wpływu sił normalnych dla niektórych prętów 
kratownicy: 


/V.l-1 


- I ") ") 
p-yh-+/i ( tli 
I+
I: 
:2 h \ /1) 


--; P /2 ( X, '\ 
\i.H =--- 1+-1. 
2 h \ /,) 


--; p 
 h 2 + (t I - /2)2 l x I J --; P /) l x I J 
!\ 1-3 =-- 1+- , .\ 1-2 =-- 1+- : 
:2 h \ /1. 2 II /) 


.\:2-3=0. 


(25) 


Obciążenia podajemy w postaci szeregu trygonometrycznego z nieznanymi współ- 
czynnikami: 


!\ !\ 
T:i'cxl) = I RI COS[6P] (Xl - ad] + IS[ sin [óP] (xl - ad l (26) 
1=1 1=1 


Współcz)nniki szeregu określamy z warunków zgodności ugięć plyty i kratownicy 
* 
na ich wspólnej krawędzi. Siły w kratownicy od obciążenia 1'2 (x)) otrzymujemy z na- 
stępującej zależności: 


\' I[ 
Nip = I Fil (Xl) 1'2' (xI )([-'1 . 
i=IO 


(27) 


Ugięcie dolnego pasa kratownicy na odległości 
 od lewej krawędzi określall1Y za 
pomocą wzoru Maxwella-Mohra: 



pC;) = 


\ \! - ) V 
L . V l C; . 'II' 
1=1 E-J 


(28) 


gdzie VI (
) siła w i-tym pręcie wywołana obciążeniem jednostkowym przyłożon) m 
\v punkcie Ę dolnego pasma kratownicy. Przyrównując ugięcia krawędzi pl) ty 
w( xl =.;. a2 ) do ugięcia kratownicy w tych samych punł...rach (28). utrzymujemy uklad 
równań liniowych algebraicznych na nieznane \vspółczynniki Rj. .";i. laU\vażm). że 


* 
pod obciążeniem 1'2' (xl) w dolnym paśmie kratownicy oprÓcz ,ił normalnych powstaną 
momenty zginające, które też będą miały wpływ na przemieszczenia poziome. W danej 
pracy ten wpływ nie uwzględniamy. co na ogól nie zmienia istoty opracowanej metody.
>>>
IVletoda rozwiązywania płyty ciąglej '" 


217 


4, PRZYKŁAD OBLICZENIOWY 


Obliczenia wykonano dla płyty jednoprzęslowej pod obciążeniem stałym q 
= 10 kN'm 2 . Przyjęto dane dla plyty: 
Ep = 27000 MPa -moduł Younga, v 
 0.3 - współczynnik Poissona, 
h = 0.3 111 grubość płyty. al = 10m. a2 = 5 m - wymiary płyty. 
dla kratownicy: 
E, = 205000 MPa. A = 20 cm 2 - pole przekroju poprzecznego prętów. 
Do rozwiązania wybrano dziesięć punktów kolokacji. W tych punktach ugięcia 
pł:ty i kratownicy dokładnie pokrywają się. W tabeli I podane są wartości ugięć płyty 
i kratownicy w punktach pośrednich. 


lah.:la I. 'v\"artos.:i ugi.;ć plyty i kratt)\\ni.:y II I\ybrany.:h punkta.:h na kr,mędzi IlspÓlpra.:y 
ply ty / "ratml n iq 


'v\"sDÓlrz.;dn.: (0:5 ) ( U) (2:5) (3:5) (4:5) (5:5 ) (6:5) 
Krattmni.:a [.:m) 1.90615 1.71553 I .52
92 I .33
30 1.1
369 0.95307 0.762
9 
Plyta I .:ml I. 906 I 5 1.73038 1.51020 1.33930 1.1411 I 0.95460 0,76150 
R,ijniea 1"01 O.UO 1));65 0.965 O.3n 0.226 0.16 0.126 


W'Dółri'.;dn.: (7:5 ) (8:5 ) (9:5) 
KralO\Vn iea I eml 0.57 I 8
 0.38123 0,19061 
Piltaleml O.572
4 0,38088 O.19m6 
R,imiea 1"01 0.105 0,0)1 (L()79 


Maksymalna \\zględna rÓżnica rezultatów (spełnienia warunku współpracy plyty 
z kratownica) wyniosla w przybliżeniu 0.965 0 '0. Ugięcie w środku płyty wynosi: 
w (0;0) = 2.03737 [cm]. Tabela 2 ilustruje wpływ kratownicy na ugięcie płyty w prze- 
kroju środkowym prostopadlym do płaszczyzny kratownicy. Wiersz górny dotyczy 
płyty \\zmocnionej kr,lIownicą. \\ iersz dolny - płyty swobodnej. 


labela 2. Por()\\ nani.: ugi.;cia ply Iy (II prn:kroju srodkoll y m prostopadlym do plasz..:/yzny 
"ratolI nicI ) i "raIolI nicy 


WspÓlr/edn.: punktu (0:5) (O:
.5) (OA) ((u..:' I (0:3) (0:2.5) (0:2) 
I'ly ta - 1.906 1.889 1.877 1.1\82 I. 903 1.932 1,964 
19ieeia Icml ",",llml nica 
I'ly ta 27.315 27.:'68 28.161 2I\A')9 28,786 29.02
 29,215 


'v\sp,iłr/.;dne PUI1"tu (O: I.S) 10:1 ) d):O.5 ) 10:0) 
PI) ta - I. )() 3 2.017 2. OJ 2 .:!.o37 
( gieeia I eml "ratolI 11 iea 
pi) la 29.362 2')AM 29.S27 2').S48 


Widać. że kratownica orientacyjnie piętnaście razy zmniejsza ugięcie plyty. W taki 
sposób \V danej prac) ()prac()wano nową anality czno-numery czną metodę rozwiązywa-
>>>
218 


J, Nitka, D. Buchaniec. M. Delyavskyy 


nia układów kratowo-płytowych. która pozwala z dużą dokładnością spelnić warunki 
brzegowe dla różnych sposobów połączenia płyty z kratownicą. 


LITERA TURA 


[1] OHHWKO )1., HiTKa 51.. 6eperoBa H.. )J,en5IBCbKfli'I M.. 2003. MeTo.1 p03paxYHKY 
HanpY;'KeHO-.1ecpopMoBaHoro CTaHY MOCTOBO"l KOHCTPY Kui"!. 6-lI !'vi i;'KHapo.1Hl1l1 
cHMn03iYM yKpa"lHcbKlJX iH/KeHepiB -- 
lexaHiKiB y JlbBoBi. Te3f1 .1onoBi.1eil. JIbBiB 
21-23 TpaBH5ł. c. 25. 
[2] THMoweHKo c.n.. BOllHoBcKH-KpHrep c.. 1966. flnacnfHbl H OOOJ10'IKII. HaYKa 
MocKBa. 
[3] Kączkowski Z.. 2000. Płyty - Obliczenia statyczne. Arkady Warszawa. 
[4] Delyavskyy M.. Ran R.. Grinczenko L.. Beregova N.. 2002. Poprzeczne zginanie 
płyty prostokątnej utwierdzonej na wszystkich krawędziach. Zesz. Nauk. A TR 
Bydgoszcz, Mechanika 53. 65-71. 
[5] Podhorecki A" Delyavskyy M.. Ran R.. 2003. O pewnej metodzie rozwiązywania 
układów płaskich złożonych z elementów płytowych. [W:] Budownictwo ogólne. 
Zagadnienia konstrukcyjne. materiałowe i cieplno-w i Igotnościowe w budownic- 
twie. Wyd. Uczeln, A TR Bydgoszcz, 123-129. 
[6] Praca zbiorowa pod red. A. Budzianowskiego. 1977. Zbiór zadali z mechaniki bu- 
dowli. Cz. V. Linie wplywowe płaskich ustrojów pn;towych. Skrypty uczelniane 
680, Politechnika Śląska. Gliwice. 


METHOD OF CALCULATION OF CONTINLiOS 
PLA TE FORCED WITH TRUSSES 


Summary 


A continuous plate connected with trusses at longitudinal edges is considered. For 
calculating of the construction it is divided in plate and two lrusses. Their joint action is 
modelled by means ol' unknown load. Unknown load is detcrmined rrom agreement 
conditions ol' displacements 1'01' plate and truss. 
Keywords: plate. Fourier's series. isotropy. truss
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA l JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


ANALIZA NUMERYCZNA NAPRĘŻEŃ W ENDOPROTEZIE 
STA WU BIODROWEGO Z UWZGLĘDNIENIEM WPŁYWU 
GEOMETRII NA WYTĘŻENIE 


Bartosz Nowak, Jerzy Najar 
Instytut Mechaniki Środowiska i Infonnatyki Stosowanej 
Wydział Matematyki Techniki i Nauk Przyrodniczych 
Akademia Bydgoska im. Kazimierza Wielkiego 
ul. Chodkiewicza 30, 85-064 Bydgoszcz 


W pracy przedstawiono analizę stanu naprężenia w części bliższej kości 
udowej po całkowitej alloplastyce stawu biodrowego. ze szczególnym uwzględ- 
nieniem warstwy cementu kostnego. W obliczeniach MES wykorzystano płaski 
i przestrzenny model połączenia protezy. tulei cementowej i kości oraz środowi- 
sko obliczeniowe ABAQUS CAE w wersji 6.4. 
Słowa kluczowe: endoproteza stawu biodrowego, cement kostny. MES 


l. WSTĘP 


Alloplastyka stawu biodrowego stała się w ciągu minionych lat szeroko stosowaną 
metodą leczenia schorzeń tego złącza. Polega ona na częściowej lub całkowitej wymia- 
nie zniszczonych części stawu na sztuczne. Dzięki rozwojowi technologii wytwarzania 
protez spełniają one ze znaczną niezawodnością funkcje zastępcze stawu biodrowego do 
co najmniej 10 lat - rysunek I [5]. 


P_ent nol 'ev'_ 
100 ,.... "'" '--'---r 
I'" I 
M1 . ... \\ \ 
 . --

 i 
1 
\ . ,- 
90
-- """118""""""\ ". 
I \ \ I 
I O.....AsepIiC IoSiOOInq" '\.. ' \ 
ł IDy. a2"Y. (16-161. n 
 
 "'- 
85ł---' -r- , J..,..__ ______ 
O 2 4 6 8 ro 
Yean posIoP«1ithlll'/ 


Rys. I. Prawdopodobieństwo poprawnej pracy endoprotezy stawu biodrowego w zależności od 
typu zastosowanej protezy [5]
>>>
220 


B. Nowak, J. Najar 


Powodem stosowania endoprotez są rozmaite nieuleczalne koksartrozy lub też 
urazy mechaniczne powodujące złamania części bliższych kości udowej oraz kości 
miedniczej. Wynikają z nich zmiany struktury głowy kości udowej oraz części panew- 
kowej, doprowadzając do ograniczenia ruchów. Statystyki pokazują, że najbardziej 
narażoną grupę stanowią osoby po 60 roku życia. u których dodatkowo stwierdza się 
osłabienie struktury kostnej w wyniku osteoporozy. W zależności od wieku pacjenta, 
aktywności życiowej i typu dysfunkcji stosuje się różnego rodzaju protezy. 


2. PROTEZY STAWU BIODROWEGO 


Proteza stawu biodrowego składa się z trzpienia, głowy mocowanej w części bliż- 
szej kości udowej oraz panewki utwierdzanej w kości mierniczej (rys. 2). 


. , 
.
 


" 


,,;''' \ 

'}' :". 
: t _:.J:: 
t::".-"'!:. 
,.
.} t
: $ 
:- j!. 
t  ć 

' 



. 
,:;rt 

 _""'. 
t-
 

 
,.\$": 
. " 


"'; 


r , 


a) 


b) 


Rys. 2. Endoproteza stawu biodrowego i jej umiejscowienie w organizmie człowieka [6] 


JIii 


'

-':;. 
.:;,;" 
,. ,
f 
ltf: 
y;

 :


 

r' ." 




 

 


\.: 
\ 
\- 
.
 
'{ 
\ 
;l1 l 


Bona 


R)s. 3. Złącze endoprotezy z kością [6]: a) cementowe. b) bezcementowe 


tr 


-W" ,'
 

;:; 

nt 
r 
-łł:" 
/ i
 4!5 


 
7ł .
. Bon e .', 
/t? s. 


-
 
-'.
 
--.. -.&".Il1o 


:0"$-:: 
;,:. 


., .
 
?
 


-l" 
rf: 
,-
>>>
Analiza numeryczna naprężeń w endoprotezie stawu biodrowego ... 22] 


Poszczególne typy protez różnią się, poza kształtem i wielkością, również sposo- 
bem mocowania części składowych do kości (złącze cementowe, bezcementowe na 
wcisk, bezcementowe zrostowe (rys. 3)), stosuje się też rózne materiały. Na przykład, 
trzpienie protez wykonywane są ze stali nierdzewnych, stopów chromu, kobaltu, tytanu 
i molibdenu, zaś głowy protez mogą być wykonane ze stali nierdzewnych lub spieków 
tlenku glinu. Panewki natomiast wykonuje się z najczęściej z teflonu, rzadziej ze spie- 
ków tlenku glinu. 


3. SIŁ Y DZIAŁAJĄCE NA STAW BIODROWY 


Staw biodrowy przenosi obciążenia statyczne i dynamiczne, wynikające z masy 
ciała i sił mięśni działających na staw. Punkty przyłożenia tych sił, ich wartości 
i kierunki są zmienne i zależą od sposobu podparcia, charakteru i fazy ruchu. Wartość 
obciążeń występujących w stawach zmienia się w zależności od fazy chodu. 
w związku ze zmianą środka ciężkości przemieszczającego się w stronę przeciwną do 
ruchu kończyny obciążanej [4]. Siły w stawie biodrowym zależą więc od fazy styku 
stopy z podłożem. Rozpatruje się dwie sytuacje obciążenia w stawie biodrowym [3]: 
fazę obciążenia obunożnego oraz jednonożnego. W fazie obunożnej staw biodrowy 
przenosi do ok, 61 % ciężaru ciała, a przy podparciu jednonożnym staw obciążony prze- 
nosi statycznie do 8 I % tego ciężaru. W przypadku obciążenia dynamicznego siły te 
mogą wzrosnąć ponad dwójnasób. 


4. OBIEKT BADAŃ 


Obiektem badań jest zespół złożony z trzpienia z głową (rys. 4), tulei cementowej 
i kości udowej, w której trzpień jest zamocowany. Parametry geometryczne 
i materiałowe wyznaczone są na podstawie analizy grupy protez udostępnionych przez 
Klinikę Chirurgii Urazowej i Ortopedii X Wojskowego Szpitala Klinicznego w Byd- 
goszczy . 


. R U:
114c 
....... . 


...........+..-- 


r.' .,.,,_ 
łlf:';i


TI



 
.${.; "' 

1.,-.' 
.-..
 


........ 


..-"::.. '- 


.. 
. 
 1___ 
. 


:
, 
__ O:..: 


.._
 .0.. 


 


..
 om_ 


Rys. 4. Widok trzpienia i glO\vy protezy oraz wymiary charakterystyczne
>>>
222 


B. Nowak, J. Najar 


Wymiary charakterystyczne to: średnica głowy 28 mm .i długość trzpienia 
160 mm, zadane są również kąty pomiędzy osią trzpienia i osią głowy. Materiał trzpienia 
to stop tytanu z domieszkami przede wszystkim niklu (ok. 25%). Stałe materiałowe stopu 
wyznaczone metodą ultradźwiękową wynoszą: moduł Younga E = 107 GPa oraz współ- 
czynnik Poissona v = 0,3; twardość stopu wynosi 35 HRC. Na podstawie analizy literatu- 
rowej [1], ustalono geometrię i właściwości warstwy cementu: jest to polimetakrylan 
metylu o module Younga E = 2 GPa i współczynniku Poissona v = 0,36. Model mecha- 
niczny kości przyjęto z dużym uproszczeniem jako materiał sprężysty izotropowy, a stałe 
materiałowe ustalono jako średnie z podanych w literaturze [I] wartości dla poszczegól-. 
nych kierunków: moduł Younga E = 13 GPa oraz współczynnik Poissona v = 0,38. 


5. MODELE GEOMETRYCZNE ZASTOSOWANE 
W OBLICZENIACH 


W pracy przedstawiono trzy modele połączeń kości, cementu i trzpienia endopro- 
tezy utworzone w preprocesorze graficznym programu ABAQUS CAE. Wykonano 
studium parametryczne modyfikacji geometrii połączeń, polegające na badaniu wpływu 
przesunięcia osi trzpienia względem osi tulei cementowej w otworze kostnym o obraną 
wartość. Celem tego studium było zbadanie błędu mimośrodowości. mocowania trzpie- 
nia na wartości naprężeń w cemencie i kości pod obciążeniem. 
Pierwszy z modeli to płaski model 20. Odtwarza on przekrój połączenia wymie- 
nionych elementów i ma charakter uproszczony. Zbudowany jest z następujących części 
składowych: trzpienia protezy z głową, warstwy cementu i materiału kostnego (rys. 5). 
Dla przedstawionego niżej modelu zastosowano dwa warianty modyfikacji geometrii, 
polegające na przesunięciu osi trzpienia o 1,5 mm i -1,5 mm względem osi cementu. 
W obliczeniach przyjmowano płaski stan naprężenia. 


/---_....''-... /"\ 
, \ // \ 
{ -
, ..-\ 
\" .. 
 ", 1'...----.--KOSC 
................ " \ 
..
, r".\."--" Cemert 
'\
\ \IJ /,,,,- 
\ '. \ r ! 
\\\ /. / ' 
i II ł 
! I I I I 
\ ! I. I i 
\ ! I I j 
i\ J ! I 
\ . \ l ! 
\ --/ 
---o 


Rys. 5. Model 2D
>>>
Analiza numeryczna naprężeń w endoprotezie stawu biodrowego 0.0 223 


Drugim z modeli jest struktura przestrzenna, stanowiąca duże uproszczenie 
w stosunku do obiektu rzeczywistego. Zawiera ona takie same elementy jak w płaskim 
modelu (trzpień z głową, cement kostny, kość). Na rysunku 6 przedstawiono widok 
modelu 3D oraz poszczególne elementy złożenia. 


[,m... 
ił 


.."""",. 


"'1
 



. 
£." 
,f.; 

:. 
,%.'. 
#.:' 


Rys. 6. Uproszczony model przestrzenny 


'\t:\ 


( 
 
J;. 
ł:.. 
.:1",; 
J 
-.i 



 
-
 J 
-$j 



; 
jp 


i 
l? 
_:1- 


Trzeci model zawiera dokładne odwzorowanie geometrii protezy i cementu kost- 
nego, natomiast stosowane jest przybliżenie dla kości przez wycięcie odpowiedniego 
obszaru z. kości udowej (rys. 7). 


. 
;

.;
 


r57":-:-
lt
_ 
{' - , 

_"'$' - I 
.::', :
=?' 
j.r-' ,,,,:.:. 
 
 - 
i:

 
.,

' 
_
., .t:-:i'- 
I ..f 
f ( ćl 
; t 

 ' 
 
=r 
f/ 
J :
 
'
:'_:'- to! 

 


X! 

J. 


Rys. 7. Przestrzenny model rzeczywisty 


"1 
ł 
f 
"" 
ł 


l 
.,. (" 
fI 
,;'1 li; 
LI fi., 
[:\ .)
 


.,. 
& 
uE: 

 

 

-;" 
£( 
::L 
.$::-, 


ł 


;i 

:: 
iJ 


J 


W celu sprawdzenia wpływu błędu mimośrodowości zamocowania trzpienia na 
wartość naprężeń dokonano modytikacji opisanych w tabeli l.
>>>
224 


B. Nowak, J. Najar 


Tabela l. Warianty modyfikacji geometrii 


Model 


20 


3D uproszczony 


3D rzecz'\wist\" 


6. MODEL OBCIĄŻENIA I WARUNKÓW BRZEGOWYCH 


W modelu obciążenia protezy przyjęto siłę działającą na protezę F = 810 N, co od- 
powiada obciążeniu statycznemu dla podparcia jednonożnego dla masy ciała równej 
100 kg (rys. 8). Tej wielkości siłę wypadkową wytwarza ciśnienie cr n = 1,16 MPa przy- 
łożone do półkuli o podanym wyżej promieniu 14 mm. 


Sile. F pochodz4,
e. od muy c
h. 


Naprtton.. doSahj,,". na głow, protezy 


Ir- 


11111 

 
I 


Rys. 8. Analiza sił działających na głowę protezy 


Dla modelu 20 jest to ciśnienie równomierne rozłożone na krawędzi głowy prote- 
zy. Przy ustalaniu warunków brzegowych odebrano wszystkie kinematyczne stopnie 
swobody krawędziom zewnętrznym wycinka kości udowej, co odpowiada sztywnemu 
połączeniu z dalszą częścią tej kości znajdującej się pod działaniem grup mięśni przy- 
czepionych do części bliższej kości udowej (rys. 9). W strukturze 3D siła reprezento- 
wana jest przez rozkład ciśnienia występującego na całej powierzchni głowy. Przy 
ustalaniu warunków brzegowych odebrano wszystkie stopnie swobody zewnętrznym 
powierzchniom obszaru wyciętego z kości udowej.
>>>
Analiza numeryczna naprężeń w endoprotezie stawu biodrowego... 225 


\. 
 
'\) 
uF:-'\ 
';
i;t 
;i}\ 
ti 


, 
, 
'1 
\ i. no 
y1 

 
'" I 


"7.
 

.-r;. 
:"...... 'I: 


.
 


-. 



J 


{"'j 

. 


.. 


.. 


.. i
 

n' 
_:
/ 


.. 


-'
 .. 
. . . 


... 


Rys. 9. Warunki zamocowania 


7. SIATKI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH 


Dla wszystkich elementów składowych modelu 20 zastosowano siatki składające 
się z elementów trójkątnych z przybliżeniem liniowym. Liczba węzłów i elementów 
zależy od wyboru mimośrodowej modyfikacji geometrii. por. punkt 5. Przy braku prze- 
mieszczenia mimośrodowego siatka zawierała 7823 węzły i 15 163 elementy. W przy- 
padku zastosowania przesunięcia mimośrodowego siatki składały się z 7820 węzłów 
i 15156 elementów oraz odpowiednio 3 1078 węzłów i 61190 elementów. Dla uprosz- 
czonego modelu trójwymiarowego przy braku przemieszczenia mimośrodowego siatka 
składała się z 2849 węzłów i 6860 elementów czworo- i pięciościennych (klinowych). 
Przy modyfikacji polegającej na zmianie mimośrodowości liczba węzłów, w każdym 
przypadku. wynosiła 6193 oraz 17559 elementów typu czworo- i sześciościennych. 
Obliczenia wykonano przy narastających obciążeniach w kolejnych sześciu inkremen- 
tach, aż do osiągnięcia obciążenia maksymalnego. Studium parametryczne zawierało 
również wariacje parametrów materiałowych cementu i kości. ze względu na niejedno- 
znaczne dane literaturowe. Wyniki te jednak nie są relacjonowane w niniejszej pracy. 


8. WYNIKI BADAŃ 


Dla rozpatrywanego złożenia elementów struktury endoprotezy (kość, tuleja ce- 
mentowa, trzpień z głowa) obliczono naprężenia statyczne przy obciążeniu powierzchni 
głowy ciśnieniem 1,\6 MPa i podanych w punkcie 5 warunkach zamocowania. 
W analizowanych strukturach występują złożone stany naprężeń, których analizę 
z punktu widzenia wytężenia materiałów najwygodniej rozpatrywać badając naprężenia 
główne. Szczególną uwagę zwrócono na stan wytężenia w tulei cementowej jako naj- 
bardziej podatnej na uszkodzenia oraz najbardziej wrażliwej na zmiany mimośrodowo- 
ści montażu. Naprężenia główne dla tej warstwy przedstawione są na kolejnych rysun- 
kach dla rozpatrywanych modeli geometrycznych.
>>>
226 


B. Nowak, J. Najar 


S, "sx. :rn-PJ.an
 Principa.l 
(Ave:. Cri-.:..: 1.00"') 
+Z.Z71.e+OS 
+2 _ '140e+OS 
+2 .O'1.0e+OS 
+'1.87ge+OS 
+1. _ 74ge+OS 
:ł: i

::g
 

- 
+1..226e+05 
+1.096e+OS 
+9. 650e:+04 
+B.344e+04 
+7.036e+04 
+5.732e+04 
+4_ 42 6ł!:+04 
+3. '1Z0e+04 
+1. 81.4e+04 
+5.083e+03 
-7. 977e+03 
-2.104e+04 
-3. 41.0e+04 
-4.71.6e+04 
-6.02Ze+04 
-7.3Z8e+04 
-B. 634e+04 


.
-i 


'" 



.. !'lin. In-F.lane Princ1pal 
(.A.:ve. Cr.1t.: 1.00') 
-1. 644e+04 
:
: 

j::t8
 
:ł:

i::::8
 
-2. 836e+OS 
:
: 


::g
 .
 
:=:


:;t8
 
-S.207e+OS 
:i: t

::g
 
-6.1S30e+O.5 
-7.1.04e+05 
-7. 57Be+OS 
-8.0S3e:+OS 
-8. 527e+OS 
=1: 
ę
:t8
 
-g. 950e+05 
-1..042.e+06 
-1..090e+OIS 
-1..1.37e+06 
-1..1BSe+06 


j 


ł 


Rys. 10. Naprężenia główne maksymalne i minimalne bez modyfikacji geometrii 


S, Jllax. In-PJ.ane Pr:1nc1pal 
(Ave. Cr:Lt:.: 1.00...) 
+"1. 771e+05 
+'i:.520e+OS 
+"i.268e+OS 
+4.01.6e+OS 
+3.764e+OS 
+3.S1.2e+05 
+.3. Z 61e+05 
+3.00ge+OS 
+2.757e+05 
+2.50Se+05 
+2.253e+05 
+2.001e+OS 
+1. 750e+OS 
+1. aJ98e+05 
+1..2-46e+OS 
+9.941.e+0-4 
+7. 423e+O"i 
+4.90"le+O"l 
+2.386e+04 
-1.. 321e+03 
-2. 650e+O'i 
-5. 1. 6ge+O"i 
-7. 687e+04 
-1..0Z1e+OS 
-1..Z72e+OS 



 
." "\... 
''\k. 
1ii.. 
, 


i 


S. K1n. In-PIane Pr1nctpal 
(Ave. Crtt.: '100". 
-6. B4Pe+04 
:ł: ,

::g
 
-2.2P4e-+05 
:
:m:;:8
 
-3.903e+05 
-4. 43S1e+OS 
--ł.Sl76e+OS 
-S.S'lZe+OS 
.
 -6.0aJBR+OS 
:
: 


:tg
 
-7. 657e+05 
:R: m:;:8
 
-9.2: 66e+OS 
-9. B0311!+05 
-'l.034e+06 
-1.0eell!+06 
-1..141e+06 
-1.195e+06 
-1..i:48e+06 
1.302:e+06 
-1.356e+06 


..... 
'
 


, 
" 


""=.:: 
 


I 


fi 


Rys. II, Naprężenia główne maksymalne i minimalne dla przesunięcia trzpienia o + I 5 mm
>>>
Analiza numeryczna naprężeń w endoprotezie stawu biodrowego ... 


S, Rax. Zn-P
_n. Pr1nc1p.
 
(A
. Cr1C.: '1.00'" 
:
:

=J::8
 
+2.290.+05 
:ł:

S::g
 
:ł:i
B:i8j 
+1.192.+05 
:::8:


::::8
 
+"7.Z10e+04 
+5. 640e+04 
+4.0"7'1.+04 
:::
: 


::g
 
h =1= 

j:

! 
=e:


::::o: 
-B.4B3e+04 
:ł:
'i!!::8ł 


'" 
". 


227 


II.. K1.n. In-PJ.ane Pr:1nc:Lp.
 
CAV1II_ Cr1t.: 1.00"'] 
-S.031.e+Q4 
=ł: 
8
::::E
 
:t 
g!aj 
-4.1.07e+OS 
=
: j8
::::B
 
-5.90Sle+05 
:
: 

E:::::g
 
-7.7'11.+05 
-e_3"'11.
5 
:S:
łj::8
 
-'1..0'1'1e+06 
-'1..071e+0Il5 
-'1.131.e+06 
-1..192:e+06 
-1..2.52e+015 
-'1_ 3'12e+0I5 
-'1. 372e+o6 
1.13Ze+06 
1.49Ze+06 



 
J 

 
,.,g 
! . 


Rys. 12. Naprężenia główne maksymalne i minimalne dla przesunięcia trzpienia o -1.5 mm 


/

 
 .\. 

 :::.:.ł.:
Y' 
'
''''''''
 . 
....._-


-.:.: :.: 
m
:ii: 
.__ .. 


'
 
 "":., 
0 .,. .."'''''''''' 
_. .Y no 
=
.. .... 
--

. .-:-. 
-:.,fI, ": ":... 
':
!

' 


(", ...;.. 


Rys. 13. Naprężenia główne maksymalne. średnie i minimalne bez modyfikacji geometrii 



' 


!. lu. 'nIlCLII_'" 
1 1J.
.l.

l l 
'7LOO\'1 
.1.]4 e+CI"I 
...1.2!O....rJ"I 
-1.::15e-+07 
, +1.1'I
 
, +l.,Jeł-łrł 
;--0.+1.31 e..o-r 
I 
r' i 
ł'o. I!I 
...i. ł 
+'i. Ei 
-ł. , 
-ł. , 
... Ii 
...1. Ci 
+1. 15 
.,. 
.t. 
...). "- 
-...:Ia" 
-".6-1\1 
-:.01.0 


S. 11d. Pr1DC1
1 
U'.
. ':r11:.: :00'11' 
.1. 


i
i
. 


., 
-ł. , 
-I. -I (I..t15 
-4.0 0e+U15 
. _).'719..015 
:):

::g2 
:ł: 
fi::8: 
-1.e66..v6 
...1.łP5e-06 
:\:;:i

 
:i:1



ł 
- ..:ele+u5 
-" (1519..015 
-.. ł6S1e+06 
-1.e40..o6 
- ;1'I-'J6 


_.h . &. 
--T..y. , 
=
:::::- ,... 


c"' 


u "'
 
".'-=-
JJ 
.:- 
.. 
 
= .:"=
 I 


Rys. 14. Naprężenia gló\\ne maksymalne. średnie i minimalne dla przesunięcia trzpienia 
o + 1.5 mm
>>>
228 


B. Nowak. J. Najar 


- . 



i
.cl"
i


8
:J 
!iJłl::8 1 
+Z.!H5
 
+:.5ii..,.o, 
.;:.202e+O' 
+'1.I!IJOe+O' 
+1. "
ge+O' 
+'l_OS"e+{J' 
. +7_ 1S:l.e+05 
+3.'I3'k+05 
-;:.B3Ze+Q4 
-1.000e+0S 
:
:n
i 
-1.515-+06 

U!mii 
-
: U;::81 
i_8.1""06 


.;:i..., 


...:" 
J. :_
/_ 


t
 '''lL 


'::
:. 
, j$., 



:. 


Rys. 15. Naprężenia główne maksymalne. średnie i minimalne dla przesunięcia trzpienia 
o -1,5 mm 


9. WNIOSKI 


Na podstawie przeprowadzonej analizy naprężeń głównych stwierdzono, że za- 
równo w modelu 2D, jak i 3D wartości dopuszczalne naprężeń dla cementu kostnego, 
które wynoszą wg [7] ar = 50 MPa przy rozciąganiu i ar = 89 MPa przy ściskaniu, nie 
zostały nawet w przybliżeniu osiągnięte w żadnym ze znanych kryteriów wytrzymało- 
ściowych (Tresci, Hubera-Misesa, Galileusza). W strukturze geometrycznej 2D, bez 
modyfikacji mimośrodowej, najbardziej wytężone obszary występują w warstwie ce- 
mentu, po stronie przywodzenia w części bliższej kości udowej. Stwierdzono tam mak- 
symalne naprężenia rozciągające o wartości 0.23 MPa i najwyższe naprężenia ściskają- 
ce wynoszące 1,18 MPa. aczkolwiek z pewnym przesunięciem w przestrzeni. Analizu- 
jąc wpływ zmian mimośrodowości dla tej struktury stwierdzono, że w obu przypadkach, 
polegających na przesunięciu warstwy cementu względem osi trzpienia,- występuje 
zwiększenie maksymalnych naprężeń rozciągających i ściskających. W modyfikacji 
polegającej na zwiększeniu warstwy cementu po stronie przywodzenia stwierdza się 
wzrost maksymalnych naprężeń rozciągających o 53% oraz zwiększenie maksymalnych 
naprężeń ściskających o 14%. W przypadku polegającym na zmniejszeniu warstwy 
cementu po stronie przywodzenia (przesunięcie osi trzpienia o -1.5 mm). oprócz obsza- 
ru o zwiększonych naprężeniach po stronie przywodzenia, występuje obszar maksymal- 
nych naprężeń rozciągających po stronie odwodzenia. Stwierdzono tam naprężenia 
o 14% wyższe, w porównaniu z maksymalnymi naprężeniami występującymi w struktu- 
rze bez modyfikacji geometrii. Najwyższe naprężenia ściskające natomiast występują 
znów po stronie przywodzenia. Wartości tych naprężeń są o 26% większe niż dla przy- 
padku braku modyfikacji geometrii. Dalsze zwiększenie mimośrodowości struktury 
powoduje zwiększoną tendencję do narastania maksymalnych naprężeń w warstwie 
cementu kostnego. Ze względu na trudność oszacowania granic błędu mimośrodowości 
nie są znane zakresy dopuszczalnych odchyłek i związanych z tym niebezpiecznych 
spiętrzeń stanu naprężenia. 
Z analizy modelu 3D wynika. że najwyższe naprężenia ściskające i maksymalne 
rozciągające są wyższe i wynoszą odpowiednio -0,85 MPa i 0,92 MPa. Maksymalne 
naprężenia rozciągające dla wszystkich przypadków modyfikacji geometrii występują 
wyłącznie po stronie przywodzenia w okolicach górnych krawędzi warstw cementu
>>>
Analiza numeryczna naprężeli w endoprotezie stawu biodrowego ... 229 


kostnego, w części bliższej kości udowej. Najwyższe naprężenia ściskające pojawiają 
się po stronie odwodzenia. Zmiana geometrii w tej strukturze powoduje również pod- 
wyższenie naprężeli. Zwiększenie warstwy cementu po stronie przywodzenia powoduje 
czterokrotne zwiększenie maksymalnych naprężeń rozciągających i zwiększenie naj- 
wyższych naprężeń ścisk,
jących prawie 17-krotne. Zmniejszenie warstwy cementu po 
stronie przywodzenia powoduje 14-krotny wzrost maksymalnych naprężeń rozciągają- 
cych i zwiększenie najwyższych naprężeń ściskających czterokrotnie. 
Z obydwu analiz modelowych nie wynika jeszcze istnienie niebezpieczeństwa 
uszkodzenia cementu kostnego. Tendencja \vy kazanych zmian jednakowoż mogłaby 
służyć za podstawę ostrzeżenia przed przekroczeniem dopuszczalnych wartości wytęże- 
nia materiałowego. zważy\\szy w szczegÓlności na możliwości skrajnych efektów mi- 
mośrodO\vego montażu z jednej strony. jak i na zjawiska zmęczeniowe i dynamiczne 
potęgujące te niebezpieczeństwa. 


LITERA TURA 


[I] Będziliski R.. 1997. Biomechanika inżynierska. OWPW Wrodaw. 
[2J Bąk R.. Burczyński T.. 200 I. Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia kom- 
puterowego. WNT Warszawa. 
[3J Pauwels F.. 1979. S)lllposium Biolllechanik in Orthopedie und Traumatologie. 
Proceedings Berlin. 
[4] Bergman G., Graichen F.. Rohlmann A.. 1993. Hip joint loading during walk ing 
and running. measured in two patients. Journal ol' Biomechanics 26. 
[5] Hollister SJ. The course orbiomechanics. 
hHp: \\ \\ \\ .en
in.lIll1ich.edll c la
sbme4:,6 
[6] Long M.. 1998. Titanium alloys in total hip replacement. Biomaterials 19. 
[7] Generation 4 Bone Cement. Technical Brochure, BIOMET ORTHOPEDlC. INC 
Warsaw 200 I. 


[\,T:YlERICAL ,-\NA.LYSIS OF STRESSES IN HIP PROSTHESIS 
WITH RESPECT OF INFLUENCE OF GEOMETRY 
ON :VL-\ TERlAL 'S EFFORT 


Summar) 


In this paper authors present three geometrical models ol' cemented artificial bone 
replacelllents which consist ol' stem with head. layer ol' bone cement and hip bone all 
created in ABAQUS C t\E 6.4 env ironment. Results ol' principal stresses analysis in 
bone cement under 
tatic load are computed lIsing FE method. The intluence ar eccen- 
tricit) bet\veen stem and cement's laJer are discussed. 


Ke) words: artiticial bon e replacement. hip prosthesis, bon e cement, FEi'v1
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243- MECHANIKA 54 - 2004 


ANALIZA STATYCZNA TARCZY WŁÓKNISTEJ 
ZE SZCZELINAMI 


Maria Olejniczaki, Mykhaylo Dełyavskyyl, Lubov Onyshko C 
l Kakdra Mechaniki Konstrukcji 
W) dziallJudO\micllla i Inżynierii Środowiska ATR 
u!. Pro!'. S. Kaliskiego 7. 85-796 Bydgoszcz 
: Fizyko-Mechaniczny Instytut im. G.V. Karpenko 
N;\N Ukrain) 


Zaproponowano metodę określania lokalnego stanu naprężeń i przemiesz- 
czeń II tarcz) ortotropol\ej ze szczclinami. Wyprowadzono wzory asymptotyczne 
rozkladu przemies/czeri i naprężeń II pobliżu szczeliny o małym niezerO\lym 
promieniu krzYI\ izny konturu w wierzcholku. Otrzymano wyrażenia uogólnio- 
nych IlspÓlczynniklm inknsywności naprężeń i odpowiednich parametrÓw ich 
rozkladu. f'rzcpnmadzono analizy paramdryczne dla przypadku dwuosiowego 
rozciągania tarcz) zjedną s/.czeliną oraz z szeregiem kolinearnych szczelin. 


Slolla kluczolI e: tarcza wlÓknista. szczeliny. płaski stan naprężenia 


1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU 


Rozważmy tarczę izotropową uzbrojoną w jednym z kierunków włóknall1i ciągły- 
111 i izotropowymi. Załóżmy, że taka tarcza zawiera szereg szczelin prostoliniowych 
ulokowanych na jednej linii prostej rozmieszczonej wzdłuż włókien. Szczeliną nazy- 
wamy cienkie nacięcie, w którym promień krzywizny konturu jest mały. lecz różny od 
zera. Zagadnienie rozwiązujemy korzystając z teorii modułów efektywnych. Pozwala 
ona zastąpić dyskretny material wlóknokompozytowy materiałem jednorodnym ol1otro- 
powym z odpowiednim defektem. Za pomocą modułów efektywnych można przepro- 
wadzić badania na poziomie makroskopowym. Badania te mogą dotyczyć wpływu 
zawal10ści objętościowej włókien, ich rozmieszczenia i orientacji oraz wpływu stosun- 
ku stałych materiałowych wlókien i matrycy na stan naprężeń i odkształceń w tarczy 
włóknistej. 
W pracy stosuje się moduły efektywne [I] otrzymane w wyn iku kombinacj i podej- 
ścia Foighta oraz Rejsa. Korzystając z zasady sUll10wania liniowego zakładamy. że 
szczeliny rozmieszczone są w ol1otropowej tarczy jednorodnej. Związki fizyczne okre- 
ślone są przez moduły erektywne wlóknokompozytu. 
Rozpatrzmy tarczę Ol1otropową ze szczelinall1i. W celu dalszych rozważań wy- 
bierzmy jedna ze szczelin. która nazywać będziell1Y szczeliną podstawową, W jej środ- 
ku wybieramy kal1ezjański uklad wspólrzędnych xpx2 tak. żeby oś O" przechodzi la 
przez wierzchołek szczeliny.
>>>
T'; 

.J
 


M. Olejniczak, M. Delyavskyy, L. Onyshko 


Zagadnienie rozwiązujemy korzystając z teorii runkcji zmiennej zespolonej. 
W odróżnieniu od materiału izotropowego. gdzie mamy jedną zll1ienną: :: = XI + ix:. ' 
dla materiału ortotropowego określa się dwie zmienne zespolone: 
Zj = x, + i
jx:. (j = 1,2 ), gdzie 
 } dotyczy urojonej części parall1etrów zespolonych 
drugiego rodzaju [2]. Wobec tego pole naprężeń i przemieszczeń w tarczy z materiału 
ortotropowego określone jest przez dwa potencjały zespolone S. Lechnickiego 
PI (::1)' P:. (::J tych zmiennych [2.3]. W celu rozwiązania zagadnienia stosujemy od- 
zwierciedlenie płaszczyzn fizycznych "Z" na płaszczyzny matematyczne" :=: '": 


::j = w j (Ęj ) 


(I) 


Wobec tego kontury szczelin w płaszczyznach matell1atycznych przyjmują kształt 
elipsy, W terminach funkcji odzwierciedlających naprężenia i przemieszczenia określo- 
ne są za pomocą następujących wzorów: 


a =2Re [ ,,:. P;(;I) +ll
 p
(;:. ) ] 
li ,..1, ( c ) , 
 ' ( c ) 
0)1 'ol 0):. s:. 


; R [ cD;(ĘI) cD
(ĘJ ] 
a:.:. = - e 0); (Ę I ) + (J) 
 (Ę:. ) 


(2) 


[ cD'(c ) cD' ( c )l 
al:' =-2Re 
ll 
+
l:. ,:. ;:. 
O)lkl) O):.k:.)
 


III = 2Re[Pl cD l(ĘI)+ PcP:.(ĘJJ. 


lic = 2 Re[CJI cD I (Ę\)+ CJccD c (ĘJJ 


(3 ) 


"' 
 '.-1 
P I = all
l 
 - al6
ll + al:" CJ j = al:.
ll + ac::
ll - a:. 6 


(4) 


sformułowanych dla płaskiego stanu naprężenia [2.3] oraz związków: 


- ; R I P
 kJ ] 
al., - -_e I ,Ll, ro 
 ( e , ) ' 
L .' S., 


- I R l cD . " ( . Ę . , ) l i 
cr ,
 - _ e -----:- 
- O)',(Ę,) J 


(5) 


_I / [ p,(Ę,) l 
li, - _ m I 
. 
 h.j.jh'5 -b
5 J 


(6) 


określonych dla ścinania poprzecznego.
>>>
Analiza statyczna tarczy włóknistej ze szczelinami 


7"" 
_.J.J 


2. LOKALNE POLE NAPRĘŻEŃ I PRZEMIESZCZEŃ 


W celu wyprowadzenia wzorów opisujących stan naprężeń i przemieszczeń w oko- 
licy wierzchotka szczeliny (punkt ::0; ) przechodzimy zgodnie z przekształceniell1: 


::1 = ::01 + SI 


(7) 


do lokalnego układu współrzędnych:; I = XI + i
 r'l-J. ulokowanego w tYIl1 wierzchołku. 
Przekształceniu (7) w płaszczyznach matematycznych odpowiadają związki: 



!=
O/+
l 


(8) 


gdzie: ';0; jest współrzędną wierzchołka elipsy. w którą przekształca się kontur szcze- 
liny przy odzwierciedleniu ( I ), natomiast ś; jest współrzędną lokalną w tej płaszczyź- 
nie. 


Uwzględniając związek (8). przekształcenie (l) sprowadzamy do postaci: 
:: I = roi (
 I ) = (JJ ; (
o I + Ś ; ) 


(9) 


Punktowi ::0; wierzchołka szczeliny. określonemu w płaszczyźnie tizycznej "Z", 
odpowiada punkt (J) I (ŚO i) z płaszczyzny ll1atematycznej. 
Stan naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny określamy w lokałnym układzie 
współrzędnych. Określamy związki pOll1iędzy zmiennymi lokalnymi: Ś I i S /. W tym 
celu rozkładamy potencjały zespolone et I (Ś I) oraz funkcje odzwierciedlające (JJ I (Ś / ), 


w okolicy wierzchołka szczeliny (punkt ';0/)' w szeregi Taylora [4]: 


'" le ) '" le ) h' ( e \y I h" I
 \yJ. I ",,,, ( e \y.1 
'I--', \S/. = 'I--' ;\SOI + (1--'1 Sili h; +-::;-;-(1--' 1\'0111 hl +
'I--' I C,()lh/ +... 
_. .J. 


(10) 


( e ) ( " ) , I ( 
 \y I" ( ;: \,..}. ł ", ( _ \y' 
II)! SI =(J); Sili TW I 'oll;h; +-::;-;-(1); 'oO;hi +-:;-;-(1); I;O/hl +... 
_. .J. 


(ł I) 


Związek analityczny pomiędzy tymi zmiennymi otrzymujemy zachowując w roz- 
kładzie (II) trzy pierwsze wyrażenia: 


( e ) ( _ ) I {_ \y I" ( _ \y , 
UJ; c,j =(1);1;11; +W;\C:ll/h;+-::;-;-W; SO/!-'
 


( 12) 


LJwzgledniając. że: 


Q); (Ś;)- Q) I(ŚO/)=;I 


(13) 


wyprowadzamy równania kwadratowe względem zmiennej 
! . 


I " ( e 
 ) , ( _ 
 
-OJ C( I! 
 +w C(), 
"")/ -. -/ - .' -/ 


-;; = O 


(14 )
>>>
234 


M. Olejniczak. M, Delyavskyy, L. Onyshko 


Rozwiązując równania (14) otrzymujemy poszukiwany związek ll1iędzy zmIen- 
nymi Ś j i c,j: 


Ś = - ro'I(;;OJ + 
I 0)'; ( ;01 ) 


O)'lc(;Oj) J- 
0)'; {; o I ) + -"oj 

 O)'; ( ;01 ) 


( 15) 


Wiadomo [5], że jeśli defekt jest dość cienki (p  0,01/ ), to promień krzy\\ izny 
konturu defektu w wierzchołku jest zasadniczo Il1niejszy od jego długości (szczelina 
spełnia te założenia). W tym przypadku mamy dość proste wyrażenie na proll1ień krzy- 
wizny konturu szczełiny w jej wierzchołku: 


0)'/ (śo J 
PI = 'I / ) 
O) I \ŚO I 
Wprowadźmy zmienną lokalną: ZI = P I + 2c,j w płaszczyźnie tizycznej '"l'". któ- 
rą nazwiemy uogólnioną zmienną lokalną, W terminach tej zmiennej związek (15) 
przyjmuje postać: 


( 16) 


-JP;+jZ; 
;j = 


(ł 7) 


0)'; (;"1 ) 


Związek (17) pozwala określić zależności pomiędzy wyższYll1i potęgami tych 
zmiennych: 


G C P I - 2M + Z ! 
'- = 
-j "e ) 
O) I (
"I 


( IS) 


-, - pj 
S/= 


c +3P I jZ; -3Z IJP; + Z; 
" ,"" 
) 
O)j ( C, "I r - 


( 19) 


Podstawiając zależności (ł 7-'019) do rozkładów ( 10). a potell1 otrzymane związki 
do wzorów (3) wyprowadzamy wzory asymptotyczne rozkładów przemieszczeń 
w okolicy wierzchołka szczeliny: 


1I 1 =2ReI{pJ,-/IA+B I Z 1 +C I Z; 2-;-DJ 
1=1 


(20) 


lic = '2 Re I {qJcljA + BIZ I -'-C'/Z; 2 -'- D!]] 
j=1 


(21 ) 


[ A, rz: + B,Z, +C'Z . 0 
11, = 21m ., "L .1 ." , .' 
. 
 bHh55 -hi, 


2 + D, I 
I 
-.I 


(22)
>>>
Analiza statyczna tarczy włóknistej ze szczelinall1i 


235 


gdzie: 


Ak 


CPk (SOk) 

 (vI, (
Ok ) 


.,JP;et'k(.
Ok) ł PkCP%(
od 
" ( 
 ) +} " ( - ) 3/2 
(Vk "'Ok - (Vk ŚOk 


(23 ) 


BI. 


CD'k (SOk) 
} " ( - ) 
-(Vk ;Ok 


.,JP; et;; (sod 
" ( - \.312 
(Vk ;Ok J 


(24) 


Ck 


"'''' ( - ) 
'-V k ;Ok 
( , '") 
(Vk ::Ok)"!- 


(25) 


Dk 



cp, ( 
 ) et" ( - ) 312 '" ( " ) 
" Pk .Z ':-Ok + PI. k ;01. _ PI. et I. C:::OI. k = ł,3 
I " ( - ) " ( 
 ) " ( - \.312 
,,(Uk ;Ok (vI. ':-01. 6(Vk ;Ok J 


(26) 


Z powyższych wzorów widać. że w terminach zll1iennej uogólnionej Zj struktura 
rozkładu przell1ieszczeń w pobliżu wierzcholka zaokrąglonego jest taka sama, jak 
w okolicy wierzchołka pęknięcia w terll1inach zll1iennej lokalnej::j . W związku z tym 
współczynnik przy .jZ; we wzorach (20) i (2 ł) będziemy nazywać uogólnionYIl1 ze- 
spolonym współczynnikiell1 intensywności naprężeri. 
Rozkład naprężeli w pobliżu szczeliny wyznaczamy za pomocą równań tizycz- 
nych: 



 
 ( 
 l J 
elli Ul c (lii Cllc 
ali = hill I -:;--+ hl I:':' 
+ hl II c -::-- +
 
(XI ex:, \ (Xc (XI 


- h 
 h Cli:, h l (
1I1 i': lI c J 
cr 

 - 
2 r] '""' + 222=: -, + 22! 2 ...., +...., 
( XI CC:, (Xc (X,_ 


(27) 



 - ( 
 - '\ 
( 1I 1 CIf, ( 1I1 (lic I 
al:' = h lcll -:::-- + hl c:':' 
 + h lclc -::-- + 
 ) 
( X:, (ec:, (.c:, (
CI 


oraz korzystając z wyrażeń (20), (21). Tutaj hi}l.! (i. j. k.l = U ) są współczynnikall1i 
macierzy sztywności materialu ortotropowego. 
Składowe tensora odkształceń w pobliżu wierzcholku szczeliny określamy 
uwzględniając: 


(-z, 
----'-- - ..,. 
(-:cl 


f-Z 

 = 2i
 I 
( x) 


(28) 


Stąd otrzYll1ujemy: 
- 2 r :- l 
" - 
 _.., ,"," i I 
 
 } " f7 1 
°11 - _. - - Re L... i p} I H' - B} +.Je ;"\j z i 
('\1 /=1 I "l/ , 
, L
>>>
236 


M. Olejniczak, M. Delyavskyy, L. Onyshko 


"' 2 1 [ 4 ]l 
_ cU 1 _ /? -' 
 7 ....,-.., 
En -::1 - 
 Re . L CIII
/ H . + _BI +.JL I A J 
eX2 I
I 'ljZI 


YI2 = 2 Re t {[CI I + iP/
/ HAlA + BIZ l + CIZ
 2]} 
I
I 


(29) 


Podstawiając wyrażenia (29) do równań (27) wyprowadzamy aSYll1ptotyczne wzo- 
ry rozkładu naprężeń w okolicy wierzchołka szczeliny: 


cr" 
2Re 
H k +2B, 3C,F]) 
0"22 = 2 Re . t l '\'1 1 /f- +2BI +3C/A ]) 
I
I 'ljZI 
2 J [ 4 j) 
-'/ J 
..., "'" ., 
0"12-_Re
(1 jZ;+_BI+.J(IA 


(30) 


Tutaj: 


r l = [billi P l + h ll12 (I I + i
J (h 1112 PI + h 122 q I )] 


S l = [b 1122 PI + h 2212 qj + i
 I (h 2212 PI + h 2222 CI I ) ] 


(3 ł) 


t l = [b 1112 PI + h l212 CI I + i
 I (h 1212 P I + h l222 (I I ) ] 


3. PRZYKŁADY OBLICZEŃ 


Przykład I. 
Analizie poddano tarczę jednokierunkowo uzbrojoną. Przyjęto. że szczelina w tar- 
czy ll1a postać cienkiej elipsy i ukierunkowana jest wzdłuż włókien. Jej długość jest 
znacznie mniejsza od wymiarów tarczy. Tarczę poddano rozciąganiu jednoosiowemu 
o intensywności P prostopadłell1u do większej półosi elipsy. W celu określenia parame- 
trów: AJ' B ,Ci zgodnie ze wzorami (23+25) skorzystamy z potencjałów zespolonych 
dla tarczy ortotropowej z otworem eliptycznym [6]: 


cp J J = V I:: I + cD; (:: I ) 


(32\ 


gdzie: 


= '-I ) /
I 

-! 
N. \ P2 ( 
-;-
f ) 


(33)
>>>
Analiza statyczna tarczy włóknistej ze szczelinami 


237 


cp*(:: )=(_I}I
I (Ó+
lh) a
3_/ 
I ; P2(
I-
.') ::1+ 
 ::7- ( a2_
]b.') 


(34) 


Zmienna zespolona ::j w płaszczyźnie fizycznej z eliptycznym otworem określo- 
najest wzorem [3]: 


_ _, ( O ) _ a-
Ih c a+
/b y-I 
- I - (!) I S I - 2 SI + 2 c:; ! 


(35) 


w którym a. h oznaczają półosie elipsy. Uwzględniając powyższe funkcje, wzór (23) 
sprowadzamy do postaci: 


[ rl -a; 
Al = ( I+
IE 
 


2al
IE ' I 
, + ( ) ' .' p-v a . 
- I + 
 IE ' 


j = 1,2, 


h 
E=- 
a 


(36) 


Wyrażenia (36) określają uogólnione współczynniki intensywności naprężeń dla 
szczeliny w postaci cienkiej elipsy. Dla przypadku otwarcia normalnego ll1all1Y dwa 
uogólnione współczynniki intensywności naprężenia (Al' ,J.') zamiast jednego (KI)' 
występującego w klasycznej mechanice pękania. Jeśli promień krzywizny w wierzchoł- 
ku szczeliny dąży do zera, to współczynniki te pokrywają się. 
Pozostałe parall1etry wyznaczane są ze wzorów: 


a,(1-2
IE) 
B; = P 
(I + 
/Ef 


c,=[ 


al 
(I + 
 I E ), 


, ] Fa ' 


j=1.2, 


(37) 


l 
r _ 
:; ł - 
I£ 
I - 2 ( 

 - 
 n 2 


r, = 



f l - 
.'£ 
2 ( 

 -
 n 2 


(38) 


al = 



JI+
IE).' 

 1+
IE 
2(
1 -
.' X I - 
fE.' ) + 2 ( 

 - 
f ) 2 


(39) 


(l, = 



1(1+
2E).' 
2(
1 -
.' X I - 

E2 ) 



f I + 
.'E 
2 ( 

 - 
 n 2 


(40) 


W tabeli I podane są wartości l)' 13j' CI w zależności od parametru E w prze- 
dziale ć.' =[0: 0.1]. Przedstawione wyniki pokazują. że w rozpatrywanym przedziale 
parametry .1 . 8 1 , C; w istotnym stopniu zależą od promienia krzywizny defektu, Mak- 
symalne odchylenie względne rezultatów dla pęknięcia (E = O) i szczeliny eliptycznej 
o stosunku osi (E = h a = O. ł) dla ./ I wynosi 16% oraz dla f3! 78%. Z tego wynika, że 
nawet przy tak małym otwarciu, szczelinę nie 1l10żemy traktować jako pęknięcie.
>>>
238 


M. Olejniczak, M. Delyavskyy. L. Onyshko 


Tabda I. Wartości parametrÓw rozkładu naprężeÓ dla rÓżnych parametrÓw otwarcia szczeliny 



 o-lo 
£ - 13 1 /30 CI C\ 
KI KI - - 
0,00 -0,045527 0.545527 0.043774 -0,293774 -0,043774 0.293774 
0,01 -0.044619 0.544594 0,()40310 -0.292619 -0.044813 0.295145 
0,02 -0.043764 0.543665 0,036947 -0.291460 -0,045998 0.296528 
0,03 -0.042956 0,542742 0.033654 -0,290300 -0,047343 0,297917 
0,04 -0.042191 0,541823 0.030396 -0.289130 -0,048867 0,299316 
0.05 -0.041465 0.540908 0.027141 -0.287950 -0,050594 0.300725 
0,06 -0.040776 0,539999 0,023854 -0.286770 -0.052552 0.302143 
0,07 -0.040120 0.539094 0.020497 -0,285590 -0,054780 0.303571 
0,08 -0.039495 0.538193 0.017026 -0.284390 -0,057332 0.305009 
0,09 -0,038898 0.537297 0.013391 -0.283200 -0.060235 0,306456 
0.1 O -0.038327 0,536405 0,009530 -0.281990 -0'cJ63560 0.307914 


Przykład 2. 
Rozpatrywano tarczę jednokierunkowo uzbrojoną ze szczelinami. Przyjęto, że tar- 
cza zawiera szereg cienkich eliptycznych szczelin o półosiach a i h. Środki wszystkich 
szczelin są rozmieszczone na jednej linii prostej równoległej do kierunku włókien. Tar- 
cza jest obciążona równoll1iemie rozłożonymi siłall1i rozciągającymi o intensywności 
PI] i Pn, Płaszczyzny działania sił są wzajell1nie ortogonalne, 
Oznaczmy odległość pomiędzy środkall1i szczelin przez l. Kartezjański uklad 
współrzędnych xpx2 wybierall1Y w środku jednej ze szczelin (podstawowej) tak. żeby 
oś ()x\ była skierowana wzdłuż prostej łączącej środki szczelin. Przy takiej orientacji 
defektów tarczę można rozpatrywać jako ortotropową. 
Funkcje naprężeń dla takiego układu wybrano z pracy [3]: 


ct;(
;)= fa;k[
;tk -A202m;o(//la
11;oĘ; +m/IĘ
I]+ 
k=IJ 


(41 ) 



 4 J [ .' ( c. c -I \, II [ 
 ( ) 11:: -I ) 
-04 E 111; lJ l Cl ;1 CI 1I1;IJSj +m;I'o/ } JJ+ .Jm;o(/ (/;1 111 ;1 +CI;.,II1;O J\m/1i'o/ +111;1'0; 


gdzie: 


1I1;1J =_UI+!:.
/ i. 111;1 =J..(I_!:.
; j, 
2l a) 2l a ; 


_ CI 
0=- 
l 


Pozostałe parall1etry podano w pracy [3]. 
Na rysunkach I i 2 przedstawiono wykresy zmIan naprężeń bezwymiarowych: 


() 

 i 0"22 w zależności od objętościowej zawartości wlókien (parametr w). 
P22 p-n
>>>
0"11 
p" 


Analiza statyczna tarczy włóknistej ze szczelinami 


239 


10 


8 


6 


4 


o 


o 


0.1 


0.2 


0.3 


004 


0.5 


0.6 


O) 


Rys. I. Zmiana naprężenia 0".. w zależności od objętościowej zawartości włókien 


0"12 
P22 
17 


16 


15 


14 


-__I 
-,.--- 
-- 


--- 


--- 


o 


o 


0.2 


OA- 


0.6 


O) 


0.5 


Rys. 2. Zmiana naprężenia 0"12 w zależności od objętościowej zawartości włókien 


0.1 


0.3 


Krzywe l na danych rysunkach odpowiadają jednoosiowemu rozciąganiu tarczy 
w kierunku prostopadłym do osi defektów ( Pll = O ), natomiast krzywe :2 przedstawiają 
wyniki dla dwukierunkowego rozciągania ( Pll = Pn.). Linie ciągłe dotyczą parametru 
. I . I .. dl ' I P d . k k 
(j = - , natomIast lnie przerywane otrzymano a (j = - . rze stawione rzywe po a- 
6 4 
zują, że wraz ze zmniejszeniem odległości pomiędzy środkami szczelin (zwiększe-
>>>
240 


M. Olejniczak, M. Delyavskyy. L. Onyshko 


nIe 8) następuje istotne zwiększenie naprężeń (J:,:, . natomiast nie obserwuje się istot- 
p:,:, 


nych zmian 
. 
p:,:, 


LITERA TURA 


[I] Eepe){{HIIllKIIH Jl.T., ,[{emIBcKIIH M.B.. OHblWKO lUL 1987.06 01.lHOM n01.lxo.Je 
K oueHKe HanpmKeHIIH B aHII30TponHOM JlIICTOBOM MaTepllaJJe c TpeWIIHOH. 
!1I3I1KO-XIIMIIyeCKajj MexaHIIKa MaTepllaJJoB 2. 62-66. 
[2] JlexHlluKIIH c.r., 1957. AHH3oTponHble nJlaCHIHKII. fOCTexlI31.laT MocKBa. 
[3] KOCM01.laMllaHCKIIH A.C., 1976. Hanpjj){{eHHOe COCTOjjHlle aHII30TponHblx cpe.1 
c oTBepCTlljjMII IIJlII nOJlOCTjjMII. Bllwa WKona. KlIeB-)],oHeuK. 
[4] ,[{eJljjBCKIIH M.B., 1987, PaCnpelleJleHlle Hanp5l/KeHIIH B aHlI3OTponHOH nJlaCHIHe 
c TpeWIIHOBIIllHbl;\11I llecjJeKTaMII. !1I3I1KO-'(IIMlI'leCKajj MexaHIIKa 'vIaTepllaJJOB I. 
117-118. 
[5] Eepe/KHIIUKIIH Jl.T., Kayyp n.c.. Ma3ypaK Jl.n.. 1989. )],0 Teopi'i KOHueHTpa- 
TopiB HanpY/KeHb i3 3aoKpYfJleHI1MII BepWIIHaMH. !i3IlKo-xiMi ' łHa MexaHiKa 
MaTepiaJJiB 5, 28-41. 
[6] ,[{eJljjBCbKIIH M.B" KopKYHa M.,[{.. OnaHacoBwl B.K.. 1999. JIOK1JlbHi Hanpy- 
){{eHHjj B opToTponHiH nJlacTlIHi 3 TpiwIIHonOlli6fHIM .leCpeKTOM. !i3I1KO-xiMilJHa 
MexaHiKa MaTepiaJJiB 3, 48-52. 


ST A TIC ANAL YSIS OF THE FIBER SHEET WITH THE CUTS 


Summary 


An approach for detennining the local strain-stress state ol' an orthotropic sheet 
with thin cut of a smali nonzero curvature radius at the tip is developed. The asymptotic 
formulae ol' distribution ol' stresses and displacell1ents near the cut tip are obtained. 
Expressions of generalized stres s intensity tactors and following terms ol' asymptotic 
expansions are obtained. As exall1ples the biaxial tensile ar a sheet having one cut Ol' 
collinear array ol' cuts are considered. 
Keywords: fiber composed sheet. cuts, plain state ol' stress
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM, JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


ANALIZA DRGAŃ BELEK Z UWZGLĘDNIENIEM EFEKTÓW 
GEOMETRYCZNIE NIELINIO'vVYCH PRZY ZASTOSOWANIU 
METODY ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH 


Anna Podhorecka 


Katedra 1vkehan iki Konstrukej i 
W: d/ia! Budo\\nićt\\)l i Ini: nicri i ŚrodO\\iska A TR 
ul. !'rot'. Kaliskićgo 7, 85-796 B: dgoszćL 


W prać: roz\\va si.; drgania hćkk Fulera domaj,)ćyćh stosunkowo dużyćh 
ugi.;ć. 1)0 roZ\\ ią/ania tćgo /agadnićnia \\: korz: stano metodę elementów ĆJ:aso- 
pr/ćstrzćnn: ćh. 


S!O\\,l kluć/lJ\\e: helki. mdoda ćkmćntó\\ ćDlsoprzestrzćnn: ch 


l. WSTĘP 


Rozwój nowych. wspÓlczesnych urządzeń i technik obliczeniowych, pojaWIenie 
się nowych materiałów konstrukcyjnych i dążenie do pełnego wykorzystania ich wła- 
sności. tworzenie nowoczesnych systemów konstrukcyjnych. spowodowało istotny 
wzrost zainteresowania mechanik,! nieliniową. Cclem badań jest w tym przypadku wła- 
ściwy opis procesu zachowania się konstrukcj i pod działaniem obciążeń. zarówno 
w zakresie dużych odkształceń i przemieszczeń. jak również z uwzględnieniem efektów 
tizycznie nieliniowych. Do analizy tego typu zlożonych problemów można z powodze- 
niem stosować metodę elementów czasoprzestrzennych (MECZ). opracowaną przez 
Kączkowskiego [1.2]. 
W niniejszej pracy przedstawia się zastosowanie MECZ do analizy dynamicznej 
belek przy dużych przemieszczeniach. Problemat:. ka belek jest rozważana w bardzo 
wielu pracach naukowych i inżynierskich. Efekty geometrycznie nieliniowe są na ogół 
niezbyt dokladnie opisane i nie zawsze znajdują swoje pelne uzasadnienie wynikąjące 
z dokładnej analizy podstawowych ró\\:wń. np. teorii sprężystości. Rozwiązanie rozwa- 
żanego problemu metoda elementów czasoprzestrzennych prowadzi do równaI1 alge- 
braiczn}ch nieliniowych. Dotychczas MECl stosowano do analizy belek Eklera i Ti- 
1l10schenki. ale w ramach teorii geometrycznie liniowej (np. [3]). Do analizy zagadnień 
geometrycznie nielinio\\:.ch MECZ stosuje się rzadziej (np. prace [4,5]). Prace nauko- 
we z ostatnich lat dot:. czą stosowania metody elementów czasoprzestrzennych do roz- 
wiązywania różnych zagadnień. między inn:.mi z pogranicza mechaniki ciała stałego 
i mechaniki płynów (np. [6,7]).
>>>
242 


Anna Podhorecka 


2. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU 


Rozważamy drgania belki odkształcalnej, poddanej działaniu obciążenia dowolnie 
zmieniającego swoje położenie oraz dowolnie zmieniające się w czasie (rys. 1). Przyj- 
mujemy, że belka nie jest krępa, odkształcenia są stosunkowo małe, słuszna jest hipote- 
za Bemoulliego o płaskich przekrojach, zginanie odbywa się w jednej płaszczyźnie. 


" 


I_
 
/1 
1 
1 
ł 


PI(X1.t) 



 '(X..t) 
m2(X I ,t) 
, 
" ;,;;. 
////// 
 


,Ttl7T; 


--'--'- 
nTTTTl 


i 
!X1.UI 


--- 


Ao, 1 20 , Po. ClIli 


X 3 , U3 


Rys. l. Schemat statyczny belki 


Do opisu deformacji i ruchu belki w teorii skończonych przemieszczeń stosujemy 
stacjonarny opis Lagrange'a X , w którym występują: pole wektorowe przemieszczeń !! 
i sił masowych Po Lo' symetryczne pole tensorowe naprężeń Pioli-Kirchhoffa 
 oraz 
symetryczne pole tensorowe odkształceń Couchy-Grenna fd. Z założenia o płaskich prze- 
krojach wynikają zależności dotyczące przemieszczeń: 
o au] o o 
u] ( X )=ul( X )-X] ax, . u2( X )=0. u] =u](X,) 


(I) 


gdzie: u, i u, są składowymi przemieszczeń osi belki. Biorąc pod uwagę (I) oraz zało- 
żenie o dostatecznie małych odkształceniach otrzymujemy równania geometryczne 
wyrażone składowymi tensora odkształcenia Greena [8]: 


E _ ( au? ) 2 l [( au
 ) 2 ( au
 ) 2 ] _ cUI v a 2 u] l ( cu] ) 2 
'1- - +- - + - --:;---.\]
+-- 
ax, 2 ax, ax, eX, cX,- 2 aX l 


(2) 


E 22 = E33 = EI2 = E ł3 = En = O 


Założenie o dostatecznie małych odkształceniach umożliwia opisanie tensora na- 
prężenia Pioli-Kirchhoffa prawem liniowym w postaci: 


Sykl = CiJklEkl 


(3) 


gdzie C ijkl jest tensorem zawierającym parametry materiałowe belki.
>>>
Analiza drgań belek ... 


243 


Różniczkowe równania równowagi dynall1icznej w opisie Lagrange'a mają nastę- 
pującą formę [S]: 



 [ l 
 o Jl ( 
c , 
 l"lI, ....o 
---:::-:- 5,;k o ik + ---:::-:- +p I) ./0' - u, ) = O 
1 ,\ I d, J 


(4) 


iJk = 1.2.3 


Następnie dokonujemy redukcj i naprężeń względell1 osi przechodzących przez 
środek ciężkości (przekrojów poprzecznych), co pozwala przejść z naprężeń na siły 
przekrojowe. tj. na siły normalne NI' sily poprzeczne Q; i 1110 111 ent y zginające l'vf;: 


( (
lI, Jl ('N, J ( '" .. ) 
I + 
 
 + p + pAo .lo I - li, = O 
1,\ , r.\ I 



 ' 
 l 
,' J 
, 
(Q, "li, 1',\/, (-li,' .. ," 

+Lj, +
 
+ p +
N, +po,.4 0 C!01-r"U,)=0 
1.\, 1.\, 1.\, I
\, 


(5) 


l l
lI I i l I
Jf ; J l I
 li I \ J . ?ii'J 
I +
 I --::;-:-+ 111 - ] +
 Q, + ;Jw},): 
 = O 
1'\1) 1"\1 1'\1 cY I 


gdzie: 


,VI = f Sil dA. Q, = fSI;d..f. ,H: = fSIIXJd..f 


(6) 


l" 


I" 


I" 


Geoll1etrię przekroju poprzecznego opisują wielkości ...f,) - pole przekroju po- 
przeczne
w i .f,,: - glówny centralny mOll1ent bezwładności przekroju. 
.. au I 
Jeżeli z rÓwnań (5) wyrugujemy Q;, a skladową odkształcenia aX I potraktujemy 
jako wielkość pOll1ijalnie malą w stosunku do jedności. to otrzymujell1Y dwa równania 
w postaci: 


(',VI ('.'V, I ' 

+
+p, =() 
( .. \ I 1 { . 
I'T (r 
----.l.... + ---'-'- + l) = () 
(
.\" ,'/ I \ 
I 


(7) 


gdzie: 


(
H
 (
1/. 
TI - ---=---'-
 V 
- ,
. \' I .. (
X I ' : 


, (
M.. 
T =() -
 
/1 -1 (.......\',
>>>
244 


Anna Podhorecka 


N'I = -POAOlil' Q, = -POAOli, 


(S) 


(/11, 
PI =P I - P; = 
'v"' +q, 
C'I 


W celu uzależnienia sił przekrojowych od przell1ieszczeń. przekształcall1Y wzory 
(6) wykorzystując związki (2) i (3): 


, [ C'1I1 l ( Cli. j , ] , (' = li . 
NI =C IIII ,{, 
+) 
 ' AL =-CIIIIJ,,= 
 
(n\1 _ e\1 (
\I 


. ;; l C=lI. J t'AI;, 
o. = -C lili - .1'0 - '. .' +--=-+ /11. 
-, (
XI' ?X I ' (ot ' 


(9) 


W przypadku ciala liniowo sprężystego: 
Clili = 2
1 + A 


( 10) 


gdzie: f.l, A - stałe Lall1ego. 


Do kompletu równań dochodzą jeszcze warunki początkowe 


o . .0 
li, (t = to ) = u, _ li, ( I = tu ) = li, 


III) 


3. RÓWNANIE CZTEROPRACY WIRTUALNEJ 


Wszystkie wielkości występujące w równaniach ( I 
 II) są odpowiednio gładkimi 
funkcjall1i współrzędnej XI i czasu t. Rozpatrujell1Y wirtualną wariację tu n kcji li, (X I,f). 
oznaczoną sYll1bolell1 Oli,. Zakladall1Y. że istnieje uklad przemieszczeń spełniający 
równania równowagi (7) i warunki początkowe (II). Rozważamy klase dowolnych 
przemieszczeń li, + bll, zgodnych z więzami kinematycznymi belki. Na bazie równań 
(7) możell1Y utworzyć wyrażenie słuszne w dowolnym interwale czasowym (t". t,) dla 
całej belki: 


II' r r 
 N ' 
" '\ l 
 T 
 T ' J1 
' ',' (, I ('.'v II ' " (I (' 'I '_ 
f J . (jz/I --:::-- -r- --:::- + PI j + Oli; 
 + ----:::-- + P, f d\ I LIt - O 
"I l \ (.
 Y I ( 't (
\ I ( 't 


( 12) 


Po wycalkowaniu przez części odpowiednim pogrupowaniu otrzymujemy rów- 
nanIe: 


, z / I l!. ! 
 
Jęlt!:Y 1 
0U'!I')/f:, + J(Oll,:Y! +Olt'!!1 )c/XII; + J J
)lIIPl -+-Ó1I 3 J73)dX 1 dt-+- 
III /11 II,!II
>>>
Analiza drgań belek ... 


245 


',: l" I ( 
 II J , ( ('II, J , ( (' II J , ( iC,lI, j , ] 
f fi li 
 NI +8 
 TI +() 
 N'I +0 
 T'I cL'(ldl =0. 
I" l" L ( - \ I C \ I ct 
 (I 


(ł3) 


które Kączkowski nazywa równaniem czteropracy wirtualnej [2]. 


4. RÓWNANIA RUCHU W ZDYSKRETYZOW ANEJ 
CZASOPRZESTRZENI 


Obszar czasoprzestrzenny dyskretyzujemy na skończoną liczbę elementów czaso- 
przestrzennych (SKECZ) o powierzchni n,. o dowolnym kształcie i dowolnej liczbie 
węztów. Zakladamy. że przemieszczenia elementu skończonego belki opisują trzy skła- 
dowe: 


f ili j III
'(X,.I) 

,(X,. t) = 

 = f 
J

.
I 
II
 1I1(X,.I) 


( 14) 


gdzie: 


( " ) ('1I
 
(P "'I' I =
 
(.\ I 


(15) 


W MECZ przemieszczenia 
 i ich wariacje 6
 i o
 opisują związki: 


v:l \' 1. 1 ) = cD;;J \' 1. 1 ) I
l' i;C \' I' I) = cb ;u (X, ,I )ru 


6,", = cD;" 6 r,", 3i'," = cb;u 3 1;1 


( 16) 


i = 1.2.3, 


a = L2.....3w,. 


gdzie: II' - liczba węzłów SKECZ. ł'" - przell1ieszczenia węzłów SKECZ. cD;" - funk- 
cja kształtu zależna od wspólrzędnej X I i czasu I . 


Przemieszczeniami węzlowymi opisujemy też siły: 
V; = etllł..J(; (cP 1uł + 
 cD
u cD
r\ )/
l 


V' " ,"en" 
. Ii = -Po.-ło ""'Ul;l' 


7[ 


, ,,(. I, .) .," l 
('[łll.J,\ct
ul e D lf \ I --:;-cD
r\cD
J:: 11'[\ -Cllłł.Jo
cD
l1,11 '1"1 
\ -) ...: 
7;'[ = 

).Ji;
cP
u' - p
;.J(

cb
u I k 


( 17) 


( . )=4-J. 
( I 


(
( ) 
( ) I =--=-;::- 
( -, /
>>>
246 


Anna Podhorecka 


Podstawiając wzory (16) i (17) do równania czteropracy wirtualnej (13) otrzYll1u- 
jell1Y równanie w postaci: 


t bru [(M(
I\ - K :
13 h + RI
 + Rg" ] = O 
,,=1 


( 18) 


gdzie: 


M(
I\ = ff(p
A
 cD
'r,cD
'13 + p
;J
:cD
u cD
13 + p
;-!(
 cD
u cD

 kQ 
n,. 
KU = ff [('" -jJ l epu (epu +
epu eper j \+ep, epe tr" + 
u.0 n"l liII' U la.ll 11\ 1 :2 :/1 :;.;. :1 :1\ 
 I',' 


l ) l } 
_. epu ep", . _ 'e u epe ep" C2 
2" :',' :'/'1 l.! J (III J'I: :u :1\ I 1- 


(ł 9) 


R
 = ff(p
'up/ +P
up
('
Q 
n 


R°' = ' f ' tr,
,C1\ l' + ep' Te ) dX I ',' + ' f ' {ep' .\" + ep: Te ) 1.\ l ';, 
13 
 )(j II 1'1\ ,'.: lu II 1(/ l I,;) 
Ir'; ' 1 \ 


oznaczają kolejno: macierz bezwladności mas JI,';ji' statyczną macIerz sztywności 
K,
jl . ll1acierz ill1pulsów węzłowych od obciążeń zewnętrznych R;;, macierz impulsów 
brzegowo-początkowych R;;' . 
Równanie (ł 8) musi być spełnione dla dowolnej wariacji przemieszczeń ó'r", stąd 
otrzymujell1Y układ równań: 


K Ul] I L) rio + R 1\ 


o 


(20) 


gdzie: 


Kul3 = H ul \ - Kul\(d. Rp = R I \ + RI
' 


(21 ) 


Równanie (20) stanowi układ algebraicznych, nieliniowych równań ruchu. ważnych 
dla całej dyskretyzowanej czasoprzestrzeni. Przy znanych warunkach początkowych: 


c-U = ttl ) = 
tt. tu = t,,) = (' 


(22) 


układ ten przekształca się zawsze w nieliniową formułę rekurencyjną [4,5]: 


""'fI I I I ) '.1 H I ,i I I I I 8 ' I I i I I , 

 (C- ,C- C- + _ (c. ,C-.c. )c. + _ (C-.C- )c. =fi 


(23) 


Warunki zbieżności MES są takie same jak \" metodzie elementów skończonych 
i wiążą się z kształtem SKECZ i funkcjall1i kształtu. Schell1at rekurencyjny musi spel- 
niać warunki stabilnosci. (O sprowadza -;ię do ograniczenia wymiaru SKECZ w kierun- 
ku osi t [9].
>>>
Analiza drgań belek... 


5: PRZYKŁAD OBLICZEŃ 


247 


Rozpatrujemy drgania poprzeczne belki o długości 2 [m], obciążonej w punkcie 
środkowym siłą Heaviside'a (rys. 2a). Pozostałe dane przyjęto następujące: 
Ao =0,45.10- 3 [m]. J 20 =0,30375.10- 5 [m 4 ], Clili =2.10 11 [N/m 2 ]. 
Po = 7500 lkg / m 3 J. pet) = PoH(t) 


Warunki początkowe mają postać: !!. = Q. li = O . 
Pasmo czasoprzestrzenne dzielimy na prostokątne elementy czasoprzestrzenne 
(rys.2b). 


a) 


! 


pet) = PoH(t) Xl Ul 
rTI71rr 


CD 
+ 
I 

 



 


X 3 , lI3 


b) 


1 2 
X = as 
I 1 16 
I t=bT 
1 4 


3 


20 


J 


Rys. 2. Drgania bełki wolnopodpartej: a) schemat statyczny. b) element czasoprzestrzenny 


Składowe macierzy ksztahu SKECZ przyjmujemy w następującej postaci: 


1 = 1 2..(I+Ę,al;)(I+TaT) dla 
la 4 
O dla 
r 2..(2+31; Ę-Ę, .;3)(IH 1:) 
8 a a a 
1, = I
Ę, (1+1; l; -I; 2 -I; Ę3)(\H T) 
:.a. 18 a a a a 
l O 


1. 
,a 


r 3 _ _ , 
I - -.:; (I - 
 - )( I + t T) 
8a a a 
= 
 - 2.. (l - Ze; .; - 3e; 2 )(1 H T) 
I 8 a a 
l O 


gdzie: 



 - { 
":la - 


I 
-I 


dla 
dla 


a = 1.4,7.10, 
a = 2.3.5,6.8,9.11.12. 


dla a = 2.5.8.11, 
dla a = 3.6.9.12, 
dla a = 1.4.7.10. 


(24) 


dla 


a = 2.5.8.1 L 


dla 


a = 3.6.9.12. 


dla 


a = IA.7.10, 


a = 4.5.6.10.11.12. 
a = 1.2.3.7.8.9. 


(25)
>>>
248 


a) 


"=
 
ł:;..C',1 

, o 
b":"" 
- ;; 

I 
-", 

"8 

 s:: 
""'" 
;:"S 

 .5 

 
 
t
 
.
 
 

..s 
tl 
 


 
"'- 
"E _
 
'" - 

I '- 
'- " 
... '" 


b) 


Anna Podhorecka 


T
 ={ 


d/a 
d/a 


I 
-1 


a = 7,8,9.10.1 1,12, 
a = 1,2,3,4,5,6. 


I I '. 
h 
 0,5 '!10-
 [s] 
, ! . 
I 


i Po=O.-ł [MN] 
! 


3,0 i 
2,0 ; 
i 
I 
1 
LOt-- 
; 
i 
I 
o.q) 4 8 


_ zadanie geometrycznie nieliniowe 
_ geometrically linear analysis 
- - - - - zadanie geometrycznie liniowe 
- - - - - geometrically non-linear analysis 


t. 10. 3 [s] 



 

 


3,5 r--l
 1 h=6,; 



I-'T--
 I 
3.0 ' l ----.-.-t/"\ J- /"\ ...._..

:
.J[MN]r-..... .........t , l/..t--- R 
 
-' '\ m ' I I 
2., i ----'1 
I : --: ';'- ! \ , -- ; 
I I' , \ ,), \ , 
I I i \ . I i,: 
2,0 : . I-Y- .. -"-T-f-'-'-':--i'\T-----' , -'--'---; 
I I !: I. - \. , 
..... .. \. -... . _______v-_...__ _.. -----1'--- 
I 1 I ". \ : l 
: ....t -_.._
-
J- \ I __ _ 
\ ; : : I 
.. 
\: ; I 
 
t i i I 'I 


--
t-,-
w-r,ł : . \ 
'\ : ) ' -ł- '\ 
j 
 I I: ' \ 
r. --- "ł ..._.
_:. ....-ł-- !lo 
O 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 .J.4 
_ przemieszczenie poziome węzła I 
_ horizontal displacements in the node I 
- - .. - przemieszczenie poziome węzła 2 
.. - .... horizontal displacements in the node 2 


'o, 
b 


1,5 


1,0 


t. 10- 3 [s] 


Rys. 3. Drgania wybranych punktów belki: a) przemieszczenie pionowe węzła 2. b) przemiesz- 
czenia poziome węzła I i 2
>>>
Analiza drgań belek ... 


249 


Mając funkcje kształtu można na podstawie wzorów (19) obliczyć wyrazy macie- 
rzy (21). 
Na rysunku 3a przedstawiono wykres ugięcia środkowego punktu belki w funkcji 
czasu dla dwóch zadań: geometrycznie liniowego i geometrycznie nieliniowego. Prze- 
bieg drgań podłużnych sprzężonych z poprzecznymi w podporze przegubowo- 
-przesuwnej pokazano na rysunku 3b. Rysunek 4 przedstawia zmianę w czasie prze- 
mieszczenia pionowego punktu środkowego belki dla dwóch przypadków obciążenia. 
Z analizowanych przykładów wynika, że amplitudy przemieszczeń są dwa razy większe 
od przemieszczeń statycznych, zmiana siły Po powoduje proporcjonalny przyrost prze- 
mieszczeń w zadaniach geometrycznie liniowych i nieproporcjonalny przyrost prze- 
mieszczeń w zadaniach geometrycznie nieliniowych. 


;:: r,:::::' 
('I o 
b- 
-:-£ 


::1 
-; C"
 
ł""ł 
 
'" C 
- I:: 
" 
f;
 

 
 

 
 
.
 
 
...:: 
" " 
'_ v 


 
U .
 


 
" - 
.
 .
 
" ... 


 


6,0 l l , -- I ,.r" f"- 
 
 
 
7 
-4 -[s]-
----' 
_ ! I I \' " i , J \1 
'.0 i 
 ' -': \- - ! : i /t--_.:\ 
! I i 1\ ! I : Ił: \ 
".5 ; 1 

1Tt '\ 
-I , I ! , I ; '" " 
3.' I - , I I \ 1-' I . 
I :, ! I \ I I, \ i 
I: '!! I \ : 
2.0 I 
-t---łt " 
'\ ' , , !' 
, \ i I ' \ 
'-:--'\-+-7 i: ! \ 
\ j l 1-.1-...-L.-..-+-\ 
28 32 36 40 44 


---"'TI 


L5 


0.0. 
O 4 8 12 16 20 24 
_P(/)=O,ł- H(/) [MN] 
- - - - P(/) = 0.5 . H (/) [MN] 


t. 10- 3 [s] 


Rys. --l. Drgania pionowe belki w węźle 2 przy zwiększającej się sile Heaviside'a 


Dodatkowo dla porównania poprawności obliczeń zastosowanej metody wykona- 
no obliczenia stosując pakiet programów metody elementów skończonych - Statyka, 
dynamika modeli liniowych (opracowany pod kierunkiem prof. M. Kleibera). 
Tabela I zawiera zestawienie rzędnych linii ugięcia w węźle środkowym belki, 
w kolejnych punktach na osi czasu. wyliczone metodą elementów czasoprzestrzennych, 
metodą bezpośredniego całkowania równań ruchu (metoda Wilsona) i metodą superpo- 
zycji modalnej. Rezultaty obliczeń są praktycznie takie same.
>>>
250 


Anna Podhorecka 


Tabela l. W J brane wyniki obliczeń sprawdzających 


I 
0.0000 
0.1525 
OA037 
0.8209 
32 1.4483 
40 2.0539 
48 2,7912 
56 3.5171 
64 4.1173 
T2! 4.7327 
80 5.1229 
88 5.3605 
96 5.4848 
104 


5. ZAKOŃCZENIE 


l. Zagadnienie brzegowo-początkowe na przykładzie belki doznającej stosunkowo 
dużych przell1ieszczeń i odkształceń rozwiązano przy użyciu ll1etody ełell1entów 
czasoprzestrzennych. Równania nieprzyrostowe teori i sprężystości sformulowano 
w uogółnionYIl1 opisie Lagrange'a. Następnie na podstawie równania czteropracy 
wirtualnej wyprowadzono równania ruchu MECZ. które tworzą uklad równań alge- 
braicznych nieliniowych. 
J Analizowano wplyw nieliniowości geometrycznych na przemieszczenia. siły prze- 
krojowe oraz częstości drgań. W wielu reałnych przypadkach wplyw ten ll10że być 
istotny tak pod względem ilościowYIl1. jak i jakościowym. Uzyskane \\yniki charakte- 
ryzują się wysoką dokladnością. Nieliniowe równania ruchu MECZ udalo się lat\\!o 
rozwiązywać proces. a proces iteracyjny charakteryzowal się szybką zbieżnością. 
3. Metoda elell1entów czasoprzestrzennych. jako pewien wariant ll1etody ełementów 
skończonych, stanowi bardzo dobre narzędzie do analizy zagadnień początko\\n- 
brzegowych przy uwzględnieniu różnych efektów nieliniowych. 


LITERA TURA. 


[1] Kączkowski Z.. 1975. The method uf tinite spacc-time elements in dynamics ol' 
structures. J. Techn. Phys. 16. l. 
[2] Kączkowski 2., ! 976. Metoda czasoprzestrzennych elementów skoriczonych. Inż. 
Ląd. 22. 3. 
[3] Kączkowski Z.. Ż szko jyJ.. 978. Drgania gietnc preta metodą czasoprzestrzen- 
nych ełementów skończonych. Arch. Inż. Ląd. 24, I.
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54.- 2004 


OBLICZENIA STANU NAPRĘŻEŃ W ZLOŻONYCH UKŁADACH 
PL YTOWYCH O NIECIĄGL YCH WARUNKACH BRZEGOWYCH 


Robert Ran, Mykhaylo Delyavskyy, Adam Podhorecki 


K:llćdra Mććhaniki Konstrukcji 
Wydzial Budownictwa i Inżynierii Środowiska ATR 
ul. l'rof. S. Kaliskiego 7. 85-796 Bydgoszcz 


W pracy przcdst:l\\iono metod.; analityczI1l do obliczeń statycznych ukladÓw 
pl: towych o nićciąglych warunkach brzegowych. PoszczegÓlnć rozważane rÓwna- 
nia sforrnulO\,ano \\cdlug teorii plyt średnich. 


SłO\\a kluczm,c: ć!cmćnt plytcJ\\Y. funkcje ksztaltu. plyta średniej grubości 


I. WSTĘP 


Metody komputerowe bazujące na metodzie elementów skończonych umożliwiają 
rozwiązywanie dowolnych dźwigarów powierzchniowych, tj. między innymi płyt 
o specyficznych cechach (zmienne warunki brzegowe, płyty cienkie, średnie lub grube). 
W ll1etodach tych utrudniona jest jednak analiza jakościowa, stąd nadal stosowane i roz- 
wijane są ll1etody analityczne. W pracy rozważa się układy płytowe składające się 
z elell1entów płytowych średniej grubości. Istnieje wiele sposobów rozwiązania takich 
elementów płytowych. a wśród nich metoda opracowana przez Prusowa [I]. Metoda ta 
polega przede wszystkim na specjalnym opisie runkcji przemieszczeń, 
Stosowanie układów płytowych w budownictwie jest dość powszechne (np. płyty 
stropowe. płyty pomostowe mostów). Zdarzają się liczne uszkodzenia takich płyt (np, 
spękania wspornikowych płyt chodnikowych w mostach) z powodu niewystarczającej 
lub błędnej analizy statycznej. W tej sytuacji poszukiwanie efektywnych metod anali- 
tycznych wydaje się uzasadnione, gdyż wlaściwie przeprowadzona analiza jakościowa 
problemu może przyczynić się np. do sformulowania niektórych zaleceń projektowych. 


! RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE OPISUJĄCE 
ELEMENT PL YTOWY 


Rozważa sie układ płytowy sredniej grubości o niejednorodnych warunkach brze- 
gowych obciążony poprzecznie. raki dowolnie złożony układ płytowy dzielimy na ele- 
Iell1enty płytowe. '-lastepnie rozwiązujemy poszczególne elementy płytowe z określo- 
nymi warunkami brzegowymi oraz warunkami ciągłości przell1ieszczeli i sił w ll1iejscu 
połączenia tych elementÓw. Element płytowy (zwany dalej płytą prostokątną) o gru- 
bości 2h wy konany jest z materiału jednorodnego i izotropowego. Przyjmujemy. że
>>>
254 


R. Ran. M. Delyavskyy. A. Podhorecki 


w stanie nieodkształconym powierzchnia środkowa plyty pokrywa się z płaszczyzną 
OXIX:, 
Płytę średniej grubości opisują następujące funkcje i równania [ l J: 
a) funkcje przemieszczeń 


l CH' i"F (
ct: J 
III = - x3 
+Ao (x, )--::--AI (X3 )
 . ' 
eXI eXI eX2 


[ ("'\1' . ('F ?ct: j 
lI2 =- xJ 
+Ao (x3 )
+)cl (X3)--::- ' 
(X2 (:'2 ( xI . 


( I ) 


w = 'l'(xl ,x2 ) 


i odkształceń 


SajJ =
(lIa,jJ +UjJ,a)' 


l 
[;'a 3 =:;- ( lI a .3 + w a ). [;'33 = O, 


dla a.j3=1.2. 


(2) 


b) funkcje opisujące wielkości statyczne. tj. naprężenia 


(JajJ =
[(I-v)[;'ajJ +ved a / i ] . (Ja3 =0/,'a3' a 33=0 (3) 
1- v- 


i siły przekrojowe 


h h 
1\-l ajJ = f x3(JajJd'3' Q = f (Ja3 d '3 
-h -h 
c) podstawowe równania teorii plyt średniej grubości, tj,: 
- równanie biharmoniczne 


(4) 


y2y2W=
. 
D 


(5) 


- równanie Helmholtza: 


y 2 ct:_il. 2 ct:=0 


(6) 


- równanie dodatkowe 


, o 
F =[;
y-w, 


(7) 


gdzie: 

) (.\"3)' Al (X3) - nieparzyste run kc je zm lennej -'".o spełniające warunki 


D 
q 
E 
eJ 


Aj (O) = Aj (h) = O dlaj = 0.1. 
- sztywność płyty na zginanie i skręcanie. 
- obciążenie zewnętrzne przyłożone do powierzchni płyty, 
- moduł Younga. 
- moduł Kirchhoffa.
>>>
Obliczenia stanu naprężeń ... 


255 


e = c'll +6'22 


współczynnik Poissona, 
- symbol Kroneckera, 
- dylatacja, 


v 
baj} 


et i F - są dowolnymi funkcjami zmiennych xI l X2 ' 
natomiast runkcja w określona jest następującym wzorell1: 


w= w+k(JF. (S) 


3, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE OPISUJĄCE ELEMENT 
PL YTOWY 


W zależności od sposobu podparcia krawędzi elementu płytowego. rozwiązanie 
podstawowych równań teorii płyt średniej grubości może przyjąć różną postać. Rozwią- 
zanie dla przypadku. w którym warunki brzegowe na przeciwległych krawędziach są 
sYll1etryczne. pokazano w pracach [2-9]. W naszej pracy rozpatruje się przypadek ogól- 
ny i wtedy całka równania (6) przyjll1uje postać: 


'" _ 
 f[ I] ( ) . .[ 2]. f [1] ( ) . [2] . f .[ 2 ] ( . ) .' ,[1] 
'-1-'- L. l/3m xI Sltl()m\2 +. 4Jn X\ COS lm '\2 +. 3/11 x2 SltlÓ m xl + 
/11=\ 


[2] ( ) [I]) 
+/4m X2 cos /m Xl f ' 


(9) 


a równania (5): 


H' = w(J + H'* . 


(10) 


gdzie: 


, _ 
 f[ 1) ( . ) . .[ 2] .[1] ( . ) . ) 2]. f ,[2] ( ) ,[ l] 
HI) - L. l/liii '\1 COS Ó I // '\2 + /m2 x\ sm i /11 '\2 +. m\ X2 cos Ó I11 xI + 
111=1 


P] ( ) . [I] ) 
+//112 x2 Sltl 1/11 xl J 


(I l) 


. - f 
 l ' ,. ( .[1] . ) , ( . .[2] . ) B ( .[1] . ' J . ( '..[2]. ) 
\1" - L- L.. '
IIII/ cos \ ()m '\1 COS ()II '\2 + lilII COS Ó m '\1. sm uli X2. + 
111=111=1 


, . ( '.[ l] . ) . ( .[2] . ) D , ( '.[ I] . ' J .' ( .[ 2 ] ) ' J ' 

Cillll sin ')m '\1, COS Ó II '\2 + lilII Sltl Ó m '\1 sm ()II x2 . 


gdzie: 


,[I]_ (2m-I) , .[2]_ (211-]) 
()m - ') ,7 . ()II - ') f[ . 
-(/1 _rh 


( 12)
>>>
256 


R. Ran. M. Delyavskyy. A. Podhorecki 


A1I1I1' B IIII /, C 1I7I1 . DIIIII są parametrami nieznanymi. Dla ich określenia rozkladamy wpierw 
obciążenia zewnętrzne Cf(xI' x2 ). przyłożone do powierzchni górnej płyty, w cztery po- 
dwójne szeregi Fouriera: 


W :JJ [ 
_ . ,(1] . .[2] . . .[ l]. . .[ 2] . 
Cf(XI' X2) - I I a/11n cos (om XI) cos (on .X2) + h llm COS ((\n 'Xl ) sm (on ,X2) + 
/11=ln=1 


. ( .(1] ) ( .[2] ) I . ( .[ I] ) . ( .[2 ] ) l 
+C mn sm Om x, COS On X2 + (/111/ sm Om XI sm (\/ X2 J' 


(13 ) 


Następnie wyrażenia (ł ł) i (13) podstawiamy do równania (5). Przyrównując wy- 
razy przy jednakowych harmonikach uzyskujemy uklad liniowych równań algebraicz- 
nych względem nieznanych parametrów AIIlII' B IIII /. C IIlIl . Dl/II/ . 
W celu wyznaczenia nieznanych funkcji .I;[/](x J ) (dla i = 1.:2.3.4 ij = I..2) wyra- 
żenia (9) i (II) podstawiamy do równania (6) i jednorodnego równania (5). W ten spo- 
sób z układu równań różniczkowych cząstkowych przechodzimy do uktadu równań 
różniczkowych zwyczajnych, zależnych tylko od jednej zmiennej [3]. Ostatecznie po- 
szukiwane funkcje przyjmują postać [9]: 
f .[j] ( x . ) = R[j] F[j] ( x . ) + R[i] FLJ] ( x , ) 
+ R{i] FLJ] ( x . ) + R[i] F[i] ( x ) Xi 
. Im i lm Im i 2m 2m i ."11 2m. i. -łm 1/11 i 
aj U/ 


j '[i] ( X . ) = R[i] F.U] ( x . ) + R[i] F[i ] ( x ) 
 + R[i] F[i] ( .x , ) + R[i] FJ J ] ( X ) 
 
. 2/11 i )/11 ."n / 6m -ł/11. / 7m -łm i Xm.J lm i . 
. . aj a/ 
j [i] ( \,. ) =J;J[J].FJ!] ( \'. ) +R[;] .F[J] ( x ) ( ł--l ) 
. 3m . J "'im )m . J 10m 6/11 . i . 
f ,[i] ( . \' . ) = R[i] ,F[J] ( . \' . ) + R[i] . F[i] ( \' ) 
.-ł/11'i 11/11 7m'i 12m Xm 'i . 


Parametry RE} (przy k = 1-/2 i j = 1.2) występujące w powyższych wzorach są 
stałYll1i, za pomocą których spelniamy warunki brzegowe na krawędziach elementu pjy- 
towego. natomiast Ff
!z] (przy I = 1-8 i j = 1.2) są runkcjami podstawowymi. za pomo- 
cą których spełniamy podstawowe równania teorii pjyt sredniej grubości: 


p[i] \' = cosh(o',VJ xJ ) 
. Im (. i ) ( [] , 
ex p O' J a .1 
. m J 
[;] .' _ cosh (?J,{] xi ) 
F 3m (.xi ) - ( [i] ) . 
exp }Im (/i. 


. ł ( '[i] ) 
F[i] . \' = Sin 1 ,um Xi 
2m (. /) ( ' '[i J ) . 
exp Om a/. 
[i] . _sinh(i{;J y /) 
F-łm (.l / ) - 
. ex p ( )/ ] U .) " 
. /111 I
>>>
Obliczenia stanu naprężeń ... 


257 


( [J] ) 
cosh 0) 1 X .J ' 
[J] 11/ 
F'II/ (xI) = ( [J] I' 
exp (U I ;II al ) 
( [J] ) 
cosh OJ-, X J ' 
[I] ( ) _ _11/ . 
f" x - 
/11/ I ( [] ) 
exp w,1 a . J ' 
-,-Jll 


. h ( [I] I 
sm wlmx J ) 
F[J] ( x. ) = 
611/ . J ( [J] I' 
exp w Jm aj ) 
. h ( [i] ) 
sm (U
 X J ' 
[J] _m 


m (XI) = ( [J] I ' 
exp W2I1/aJ) 


(ł 5) 


gdzie: 


) ") 
w[J] = ,12 +15[3-/]- . eJ!] = A 2 + y [3- / ]- 
1m m 2m In 
'[/] _ (2m-I)/T ,[J] _ mJr 
011/ - , Y m - . 
20 J aj 


(16) 


4. OPIS WIELKOŚCI STATYCZNYCH IGEOMETRYCZNYCH 
ELEMENTU PL YTOWEGO 


Podstawiając funkcję (9) i (10) do związków (l) otrzymujemy wyrażenia opisujące 
przemieszczenia równolegle do plaszczyzny środkowej elementu płytowego o numerze n: 
(II) _ I \/ J !L /(II) j . R (II). ( . .(2] ,(11) ) l L /(II) j . [ ' R (I1) j . . ( , [2] (II) ) 
II I - l I I COS ()II/ .c, +, ., sm YII/ x., + 
m l1J _ _/ll _/J1 .... 
111=1 L Ix6 . Ix6 6xl 
ll i(II) J -.' lR (II) l . . ( .[1] .(11) ) [l r(lIl j ' lR (I1) J -.' ( . [1] (11) )1 1 
+ o. . sm O /II ,c l + /, ,.:OS V III x, + 
_H}/ 
)/}J J -t1Jl -tlił I ł 
Ix6 6xl Ix6 (HI 


(17) 


\/ 
'" i (n) . ( ' .[ I ] ( II) ) . ( .(2] (111 ) 
+ L.. L fJ sm ()/ll xI COS ()II/ x 2 
11/=1 
(II) _ 
 J 1 'V(II) j ' !R (II) l. . ( .(2] .(II)' ) -'- l ,.(II) J lJ , R III)!.. ( ,[2] (II) .) 
li, - / ' l II , . sm ()II/ .c, ,r, I") I cos Y m x, + 
_ 
 JJl m _ _111 I _111 _ 
11/=1 
 L J - 
 
Ix6 hxl Ix6 6xl 
lf .(II)- I ' lR III )l.. . ( ,.[i] (II) ) lf .(lIilJ R (II) ] . . ( ', [i] .1 11 ) ) 1 
+. ., .:OS U/II XI + -I I . -1 sm v/ll ,c l J + 
.)Jll....J _'111 J, IJ/ J L 111 1 
Ixó 6xl Ix6 6x1 

 .(11) ( ' .[1] (II) ) . ( .[2] (II) ) 
+ L f fJ COS ()II/ xI sm()1I/ x 2 . 
11/=1 


oraz przemieszczenia prostopadle do plaszczyzny normalnej:
>>>
258 


R. Ran, M. Delyavskyy. A. Podhorecki 


(n) = I ,il {l w(n) j ' lR (nJ j . ( d2] (n) ) l / f.(n) ] . lR (I1) j . . ( ,[2] ,(11) ) 
W YY I I cos um x, + L Y, ,sm 1m ,\, + 
/11 m .;... _111 _m .;... 
m=1 Ix6 6xl Ix6 '(nI 
l W (n) j . lR (I1) j , ( di] .(n) ) -,- ll , V (n) j . !R (I1) j . . ( ,[I] .(n) .) l 
+, 3 COS U /II '\ 1 'I I sm Y /II '\ 1 j + 
_'m m --ł-m -ł111 I 
L 
!x6 6xl Ix6 (nI 

 (n) ( [I] (n) ) ( ,[2] (11) ) 
+ L.... Wp cos Om XI cos 15//1 X 2 . 
//1=1 
Korzystając z zależności (4) otrzymujemy wzory opisujące momenty zginające: 
v/(n)=
 {l y(n) j ' l R(I1) ] . ( ,,[2],(11) ) ' l y(l1) j . l R(I1) j ... ( ')2],(11) ) 
'11 L.... ./ lm Im cos (m '\2 +. 2m 2m sm i /11 '\2 + 
m=1 Ix6 - 6xl 1.\"6 (ni 
l v(n) ] . lR (n) j . ( .[1] ,(n) ) l v(I1) ] . lR (I1) j . . ( ,[i] ,(11) ) 1 
+ "' 3m 3m cos 15m ,\, +"' 4m 4m sm 1m '\1 J + 
Ix6 6xl Ix6 6xl 

 .(n) ( .[1] (11) ) ( ,[2] (11) ) 
+ L.... 
\ p cos, 15m Xl cos Om x 2 
m=l 
,\;/(11) = 
 {l }An) j ' l R(I1) j . ( 6'[2] ,(11) ) I ry(I1) J '.1 R(I1) j .,. ( )2] ,(11) ) ' 
i 22 L.... Im Im cos m '\2 + 2m I 2m Sin; m '\2 + 
m=1 lx6 6xl ' - Ix6 L 6xl 


( 18) 


l y(l1) j . l R(n) j . ( )"[l] ,(11) ) l y(n) j .lR(I1) J l... ( ,[I] ,(11) ) 
+ 3m 3m cos (m ,\, + 4m I 4m sm 1m xI + 
L 
Ix6 6xl lx6 (ni 


( 19) 


\/ ( )) () 
. (n) 
[I] (11 .[2] (11) 
+ I Y p cos Om XI COS 15m X 2 .' 
m=1 


ll1oll1ent skręcający: 


1, / (11) = I \I f lZ (I1) j ' lR (I1) j . . () .[2] ,(11) ) _1 , Z ( . I1) j . !R (Il)I I .' . ( )2] ,(11)' ) 
i " l I I sm (m .\, ,I., , cos. m .\, + 
- JJ1 111 _: _1Jl _JJl I I _ 
m=l 
 
 
 
Ix6 6xl 1.1"6 6xl 


+1 Z!I1) ] .! R!n) l ,sin ( ()"[IL,,(n) ) -,- l Z(I1) 
L ,,,,, L.Jm J //1 l 4m 
Ix6 6xl Ix6 


(11) '1 [l] (/1) ) ' 
R 41ll f' COS 1,11 xl -'- 


(20) 


(ni 


+ 
 Z(n) sin ( 6[i]x(I1) ) sin ( o,[2]x(l1) 
L.... p III . I m . 2 
111=1 ' 


oraz siły poprzeczne:
>>>
Obliczenia stanu naprężeń ... 


259 


d") = 
 1 1 dn) J . l R(n) J .' , ( )[2] .(n) ) l c(n) J . . 1 R(II) J . . ( , [2] ( . ") ) 
_I L L 1111 1111 COS (III X 2 + '2111 2//1 SIn fm X 2 + 
111=1 L 
Ix6 6xl Ix6 6xl 
IcH J J R(II) J . . ( )[i] Jn) ) 1 d n ) J J R(n) J . ( , [I] (n) )] 
+ L 3111 L 3111 sm (,II xI + L -+111 L -+111 COS YIII XI + 
Ix6 6xl Ix6 6xl 



 ,(n) . ( .[1] (11) ) ( .[2] (11) ) 
+ L CIp SIIl Ó III XI COS ()III X 2 . 
111=1 


II I 
d")=, 1T,(II) J JR(n) J .' ( )[2]JII) ) IT(II) J JR(II) J . ( ,[2]JII) ) 
-2 L l L 1111 LIlii Slll 'III "2 +L 2111 L 2111 COS fili .t 2 + 
111=1 Ix6' 6xl Ix6 6xl 
I T (II) l J .I R (II) J . . ( .[i] ,(11) ) lT (II) J . [R (n) J . . ( [i] ,(II) )! 
+ l ' I, COS ') "1 .t l + I I SIn V III X I 
.J111 I _'111 -łt11 -+171 I 
L 
Ix6 (HI Ix6 6xl 
V . . ) 
(11) .[ i] (11) . .[2] (11) 
+IT p cOS(ÓIIIX 1 )SIn()III X2 . 
111=1 


(2 ł) 


gdzie wielkości: 


l U;,
) J 'lf -L') J 'lW/
I'I') J ,[.rt) I-l Y;
:,') J . [Z;I;;) J 'l G,
;;) J 'l 

:11) J (dla i = L2.3.4) 
Ix6 Ix6 Ix6 Ix6 Ix6 Ix6 Ix6 Ix6 


występujące w powyższych wzorach, to sześciowyrazowe wektory zbudowane z tzw. 
funkcji kształtu danej wielkości geometrycznej bądź statycznej. Funkcje kształtu utwo- 
rzone są na podstawie runkcji cząstkowych opisanych wzorami (15). l Rt:) J (dla i = l, 
Ix6 
2,3,--1) to sześciowvrazowv wektor stałych P arall1etrów R\") ( p rZY k = ł-24 ) , za P 0Il10- 
" , lilii' 
cą których spelniamy warunki brzegowe na krawędziach elementu płytowego. Indeks n 
w powyższych wzorach oznacza numer elell1entu płytowego. 


5. PRZYKL
D OBLICZENIOWY 


Opisana metoda stanu naprężell zostanie zaprezentowana na układzie płytowym. 
złożonym z dwóch elementów płytowych. pokazanYIl1 na rysunku l. 
Krawedzie A. B. D. E 
ą wołnopodparte, krawędzie C i F- swobodne, natomiast 
H jest krawędzią wspólną obu elementów. Na element nr 2 dziala obciążenie równo- 
miernie rozłożone na calej powierzchni.
>>>
260 


R. Ran, M. Delyavskyy. A. Podhorecki 


c 


x(1) 
Al 
! 


D 


.A:!} 
'
i 
A 


r- I I 
al 
A 
ł-- 
-
 
1.- 


-------....-------- 



 x1"n 


fi 


"- 
.,r,2) 


E 


elo::m:nl... ] 


derrelt ... 2.dJci
 


B 


F 


-aP 
.;. 


a\1) 


-fi? 


a
2) 


Rys. I. Schemat ukladu plylO\..ego 


W analizowanym przykładzie na poszczególnych krawędziach mamy do spełnie- 
nia następujące warunki brzegowe: 

 na krawędzi A: w(XI ,x2 = -a2) = O, ,\.1 22 (XI ,x2 = -a2) = O, 
.\1 12 (-'"I'X2 =-a2)=0. 

 na krawędzi B: w(x1 =-a"x2)=0, Mil (xI =-al,x2)=0, 
,'\I[I=(X 1 = -0..x 2 )= o. 

 na krawędzi C: .\-1 11 (XI = al ' x2 ) = O. 
 (XI = al ' x2 ) = O , 
:\1'12 (XI =al,x2)=0. 

 na krawędzi D: w(XI =al,x2)=0, '\,{II(XI =a\-'"2)=0, 1\-1 12 (XI =al,x2)=0, 

 na krawędzi E: w(XI ,x2 = U2) = O, '\;/22 (XI'-'"2 = a2) = O, 
'\;/21 (xl,X2 =a2)=0, 

 na krawędzi F: ,\III (XI = -ul ,X2) = O. 
 (xI = -al ,x2) = O, 
,\I12 (XI = -u"x2) = O, 

 na krawędzi H: w(l) (.'r
I) ,x!l) = 
I») = w(2) (x: 2 ) ,x
2) = -af»), 
\, / (1) ( (I) (I) _ (I» ) _ ...(2) ( (2) (2) _ (2) ) 
. ] ł xI ' x 2 - 'l2 - Mil XI . x 2 - -a 2 . 
(I) ( (I) (I) _ (I» ) _ (2) ( (2) (2) _ (2» ) 
III xI ,x 2 - a 2 - ul xI ,x 2 - -u 2 
. f (l) ( I) (I) _ (1) . ) _ \. 1 (2) ( (2) (2) _ _ (2» ) 
,v 2] xI .X 2 -u 2 -I 21 XI 'X 2 - a 2 .
>>>
Obliczenia stanu naprężeń ... 


261 


II
I) (x
l) ,x
l) = a
I)) = 11;2) (xf2) ,x
2) = _a
2)), 
Q;I) (x
l) ,x;1) = (/;1)) = Q;2) (xf2) ,x
2) = _a;2)). 


Podstawiając do tych warunków wyrażenia (ł 7-0-21) otrzymujell1Y liniowy układ 
równań algebraicznych, po rozwiązaniu którego uzyskujemy nieznane parametry 
RHin). Ponowne podstawienie tych parall1etrów do wyrażeń (ł 7-0-2 I) pozwala okreśłić 
przemieszczenia. mOll1enty i siły tnące w złożonYIl1 układzie płytowYIl1. 


LITERATURA 


[I] npYCOB VI.A.. 1975. MeTOl! COnp5DKeHH5I B Teopml nmn. VI3L\-BO 6e.
opyc. YH-Ta 
MHHCK, 256. 
[2] rpiHlleHKo Jl.. PaH P.. J],emBcbKHM M.. 2003. P03paxYHoK HanpYlKeHO-L\ecpop-Mo- 
BaHoro CTaHY n.
OCKHX KOHcTpYKuiM, CKJlaL\eHHX 3 i30TponHHx nmlT. V YKpa'iH- 
CbKo-no.DbCbKHM HaYKoB
Ii1 c
IMn03iYM: 3MiwaHi 3al!a4i MexaHiKH HeoL\HopiL\HHx 
CTPYKTYP, Te3. :lOn. JlbBiB. 18-23 BepeCH5I 2003. 34. 
[3] J],eJl5lBCbKIIi1 M.. HarypKo B.. OHHWKO Jl.. KpaB'łYK M., 2000. MeTOl! p03paxYHKY 
TOHKIIX np5l\loKYTHIIX 1l0nepe'łHO HaBaHTalKeHHX aHi30TponHHx nJlHT II HaYKoBi 
HOTaTKH. MiiKBY3iBCbKHi136ipHHK (3a Hanp5lMKOI'vI ..IHiKeHepHa MexaHiKa") BHn.7. 
83-85. 
[4] Olejniczak M.. Delyavskyy M.. Kravczuk M.. 2000. Analiza zginania ortotropo- 
wego posll1a płytowego. [W:] Budownictwo ogólne. Zagadnienia konstrukcyjne, 
materialowe i cieplno-wilgotnościowe w budownictwie. Wyd. Uczeln. A TR Byd- 
goszcz. 81-89. 
[5] Delyavsky M.. Krawczuk M.. Nagórko W., Podhorecki A.. 2002. Pure bending ol' 
orthotropic elastic rectangle beall1. Engincering Transactions 50( 1-2),55-67. 
[61 Golaś L Podhorecka A.. Delyavskyy M.. Kravchuk M.. 2002. On the approach to 
the solution ar bending problem 1'01' laminated plates. Mechanics ol' COll1posite 
iVlaterials 38(3). 253-262. 
[7] Podhorecki A.. Dclyavskyy M.. Ran R.. Beregova N.. 2002. Określenie stanu 
naprt;żeń w płytach prostokątnych średniej grubości, [W:] XLI SYll1pozjon 
PTMTS, Zesz. Nauk. Katedry Mechaniki Stosowanej 18. Gliwice. 355- 360. 
[8] Podhorecki A.. Delyavskyy M.. Ran R.. 2003. O pewnej Il1ctodzie rozwiązywania 
układów płaskich zlożonych z elementów płytowych. [W:] Budownictwo ogólne. 
Zagadnienia konstrukcyjne, materiałowe i cieplno-wilgotnościowe w budownic- 
twie. Wyd. Uczeln. A TR Bydgoszcz, 123-129.
>>>
262 


R. Ran, M. Delyavskyy, A. Podhorecki 


ANAL YSIS OF'ST A TE STRESS IN TI-IE JOINT PLATE 
CONSTRUCTION WITH DISCONTINUOUS 
BOUNDARY CONDITIONS 


SlIll1mary 


The method to analysis the state ol' stress in the piane constrllction built from plate 
elements is suggested. Presented calculate approach give possibility perrectly satisfy 
eqllilibrium equations written in the displacement variant. The method is consisted with 
two parts, In the first part the displacement equilibrillll1 equations are solved perfectly 
for a plate element. In the two part the all static and kinematics quantity are deterll1ined 
in such ll1anner that boundary conditions at the external edges while the continllos con- 
ditions at the COll1ll1on edges are satisfied. The plate elements constrllcted within the 
frame ofmoderate thickness plate theory are used in this report. 


Keywords: plate element. function ol' 1'01'111, moderate thickness plate
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


WYZNACZANIE DYNAMICZNEGO MATERIAŁOWEGO 
MODUŁU ROZDZIERANIA DLA WYBRANYCH 
STOPÓW METALOWYCH 


Jan Sadowski 


Kah:dra lvkehaniki Stosowanej 
Wydzial lvkehaniezny A TR 
ul. Pro!'. S. Kaliskiego 7. S5-796 Bydgoszcz 


Wart) kuk. \1 oparciu o hadania wlasne przeprowadzone na oprzyrządowa- 
n) m miocie udanmynL \\ y/naczono dynamiczne moduly rozdzierania 7;"", dla 
\1 yhranej grupy stoplm metaIO\\yeh. Dla \\y/naczania 7;",,, /astosowano metodę 
/atr/) mania ro/\\oju pęknięcia. tzw. metodę wieloprÓhkową Modul ten \1 sto- 
sunku do znanych parametrlm dynamicznej odporności na pękanie Kd' .lld może 
stano\\ ić dodatkO\lą ilośeiO\\ą oecnę możli\\()śei eksploatacyjnych materialu 
\\ \Iarunkaeh d) namiezn) ch oheiążeń. 
SIO\la kluC/O\lc: odporność na pękanic mate rial Ów, dynamiezn) modul rozdzie- 
r,lIlla 


l. WSTĘP 


W badaniach materiałowych opartych o kryteria mechaniki pękania jednYIl1 z naj- 
istotniejszych elell1entów prawidłowej oceny parametrów odporności na pękanie jest 
precyzyjne wyznaczenie obciążenia w chwili inicjacji pękania materiału zarówno przy 
obciążeniu statycznym. jak i dynamicznym. Jest to obciążenie. dla którego wyznacza 
sie kryty czne wartości wielkości charakteryzujących odporność materiału na pękanie, 
czyli wielkości. które są traktowane jako stałe materiałowe w obliczeniach inżynier- 
sk ic h, tj.: statyczną (!\h' .I h ) I ub dynam iczną (!\!d' .1 1 ,1) odporność materiału na pękanie. 
Parametry te przy porównan iu z krytycznym współczynnikiem intensywności naprężeń 
(statycznym lub dynam icznym) umoż! iwiaja ocenę dopuszczalnych naprężeń, jakill1i 
możemy obciążyć material przy założonej wielkości wady lub ocenę krytyczną wielko- 
ści tej wady Ibezpiecznego pęknięcia). przy założonym obciążeniu statycznym lub dy- 
nam iczny m. Inne znane parametry mechaniki pękania to równ ież: krytyczne rozszerze- 
nie - o (COD). wiązkosć materiału (Je. 
O ile określenie sily (energii) inicjującej początek pękania materiału w warunkach 
obciążeń statycznych jest na ogól latwe i jednoznaczne [ł], to w przypadku obciążeń 
dynamicznych problem ten napotyka na duże trudności. zwlaszcza dla ll1ateriałów pla- 
stycznych. i trzeba szukać nowych metod badawczych [2,3]. 
Mechanika pękania. oprócz orerowanych parametrów, poszukuje coraz nowszych 
wskaźników opisujących stan i zachowanie się materiału w warunkach konkretnych 
obciażen eksploatacyjnych (statycznych. dynam icznych, zmęczeniowych itp.) i wyzna- 
czenie jego możliwości energetycznych w stanach awaryjnych (ekstrell1alnych).
>>>
264 


Jan Sadowski 


Jednym z takich parametrów mo
e być moduł rozdzierania materiału T""" (tearing 
modulus material), który może być dobrą miarą ilościową (liczbową) odporności mate- 
rialu przeciw rozwijającemu się pęknięciu [4]. Modul taki wyznaczyć można metodami 
empirycznymi wg tzw. krzywej kluczowej (key curve method) [4.5] lub metodą do- 
świadczalną-wielopróbkową (stop block method). tzw. zatrzymania pęknięcia [3.5]. 
W niniejszej pracy dokonano oceny dynamicznego modułu rozdzierania T ma' 
w oparciu o badania własne, metodą wielopróbkową (zatrzymania rozwoju pęknięcia) 
dla wybranych stopów metalowych. 


2. MATERIAL I METODYKA BADAŃ 


Metodvkę postępowania w ocenie dynamicznego modułu rozdzierania T mol' a zara- 
zem w ocenie najdokladniejszej wartości dynamicznej odporności na pękania J/
 meto- 
dą wielopróbkową (zatrzymania pęknięcia) dla badanych materiałów przedstawiono na 
rysunku I. 



 ,. .'. 
 .. 
· · d- -:: iii I . - -- 
. . ---- ..: -------- 

 
.. 
 
tz:l :tz:1..1Z:J 
'. , '. r f. , 
'-- ./ 
V 

 


FIWII 


21! 
J- 
_-0:1 


t r J . . 


". 


PI f. '. '. 


........
 
II. 4 ..............."" 
Aa . ....
........., 
..--- 
.J 


. 
w .0......0.. 


}
 


T .
 
..... oO...l8 


I.. 
.ó..-łL.o..1 
-.1 


.0.. 


Rys. I. Metodyka wyznaczania dynamicznego modułu rozdzierania T_oraz dynamicznej od- 
pornosci na pękanie J/ d metodą wielopróbkO\
ą (zatrz) mania pęknięcia) 


Badania wykonano na oprzyrządowanym młocie udarowym PSd-300. korzystając 
z opracowanego programu komputerowego FRACDYNA [5], szczególnie jego inodu- 
łow I. II, III. Badania oceny dynamicznego modulu rozdzierania T,_ przeprowadzono 
dla następujących stopów metalowych: stali 18G2A, I-łHNMBCu. N9E. St3S. staliwa
>>>
Wyznaczanie dynamicznego materiałowego modułu... 


265 


l:.20G, żeliwa sferoidalnego oraz stopu aluminium AKI2. Dla każdego z badanych ma- 
teriałów przyjęto do badań 10-15 próbek udamościowych, każda z wprowadzoną 
szczeliną zmęczeniową o równym stosunku a/W = 0,45+0,55 [5,6,7]. 
Zgodnie z rysunkiem l, wzrastająca udarowa siła F wywoływała w badanych 
próbkach stabilny przyrost szczeliny o 
a. Celem uzyskania różnych wartości przyro- 
stów długości pęknięcia 
a przy różnej sile obciążającej, u podstawy młota udarowego 
zainstalowano przyrząd ograniczający ruch noża wahadła młota udarowego. Schemat 
tego przyrządu przedstawia rysunek 2. 


3 2 


Rys. 2. Przyrząd ograniczający siłę uderzenia noża wahadła młota udarowego: I - ruchoma plat- 
torma oporowa. 2 - blokada platformy. 3 - wspomik z śrubą mikrometryczną, ... - badana 
próbka. 5 - nóż wahadla młota udarowego. 6 - oprawa noża wahadła. 7 - wkładka podpo- 
rowa. 8 - oprawa wkładki podporowej, 9 - podstawa młota udarowego 


Urządzenie to dzięki możliwości regulacji odległości X płaszczyzn oporowych 
platfonny ruchomej przyrządu od płaszczyzny uderzającej noża wahadła umożliwiło 
otrzymanie różnych wartości przyrostów długości pęknięcia 
a badanych próbek 
i uniemożliwiło całkowite zniszczenie próbki (zatrzymanie pęknięcia). 
Podczas każdej próby rejestrowano na młocie udarowym przebiegi obciążenia F(t) 
próbki oraz przemieszczenia j{t) w funkcji czasu. Przykład takiego wykresu dla stali 
18G2A przedstawiono na rysunku 3.
>>>
266 Jan Sadowski 
F[N] f[mm] 
obcl
"'ie 
a 
400Q 
7 
3000 a 
5 
2000 4 
5 
1000 2 
o o 
t[ma] 
o 1.0 2.0 5,0 40 


Rys. 3. Przykład wylo..resu obciążenia F i przemicszczeniaf\\ funlo..cji czasu I dla stali 18G2A 
(próbka nr 4) 


Otrzymane wykresy w dalszej kolejności przetransformowano na przebiegi F(f), 
celem obliczenia energii pochłoniętej przez poszczególne próbki obcią2:one ró:2:nymi 
siłami. Obliczone wartości energii odniesione do pól przekrojów próbek badanych po- 
słu
yły do wyznaczania wartości całki J w poszczególnych próbkach, którą liczono 
wzorem [5.7]: 


2£p 
J= 
B(w-a) 


(I) 


gdzie: 
E - 
p 


B 


energia absorbo",ana przez łamaną próbkę. odpowiadająca polu po- 
wierzchni pod krzywą obcią1:enie-przemieszczenie. 
szerokość próbki. 
wysokość probki. 
długość wprowadzonej szczeliny. 


w 
a 


Obliczone całki J odpowiadały różnym wartościom przyrostów pęknięcia t:J.a 
w badanych próbkach. 
Celem identyfikacji otrzymanego przy ka1:dej sile wzrostu przyrostu pęknięcia 
a 
próbki poddawane były utlenieniu w temperaturze 350°C przez 15 minut w piecu labo- 
ratoryjnym. po czym próbki te po ochłodzeniu dołamywano na młocie udaro"'ym. Na 
powierzchniach przełomu mierzono stretę wzrostu szczeliny 
a zabarwioną na niebie- 
sko. łatwo rozrMnialną w porównaniu z wprowadzon}m pęknięciem zmęczeniowym. 
Pomiarów dokonano w pięciu punktach (rys. I z lewej strony), rozmieszczonych 
wzdłu
 czoła pęknięcia zmęczenio",ego. a wartoŚĆ ..la z jednej próbki wyznaczono jako 
średnią arytmetyczną poszczególnych pomiarów na powierzchni strefy przyrostu pęk- 
nięcia. Przykładowo fotografie powierzchni przełomow próbek po dynamicznym obcią-
>>>
Wyznaczanie dynamicznego materiałowego modułu ... 


267 


żeniu z różnymi przyrostami pęknięć dla 'stali 18G2A. których wyniki rejestracji prze- 
biegów w badaniach metodą wielopróbkową przyjęto za ważne (punkt maksymalnej 
siły obciążenia był zbieżny z maksymalnym punktem przemieszczenia wg rysunku 3) 
pokazano na rysunku 4. 


:.
:
..;.o.
;
 
 
.
... "c ł '
'
'
"
 -1ft - 
:""
 ,.'
.";""'' '''''';'''' 'ł;'f« 

;
 t i
;,

,
g .
' 
N3 NZ 


NI 



L 


4- r-__._= 
;,TIi

!

tl 
. - 


_t
$t

 


N4 


N
 


;1refa Włamania 
strefa szczeliny zatrzymanej 
ftoot szczeliny zmętZmiowej 
ftont nacięcia ka.w mt:hnnicznego 


Rys. 4. Fotografie powierzchni przelomów próbek stali 18G2A po dynamicznym obciążeniu 
z różnymi przyrostami pęknięć 


Na fotografiach uwidocznione są stref);: przyrostu szczeliny zatrzymanej l1a, 
wprowadzonej szczeliny zmęczeniowej, karbu mechanicznego i dołamania badanych 
próbek. 
W dalszej kolejności sporządzano zależność obliczonych całek J od odpowiadają- 
cych im przyrostów długości pęknięcia l1a. Następnie aproksymowano otrzymane 
punkty prostą regresji, metodą najmniej szych kwadratów tworząc równanie krzywej 
oporu J = f(!:!.a) (krzywej J-R) przeciw rozwijającemu się pęknięciu badanego materiału 
(rys. I). Punkt przecięcia tej funkcj i ekstrapolowany z osią J (
a = O) wyznaczał kry- 
tyczną wartość całki J-J Id , odpowiadającą początkowi przyrostu pęknięcia i stanowił 
najdokładniejszą wartość parametru dynamicznej odporności na pękanie J 1d badanego 
materiału. 
Dynamiczny moduł rozdzierania Tmm wyznaczono z otrzymanej krzywej J-R wg 
wzoru [4]: 


E j.J 
T,lltJl = ----,- . 
 
0"0 o.a 


(2) 


gdzie: 
E - moduł Younga [MPa], 
a - dynamiczna granica plastyczności [MPa], 
j.J/
a - pochylenie krzywej J-R [J/m].
>>>
268 


Jan Sadowski 


Dynamiczną granicę plastyczności materiału określano ze wzoru [4,5J: 
2.85(F y + Fm)' W 
cr - 
0- BbJ 


(3) 


gdzie: 
Fm - obciążenie maksymalne próbki [N], 
F,,. - obciążenie na dolnej granicy plastyczności [NJ, 
bo - szerokość części próbki bez pęknięcia = W-Go [mm], 
W - całkowita szerokość próbki [mm], 
B - grubość próbki [mm]. 


Wartości obciążenia Fm oraz F". oceniono na podstawie rejestrowanego przebiegu 
F(t) łamanych próbek z karbem V na oprzyrządowanym młocie udarowym dla badane- 
go gatunku materiału. 


3. WYNIKI BADAŃ I ICH ANALIZA 


Na rysunku 5 przedstawiono wykres J-R otrzymany w warunkach obciążeń dyna- 
micznych metodą wielopróbkową na oprzyrządowanym młocie udarowym dla stali 
18G2A, oraz ocenę w oparciu o ten wykres dynamicznego modułu rozdzierania Tmat dla 
tej stali. 


j 
[kNim] 
400 



J 
Iga= - 
.\a 


300 


J,.+ 111.7 [kNim] 
T
. + 279.3 
Prosta rcgrcsii J-R 


200 


J = 61,84'6.a+121,76 
Obszar ważnych wyników 


100 


J,.,f 12U [kN/m] 


li 


0.2 OA 0.6 O, l 1.0 ł.
 lA 1.6 1.8 2.0 2.2 
-la,. Przyrost długości p
kni
cia L\a [mm] 
 


Rys. 5. Wartości zmian całki J w funkcji przyrostu dlugości pęlnięcia la oraz ocena dynamicz- 
nego modułu rozdzierania T mul dla stal i 18G2A 


W tabeli I przedstawiono natomiast w oparciu o opisaną uprzednio metodykę ba- 
dań rezultaty obliczonych wartości dynamicznych modułów rozdzierania T,rtOl dla bada- 
nych stopów metalowych. W tabeli podano także wartości dynamicznej odporności na
>>>
Wyznaczanie dynamicznego ll1ateriałowego modułu ... 


269 


pękanie .IM oraz równania linii rozwoju pęknięcia w badanych materiałach jako funkcję 
.l = j(:....(/). 
Ze wzoru (2) wyn ika. że dynamiczny modul rozdzierania 7;//1" będący ll1iarą od- 
porności materiału na rozprzestrzenianie się pękania w warunkach obciążeń dynamicz- 
nych. wiąże z sobą trzy bardzo ważne dla materiału wfasności, tj.: moduł sprężystości 
y ounga, dynamiczną granicę plastyczności oraz odporność materiału na pękanie. Jest 
zarazem nie tylko miarą wytrzymalości materiału, ale także miarą oporu, jaki stawia 
material przeciwko rozwijającell1u się pęknięciu przy obciążeniach dynall1icznych. Jak 
wynika ze wzoru (2) - jest wielkością bezwYll1iarową. 
Dążeniem jesL aby tak projektować materialy, żeby wartość tego modułu była jak 
najwyższa. Wiadomo, że wlasności wytrzymałościowe (sprężystość. wytrzYll1ałość) nie 
idą w parze z odpornością na pękanie. Przy optymalizowaniu cech ll1ateriałowych żą- 
dall1Y. aby parametry wytrzymałościowe oraz parametry charakteryzujące odporność 
ll1aterialu na pękanie byly jak najwyższe. 
Z analizy wyników zamieszczonych w tabeli I wynika, że stale: ł4HNMBCu. 
ISG2A. St3S. staliwo L20G posiadają nie tylko wysoką dynamiczną odporność na 
pękanie .1 1 ,1. ale również wysokie wartości dynamicznego modułu rozdzierania 7;//1/' 
Świadczy to nie tylko o dobrej wytrzymalości i plastyczności tych materiałów, ale rów- 
nież o dużej odporności na zatrzymanie rozwijających się pęknięć w porównaniu 
z innymi badanymi materiałami. 


Tabela I. Rezultaty oceny dynamicznego modulu rozdzierania 7;//1' oraz odporności na 
pękanie .1(,/ dla badanych stopów metalowych 


NI\Jllul OdpolllOŚć na RÓwnanie linii roZ\voju 
Lp. Badany matćrial rozd;ićrania p,:kanić p,:knięćia 
7
1I(/1 .l(d Ik
/ml .l -= /(c,a) 
I. ] 8C2 \ 279.] 121.7 .l = 6I,84c,(/ -'- ] 21.7 
') 1411"Ji\IBCu ]67.2 229.2 .l= I] O,9c,(/ + 229.2 
3. "\j9\ 21.3 24.8 .l= 14.]c,a -'- 24.8 
4. St]S 152.6 57.6 .l = 26.6c,(/ 
 57.6 
5. Stali\\o L20( i 115.8 ]09,8 J = 48,]c,a + 109.8 
b. ićli\\o sti:roidalnć 12,6 ]0,4 J= 18, ') C,LI -'- ] 0,4 
7. Stop aluminium .\K 12 0.56 41.4 .J = y, ,4c,a = 41.4 


Bardzo niskie wartosci dynamicznego modułu rozdzierania posiadają. jak wynika 
z omawianej tabeli: stal N9E. żeliwo sferoidalne oraz badany stop aluminiull1 AKł2 
( ł I % Si). K walitikuje to te materialy w stronę materiałów kruchych i nieodpornych na 
rozwój istniejących pęknięć w tych materialach. 
Przedstawione także w tabeli równania linii rozwoju peknięcia J(0.(/) (krzywe .l-R) 
w badanych materiałach odpowiadają różnYIl1 katOIl1 nachylenia tych linii do pozioll1u. 
Im Wat10ŚĆ tego kąta r Igo. = "-.J ) \1 w materiale badanym jest wyższa, tym wyższa jest 
\ '-\(/ 
odporność materiału na rozwój rozprzestrzeniającego się pęknięcia. Ma on decydujący 
wplyw na wartość obliczonego dynamicznego modułu rozdzierania T I //(((. 
Przy projektowaniu nowych materialów należaloby więc dążyć do jak najwyższej 
wartości tego \\skaźnika. ktÓry może być miarą energetycznych możliwości (żywotno- 
ści resztkowej) materialu w warunkach awaryjnych (ekstrell1alnych) obciążeń.
>>>
270 


Jan Sadowski 


4. PODSUMOWANIE 


Podsumowując wyniki uzyskane na obecnym etapie badań można stwierdzić, że: 
l. Przedstawiona w pracy ll1etodyka określania dynamicznego 1l10dułu rozdzierania 
T,"a/ materiałów ll1etodą wielopróbkową (zatrzymania pęknięcia) jako parametru pę- 
kania może być zarazem metodą najdokładniejszej oceny parametru dynamicznej 
odporności na pękanie.lM 
2, Dynamiczny ll10dul rozdzierania T,"OI. przedstawiający odporność materialu przeciw 
rozwijającemu się pęknięciu, jako wskaźnik liczbowy może określać 1l10żliwości 
energetyczne i wytrzymałościowe materialu w stanach awaryjnych (ekstremalnych). 
3. Przy projektowaniu ll1ateriałów i ich technologii obróbczych należy dążyć do osią- 
gania najwyższych wartości modułu rozdzierania T,/lOI' Im wartość tego modułu jest 
wyższa, tym wyższa odporność materiału na rozwój istniejących w materiale pęk- 
nięć, a tYIl1 sall1ym większy zapas żywotności resztkowej materiału. 
4. Przedstawione w pracy równania oporu przeciw rozwijającell1u się pęknięciu 
w materiale .l(c..a) ll10gą stanowić ocenę wpływu długości wady na zmieniającą się 
odporność ll1aterialu na pękanie. 
5. Możliwym jest iż w niedalekiej przyszłości dynamiczny moduł rozdzierania Tli/ul 
będzie parametrem. który trzeba będzie uwzględniać w obliczeniach projektowa- 
nych ll1aterialów i konstrukcj i, które ll1uszą wykazywać możliwości osiągania wy- 
sokich własności wytrzymalościowych na równi z wysoką odpornością na pękanie. 


LITERA TURA 


[]] Golaski L., 1992. Elementy doświadczalnej mechaniki pękania. Wyd. Politechniki 
Świętokrzyskiej Kielce. 
[2] Sadowski L 2000. Wyznaczanie parall1etrów dynamicznej odporności na pękanie 
w próbie udarowego zginania. Mat. kon( "Inżynieria Materiałowa 2000". Poli- 
technika Gdańska. 
[3] Biel-Golaska M., 1993. A method ol' testing the dynamie rracture toughness ol' 
materials characterised by high plastieity. Metallurgy and Foundary Engineering. 
[4] Kabayashi T.. Yall1amoto L ł 996. Introduction ol' a i\jew Dynamic Fracture 
Toughness Evaluation System. Journal ol' Testing and Evaluation 21 (3 ). 
[5] Sadowski L 19Q7. Ocena odporności na pękanie zlączy spajanych \V aspekcie 
próby udarowego zginania. Rozprawa doktorska. Politechnika GdaIlska. 
[6] ASTM E 24.03.03. Proposed standard method ol' test 1'01' instrumented impaet ol' 
pracracked Charpy specimens ol' ll1etallie materials. Dratt 2c. Phi ladelphia 1980. 
[7] BS 6729. 1987. British Standard Method 1'01' determination ol' the dynamie fraeture 
toughness ofmetallic materials. BSJ London.
>>>
Wyznaczanie dynamicznego materiałowego modułu .., 


27ł 


OETERMINATION OF THE DYNAMICAL MATERIA L TEARING 
MODULUS FOR CHOICE METALLIC MA TERIALS 


Sumll1ary 


In this paper. the determination ol' the dynamical tearing ll10dulus Tm"l for certain 
group ol' metali ic materials was presented. In this own testings, the instrull1entation of 
the bending impact test was used. These testing has been based on the method of stop- 
page t,'acture propagation. This modulus with reference to well-known parall1eters of 
crack resistance f.:jJ and .J!J that result from the criteria of f,-acture mechanics can stand s 
additionally quantitative assessment ol' the possibility of exploited materials I terms it 
dynall1icalloads. 


Keywords: t,-acture toughness ol' materials, dynamical tearing modulus
>>>
AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


OBRÓBKA ELEKTROCHEMICZNA KRZYWOLINIOWYCH 
POWIERZCHNI OBROTOWYCH 


Jerzy Sawicki. Tomasz Paczkowski 


l Katl:dra rvkl:haniki Stosowanej 
CKatl:dra Inżynil:rii Produkl:ji 
Wydzial fVkdlaniczny ATR 
ul. ProC S. Kaliskiego 7. 85-796 Bydgoszcz 


\V pnKY st()rmullJ\\ano rÓwnani l: opisujące ewolul:ję ksztaltu krzywolinio- 
\\l:j ohroto\\l:.i pO\vierzdmi ohrahianej ml:todą drążenia dektrochemicznego oraz 
rÓwnania przl:ply"\\u mieszaniny dektrolitu i gazu w szczl:linie między krzywoli- 
nilJ\\ ymi pO\\iazchniami ohrotowymi (elektrodą rohoezą i anodą). Przedstawiono 
koncl:pcię stanowiska hadawczego dla werytikacji modelu matl:matYl:znego oh- 
rÓhki LC7v1. 


SIO\va kIUCZO\\l:: ohrÓhka elektrtKhl:llIiczna. przl:plyw ekktrolitu, model matema- 
tyczny 


1. WPROWADZENIE 


Drążenie elektrochemiczne jest odmianą obróbki elektrochemicznej bezstykowej 
i należy do podstawowych i najbardziej rozpowszechnionych operacji technologii elek- 
trochemicznej cześci maszyn i narzędzi [I]. 
Obróbka elektrochemiczna ECM wYll1aga, aby do ujemnego bieguna stałego źró- 
dła prądu podłączyć elektrodę roboczą. a do bieguna dodatniego przedmiot obrabiany, 
Szczelina międzyelektrodowa wypełniona jest elektrolitem. Podczas procesu obróbki 
wymuszony różnicą ciśnień przeplyw elektrolitu szczeliną powoduje wypłukiwanie 
z powierzchni elektrod produktów rozt,varzania (cząsteczki wodoru oraz jony roztwo- 
rzonego metal u). 
Można zatell1 przyjąć, że w szczelinie międzyelektrodowej powstaje ll1ieszanina 
elektrolitu. cząsteczek wodoru oraz produktów roztwarzania elektrochemicznego, 
O zjawiskach tizycznych jakie występują w szczelinie ll1iędzyelektrodowej w trak- 
cie obróbki ECM decydują procesy wymiany ll1asy. pędu i energii. które wpływają na 
dokładność operacji drążenia elektrochemicznego. 
Projektując proces technologiczny drażenia należy wyróżnić następujące zadania 
[2,3]: 
- Jobor \varunkóIV procesu ECvl (skład elektrol itu. parametry obróbki. wYll10gi tech- 
nologiczne L 
- wyznaczenie geometrii narzędzia - elektrody roboczej. 
analiza dokładności obróbki.
>>>
274 


J. Sawicki, T. Paczkowski 


Należy zaznaczyć, l.e wymienione zadania są wzajemnie ściśle sprzę1.one, a roz- 
wiązanie ich związane jest z wyznaczeniem ewolucji kształtu powierzchni obrabianej, 
tj. anody. 
Celem niniejszej pracy jest sformułowanie: równań opisujących ewolucję kształtu 
powierzchni obrabianej, przepływ mieszaniny elektrolitu i gazu w szczelinie między 
krzywoliniowymi powierzchniami obrotowymi (elektrodą roboczą i anodą) oraz kon- 
cepcja stanowiska badawczego dla weryfikacji przedstawionego modelu matematycz- 
nego obróbki ECM. 


2. MODELOWANIE MATEMATYCZNE PROCESU OBRÓBKI ECM 
KRZYWOLINIOWYCH POWIERZCHNI OBROTOWYCH 


2.1. Konfiguracja pola przepływu elektrolitu 


Obszar przepływu elektrolitu w szczelinie międzyelektrodowej między krzywoli- 
niowymi powierzchniami obrotowymi przedstawiono na rysunku I. 


z 


/ 


x 


Rys. I. Schemat obróbki elektrochemicznej 


Nieruchoma powierzchnia środkowa szczeliny niech będzie opisana funkcją R(x) 
oznaczającą promień tej powierzchni. Grubość szczeliny ME zdefiniowano jako odci- 
nek poprowadzony wzdłuż normalnej do powierzchni środkowej, przecinający krzywi- 
znę powierzchni ograniczającej szczelinę w przekroju osiowym oznaczono 2h.
>>>
Obróbka elektrochemiczna ... 


275 


Niech grubość szczeliny 2h(x) będzie mała w porównaniu z promieniem po- 
wierzchni środkowej R(x), co można wyrazić formułą: 


2h(x}« R(x} 


(1) 


Modelowanie matematyczne obróbki ECM, a w szczególności przepływu elektro- 
litu w szczelinie międzyelektrodowej przeprowadzimy w krzywoliniowym, lokalnie 
ortogonalnym układzie współrzędnych związanych z wprowadzoną do rozważań po- 
wierzchnią środkową [6]. 
Chcąc wyrazić równania przepływu elektrolitu traktowanego jako mieszanina cie- 
czy i gazu należy wyznaczyć współczynniki Lame'go. 
Rozważmy zatem przedstawiony na rysunku 2 element rozpatrywanej powierzchni 
środkowej, na którym zaznaczono liniami 
 = const, l'] = const ortogonalną siatkę. 


tl; 
.A 


Rys. 2. Powierzchnia krzywoliniowa 


Równanie wektorowe takiej powierzchni można wyrazić zależnością: 


;" = ;(}(
.l']) 


(2) 


Określenie dowolnego punktu przestrzeni, leżącego w odległości l;; mierzonej 
wzdłuż normalnej, jednoznacznie wyznacza wektor przedstawiony w postaci: 


; = ;(}(
.l'])+l;;
(Ę.l']) 


(3) 


Kwadrat elementu długości w ortogonalnym układzie współrzędnych 
,l'],
 jest 
równy: 


d 2 (d -V ( O;" r 0
 ) 2 dJ:2 ( a;" r 0
 ) 2 k2 dJ:2 
S = rJ = -+
- U
 + -+
- U'I +u
 
O
 o
 al'] Ol'] 


(4) 


Zakładając, że współrzędne 
 i 11 pokrywają się z liniami powierzchni środkowej, 
wykorzystując wzory Rodrigues'a. można kwadrat elementu długości przedstawić na- 
stępująco:
>>>
276 


J. Sawicki. T. Paczkowski 



'=( 
J (I+ 
J d2+( 
; )'(1+ 
J do
' 


(5) 


gdzie: 
RIo R 1 - oznaczają odpowiednio promienie krzywizny powierzchni. 


Dla powierzchni obrotowej, która jest przedmiotem analizy, równanie wektorowe 
przyjmuje postać: 


; o = iR(x )cos e + 7 R(x )sine + kZ(x) 


(6) 


Interpretację graficzną poszczególnych wielkości przedstawiono na rysunku 3. 


z 


Rys. 3. Powierzchnia obrotowa 


Wstawiając (6) do równania (5) i zakładając: 

 = x, łl = e, l; = y 


(7) 


otrzymamy: 


2 2 
ds 2 = (1 + 
 ) d¥2 + R 2 (x { l + 
 ) ,li + ąv2 


(8) 


gdzie: 
RIo R
 :? R(x). 


Uwzględniając założenie (1) można przedstawić zależność (8) w następującej po- 
staci: 


, , ' ( \.K1, , 
ds- = dx- + R- xJUo- + d.v- 


(9)
>>>
Obróbka elektrochemiczna ... 


277 


Stąd współczynniki Lame'go są równe [8]: 
L, = l: LI) = R(x): L, = l, 


(10) 


2.2. Równanie opisujące rzeczywistą zmianę kształtu powierzchni 
obrabianej 


Ogólne równanie różniczkowe opisujące zmianę kształtu powierzchni obrabianej 
wskutek roztwarzania anodowego zgodnie z teorią roztwarzania ECM ma postać [5,9]: 
DF -: 
--::;- + k,.}lgradF = O 
ct 


(ł I) 


z warunkiell1 początkowym nx, Y. O) = FI! 
gdzie: 


).1 =jl\'IY1.I) 
k,. 


- rozklad gęstości prądu na powierzchni obrabianej, 
- objętość materiału usuniętego przez roztwarzanie anodowe 
przy przepływie jednostkowego ładunku elektrycznego, 
- równanie opisujące wyjściową powierzchnię obrabianą. 
- równanie opisujące powierzchnię anody w chwili t. 


Fof{O) = O 
Fr.--/. , t) = O 


Gęstość prądu wynika z prawa Ohma [I L 12]: 


/ -: = -K "rad li I 
. ,., ./ 


( 12) 


gdzie: 
u - potencjał pola elektrycznego między elektrodami, 
K - przewodność wlaściwa konduktywność. 


W układzie wspÓłrzędnych prostokątnych X, Y.Z związanych z nierucholl1ą anodą 
równanie powierzchni anody jest postaci: 


z = ZJx,y,t) 


(13) 


Wprowadzając równan ie ( 13) do zależności (ł l) otrzYll1ujemy: 


az, -k 

 - l.id 
( f 


l + ( a Z/ J 2 + ( (-:: ZI J 2 - V 
, \ ' I 
 } ' I 
c. \ c . 


( 14) 


dla f = O Z I = Z,,(X, n. 


Zakładając. że rozkład potencjału wzdłuż odcinka normalnego do elektrody robo- 
czej jest liniowy (czesIO przyjmowany w obliczeniach technologicznych) funkcję gęsto- 
ści prądu można wyrazić zależnością:
>>>
278 


J. Sawicki, T. Paczkowski 


1 U-E 
l . - K D- . - 
. A - () II, S 


( 15) 


tutaj: S = 2h. 
Funkcja Dn; opisuje wpływ zmian konduktywności w szczelinie. Wyznacza się ją 
następująco: 


Dn; = 
 [ f ćzv 11 ] 
S o(ł+cx(T-7())XI-
)i: 


( 16) 


Dla zall1knięcia układu równań (14+ ł 6) konieczne jest wyznaczenie przyrostów 
temperatury;'l.T = T-To oraz rozkład koncentracji fazy gazowej 
. Wymaga to określe- 
nia rozkładów ciśnienia i prędkości w krzywoliniowej szczelinie międzyelektrodowej. 


3. RÓWNANIA RUCHU MIESZANINY 


Równania ruchu mieszaniny (elektrolit + gaz) wynikają z zasad zachowania me- 
chaniki. tj. zasady zachowania masy, pędu i energii [T]. 
Przyjmując do rozważań model hOll1ogeniczny ośrodka dwufazowego równania 
ruchu w krzywoliniowym lokalnie ortogonalnym układzie współrzędnych mają nastę- 
pującą postać: 
- równania ciągłości przepływu: 
l (:"(p c: Rv.) + l (
(p, v(J) + a(p ,Y I ) = O 
R c;x R E'e (
V 


( 17) 


I c(pi-/Rv,) +
 E'(Pl/v lJ ) + E'(Pl/V,) _' kil-I 
R 
 R 
 e 
 - Pll/ /I 
ex e ey 


( 18) 


- równania pędu: 
ov v ov ov , R op a:v 
P ( v . ----.l+
_ . \ +v -2:..-1'-- ) =---'-+11 [ --'-+ 
, r ;:) 
 S ' 
 o ;:) r--,' 
. 
ux R o Cy R ux Cx- 
T
 a:j
, + 
:v,\ T
 ć -2
 G1'o _ (R 
) j',] 
R- oS - C)'- R C.Y R- c S R- 


( 19) 


av o V o oV o oV o R l op a:v 
Pc (v ----:;- T- R 
 e +v, ----:;--vrV O - R )= -- R 
 e + 
l [
+ 
Ox o . Ov o ex: 
] o:v . o:v . R cv R ov (R R) 
---:----..J?....-+-
+-
-+-/-
--t' l 
. 
 e -' .., - 
' - 
 e 'o 
R- c - 0)-'- R ex R c R- 


(20)
>>>
Obróbka elektrochell1iczna ... 


-.. -. -. ......'"') 
cv \ v, ) cv \ CV. r::p C'
v 
p (v 
+ ---'-
+ v 
) = ----"-.+ J..l ( \' + 
, \ 
 
 8 \ 
 
 (' 
 
" C'X R c c.1' e.1' ex- 


I (ec V acv R' E'v 
+ ----;- 
 + ----::-+ + - 
) 
R - d,) - e.1' - R ex 


a v, V o ("'; v, a v . , R a p H a 2 v 
P (v -+--+v 
-v!)--)=--;;-+
IH[
+ 
fi. (eX R (-;S ey R ex ex- 
l ("';\', (",;2V, R aVe R C Vii (RR) 
+ 
 
 + 
 + -- -:2 
----::;-- - -;- v,] 
W c8 ('V R r:x R- e8 R- 


i': v" Vi) i"v" (
Vf) R l rplI c"v e 
p li (v, -----:::-- + - 
 + v ----:::- - v Vii -) = - - -:::-- + 
l H [-----:;- + 
('X R e8 CI' R R e 8 ex- 


I ("'l'o (;'V" R' ("Vii R /" v. (R'R)' 
+--+-+--+7----v] 
R' i:S = ("y' R ax - R c
 {} R 2 e 


(' V V (' v r: v a p a C v 
Pll (v, 
 + -łL
 + v \ 
,) = --:!-l- + 
lf{ (---:::-++ 
IX R e8 e.1' ey ox- 
l r-v c-v. R' (:v 
+---:;-
+
+-
) 
R - (,8, (T - R IX 


- równanie energii: 


l (
T. aT v,,?T ieT j \! l '/C(R . V,) i3V . e av\, ] 
P"L'" 
+v,,-::-+----::--+v,-::- =-P 
 +----::;-+
 + 
'ci (X R c8 ( y R ex Re8 c.1' 
I a ( O aTI I (" ( . ieT I (-; ( . ("T ] 
+-- AR-+-- A-I+- A- + 
R (( a x) R a 8 R (" fJ) a v (-; y 


I [ . .. 
( .. (
vY r ' a \'0 . i \ 1 - (("' .. v\ I . - 

 I --'-I + -+v - + l -' 
, (- x)  R E 8 \ R / (
v ) 


I , ' aT" I i'v, , -' I ' av, (-V, y' 
4-
lc' i -+-- +1 -+- i + 
\ (- r R i" 8. \ i" x ar) 


+L 
I( 



...;.. ("';\''' -'- 
R (- fJ i' x 


_ 
 [ I ;: I Rv \ ) ...;.. h'o + a v, r 
3 L R a x R r8 i e y J 


R 
-\' - 
II R 


279 


(21 ) 


(22) 


(23) 


(24) 


(25)
>>>
280 


J. Sawicki. T. Paczkowski 


gdzie: 


V,., Vii, V C ' 


- składowe wektora prędkości, 

 ciśnienie elektrolitu. 


p, 
Pff 
 ciśnienie gazu. 
p,,= PlO (I-
) - gęstość elektrolitu. 
Pll = Pllo 
 - gęstość wodoru. 

ll - dynamiczny współczynnik lepkości elektrolitu. 

lff - dynamiczny współczynnik lepkości wodoru. 

 - objętościowa koncentracja fazy gazowej, 
j. I1ff, ku - odpowiednio: gęstość prądu, wydajność prądowa wydzielania wo- 
doru. równoważnik elektrochell1iczny wodoru. 
- temperatura elektrolitu. 
- ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, 
- promień powierzchni środkowej. 


T 


CI' 
R 


, ?R 
R =- 
?x 


Rozwiązania równań ruchu danych w postaci związków (17
25) nie są możliwe 
do uzyskania na obecnym etapie wiedzy przy użyciu metod analitycznych. 
Dokonując w równaniach (17
24) odpowiednich przejść asymptotycznych cha- 
rakterystycznych dla przepływów w cienkich warstwach cieczy (wąskich szczelinach) 
( h R(x) ) [4.5], zakładając przepływ osiowosYll1etryczny ( (

) c o ,można sprowadzić 
je do układu: 



 r(p 
 R1'.) + i"(P
,V I) _ O 
R ex CT 


(26) 


I c(p fi Rv\) + r(p li v,) _' k hl 
R 
 
 - ./11/1 /I 
ex e v 


(27) 


-.. ..... I...... .....'1 
01' 1'1'_ 
 Rep, I'-V. 
P ,(v _ --"- + V , ---2... - V ( - ) -) = - ---"-- + II , ---.l 
" ,\ r,x 1 R i'-x' L l:-y:2 
( , \, 
l i\'f) r1'f) R J (--Vo 
P i.' V x --:::- . + 1'1' --:::- - v, Vo - = ,ll e - .' 1 
ex . ey R . rl'- 
0= _ i'po.' 
1"1' 


(28) 


(29) 


(30) 


( , \ , 
rv,. ;'v l' :2 R. I
P f-f ( - v, 
Pff V - - .. ' -r \. , - . ' - V I) _ I = -- + II ff - 
I :\ -.. ,-.. R --, -, 
\'IX '11' / (x (
1'- 
[ i\'O 
P fi "x --:::- + 
ex 


(31 ) 


, 
i"v O R ("
vf) 
--:::- 
 V y l'O - = J..l fi 
 
CI' R IY- 


(32) 


ep ff 
O =-
 
( l' 


(33 )
>>>
Obróbka elektrochemiczna ... 


281 


( i', T (
1T ?' T ) l r (
( Rv .) c V l' ] l o ( aT ) 
P,c -+V.-+
' ,- =-P .\ +----"- +-- "AR- + 
( pl (
t .\ i"x I Dy R ex ey R Dx ex 


[l ('V. J 2 [ R' J 2 ( C .. V\' J 2 
2 ----"- + v. - + ----"- + 
Dx .\ R oy 



 r 
 T \ l ' ) 2 ( (' V , J 2 
(; "' (; I ( 1'0 . I' C v, 
+ -:::- A -:::- + 
l,,) --:;-- + 
 + 
 + 
(; v \ cv) ( , y c x c y 
[ i;vo ,i J 2 2 l 10(RVx) aV'v ] 2 
+ --t()- -- +- 
CX R 3 R i"x oy 


1 
+L 
K 


(34) 


Dodając równania ruchu obu faz stronami oraz zaniedbując człony zawierające 
PI/Pc jako pomijalnie małe, zakładając. że ciśnienia Pl = p!! = p. uklad równań ruchu 
hOll1ogenicznej mieszaniny (25-'-34) jest teraz następujący: 


J... C:C(p" Rv,) + ('(p" vv) = O 
R C:Cx C:Cy 


(35) 


I (
(p fi Rv, ) + C:C(p fi VI') _' k h -1 
R e' - )f] fi fi 
('X (y 


(36) 


I ' I 1 
i\' . ('V ., R c:c 7 ,

V 
P , v. _ , .1 + v '- , x - F- - , = _- . 1 + Ll,------.l 
(.\
 \
 0 R) ' 
 ,t., 
( X . ( 
' (X G'- 
\ . 


(37) 


r 
 
 R ' \ 
., 
( \'0 ("O (;-1'0 
P
 FI" 
+ VI' 
- F,Vf) - j = 
l,,---::;- 
\ n . IV R OV- 


(38) 


Ip 
0=---::- 
cy 


(39) 


Równanie cnergii w rozważanYIl1 przepływie. uwzględniając ciepło Joule'a wy- 
dzielane przy przepływie prądu, wYll1uszoną konwekcję ciepła spowodowaną przepły- 
wem elektrolitu, wymianę ciepła przez elektrody. pomijając energię rozproszoną, ma 
teraz następującą postać: 


(
r 
" --=-----+ r 
IX 


n I i'( ar: Di ar i '/ 

=--::- (/R
I"-
: (/-:::- .,-- 
(. \' /? 1'.\ l I' X j (l' '\ (y) !: 


(40) 


gdzie: 


(/ = 
 - dyfuzyjność cieplna elektrolitu. 
cpp" 
K -- elektryczna konduktywność wlaściwa elektrolitu.
>>>
282 


J. Sawicki. T. Paczkowski 


Sformułowany układ równań (33+40) stanowi podstawowy układ równań dla 
analizy osiowosymetrycznego przepływu mieszaniny elektrolitu i wodoru w szczelinie 
111 iędzye lektrodowej. 
Rozwiązanie układu równań (33+40) pozwoli na określenie rozkladów prędkości, 
ciśnień i temperatury w szczelinie ll1iędzyelektrodowej. Uzyskane formuły opisujące 
rozkład tell1peratury w szczelinie wykorzystane będą dla wyznaczenia ewolucji kształtu 
przedll1iotu obrabianego (anody) na podstawie równania ( 14) [13,14]. 


3. l. Warunki brzegowe 


Rozwiązania równań (33+40) powinny spełniać warunki brzegowe odnośnie: 
- składowych prędkości: 


v =v l' =0 dla y = i:.h, 
x 
v =0 dla )" = -h. 
o 
v o = co 2 R(x) dla y = +h, 
- ciśnienia: 
p =p" dla x=x 
p =Pc dla x=x 


(41 ) 


(42) 


- dla temperatury: 
na ściankach: 


T = T, dla x:::::x" 


y = ::i:: h 


- na wlocie 


T = T., 


(..m 


gdzie: 
Pil' P
 


X1!'J x= 
XII 
T, 
Tw 


- ciśnienia na wlocie i wylocie szczeliny ll1iędzyelektrodowej, 
- współrzędne położenia wlotu i wylotu ze szczeliny międzyelektrodowej. 
- współrzędna początku szczeliny międzyelektrodowej. 
- temperatura elektrod, 
-- temperatura na wlocie. 


4. STANOWISKO BADAWCZE 


Otrzymane krzywe opisujące zarys ewolucj i kształtu przedmiotu obrabianego 
(anody) zamierza się zweryfikować na stanowisku badawczym przedstawionym sche- 
matycznie na rysunku 4. 
Zasadniczym elementem stanowiska jest komórka obróbkowa l. w które; znajduje 
się przedmiot obrabiany 2 oraz elektroda robocza 3. Komórka '.vykonanajest z przeźro- 
czystego tworzywa umożliwiającego obserwację elektrod i przepływającego elektrolitu. 
Otworell1 4 podawany jest do komórki obróbkowej elektrolit. Sposób zasilania .)zczeli- 
ny międzyelektrodowej w elektrolit zapewnia przepływ osiowo symetryczny. Otwo- 
rell1 5 do przestrzeni między ściankami ER i korpusem komórki podawano przeciw-
>>>
Obróbka elektrochemiczna ... 


283 


ciśnienie powietrza. Stanowi ono dodatkowe uszczelnienie komórki z ER i jednocześnie 
ułatwia odprowadzenie przecieków otworem 6. 


e e 
10 
11 
9 I ::: 
I 
5 I 
, 
6 
= c::::: , 
, 
, 
I 
I 
, 
, 
, 


Rys. .t. Stanowisko badawcze 


8 


7 


Drgania ER wywołuje piezoelektryczny wzbudnik drgań 7. Wzbudnik związano 
z suportem 8 osadzonym na prowadnicy. Suport wraz ze wzbudnikiem drgań oraz ER 
napędzany jest silnikiem krokowym z przekładnią redukcyjną 9. Realizowany jest w ten 
sposób ruch postępowy z prędkością V" Do zmiany ruchu obrotowego na posuwowy 
zastosowano bezluzową toczną przekładnię śrubową 10. Między wałem silnika a śrubą 
toczną umieszczono sprzęgło mieszkowe 11, w celu uwolnienia napędu od naprężeń 
wynikających z błędów współosiowości i drgań. Nakrętkę zamocowano w głowicy 
związanej z suportem 8 komórki obróbkowej. Prędkość obrotową silnika, przesunięcie 
suportu regulowano programowo. Umożliwia to: 
realizowanie ruchów roboczych z zadaną stałą prędkością, 
realizowanie ruchów pozycjonujących: 
ruch do przodu - do styku elektrod, 
- ruch do tyłu o zadaną wartość - ustawianie wysokości początkowej szczeliny 
międzyelektrodowej, 
szybkie wycofanie elektrody roboczej w przypadku wystąpienia stanów krytycz- 
nych. 


5. WNIOSKI 


W pracy sformułowano - wykorzystując podstawowe zasady zachowania masy, 
pędu i energii - równania: 
ewolucji kształtu przedmiotu obrabianego będącego w ogólności krzywoliniową 
powierzchnią obrotową,
>>>
284 


J. Sawieki. T. Paczkowski 


ruchu masy, pędu i energii mieszaniny elektrolitu i gazu w krzywoliniowYIl1 ortogo- 
nalnym układzie współrzędnych. 
Ponadto przedstawiono stanowisko badawcze dla weryfikacji zaproponowanego 
modelu matematycznego opisu obróbki elektrochemicznej powierzchni krzywolinio- 
wych obrotowych; 
Należy podkreślić. że przedstawiony 1l10del matell1atyczny obróbki elektroche- 
micznej stanowi układ równań różniczkowych cząstkowych nieliniowycll. którego roz- 
wiązanie wYll1aga zastosowania bądź przybliżonych metod analitycznych, bądź znanych 
w literaturze metod nUll1erycznych różnic skończonych. elementów skOliczonych lub 
objętości skończonych. 


LITERA TURA 


[I] Kozak J., 1967, Zagadnienie geoll1etrii elektrod w procesie kształtowania elek- 
trochemicznego. Arch. Bud. Maszyn. t. XIV, z, 2. 
[2] Kozak J, 1976. Ksztaltowanie powierzchni obróbką elektrochemiczną bezsty- 
kową (ECM). Pr. Nauk. PW, Mechanika 41. Wyd. Politechniki Warszawskiej. 
[3] Kozak l, 1976, Mathell1atical Models for Computcr Simulation ol' Electro- 
chell1ical Machining Process. Journal ol' Materials Processing Technology 76. 
[4] Davydov A.D.. Kozak J., 1990. Wysokoskorostnyje elektrochill1iczeskoje forll1o- 
obrazowanie. Nauka Moskwa. 
[5] Dąbrowski L.. 1992. Podstawy komputerowej symulacji kształtowania elektro- 
chemicznego. Zesz. Nauk, Politechniki Warszawskiej. Mechanika 1:'4. 
[6] Sawicki J., 1994. Influences ol' the inertial rorces on the magnetic fluid tlow in 
a gap between curvilinear surfaces ol' revolution. Mechanika Teoretyczna i Sto- 
sowana, 4(32), 754-771. 
[7] Sawicki L ł 996. Magnetohydromagnetic tlow ol' viscous fluid in a slot between 
curvilinear surfaces of revolution. Rozprawy Inżynierskie PAN-IPPT 44( I). 
113-140. 
[8] Sawicki J., 1996. Uogólnione równania ruchu cieczy niemagnetycznej i magne- 
tycznej w szczelinach ll1iędzy wirującymi powierzchniami obrotowymi. Zesz. 
Nauk. A TR Bydgoszcz, Mechanika 41,55-64. 
[9] Lubkowski K., 1996. Stany krytyczne w obróbce elektrochemicznej. Zesz. Nauk. 
Politechniki Warszawskiej, Mechanika 163. 
[10] Gryboś R., 1998. Podstawy mechaniki płynów. PWN Warszawa, 
[II] Ruszaj A.. ł 999. N iekonwencjonalne metody wytwarzania elementów maszyn 
i narzędzi. lOS Kraków, l7I -180. 
[12] Paczkowski T.. Sawicki L 2002. Symulacja komputerowa procesu EC\iI 
w oparciu o dwuwymiarowy model przepływu elektrolitu między płaskill1i elek- 
trodami, Zesz. Nauk. A TR Bydgoszcz, Mechanika 53. 
[ł 3] Paczkowski T.. Sawicki L 2002. Modelowanie przeplywu elektrolitu w szczeli- 
nie ll1iędzyelektrodowej w obróbce elektrochemicznej. National Conference vvith 
International Participation, Svratka, Czech Republic. Academy ol' Sciences 01' 
the Czech Republic, 62-69.
>>>
Obróbka elektrochemiczna ... 


285 


[14] Paczkowski T.. Sawicki J.. 2003. Wpływ koncentracji wodoru w elektrolicie na 
ewolucję kształtu przedmiotu obrabianego. wybrane zagadnienia obróbek skon- 
centrowaną wiązką energii. Praca zbiorowa pod red. M, Styp-Rekowskiego, 
BTN Bydgoszcz. 511-520. 
[15] Paczkowski T., Sawicki L 2003. Modelowanie ewolucji kształtu powierzchni 
łopatki w obróbce elektrochemicznej elektrodą drgającą roboczą. [W:] Przepły- 
wowe maszyny wirnikowe, E. Oczoś (red.). Rzeszów. 


ELECTROCHEMICAL MACHINING CURVILINEAR SURFACES 
OF REVOLUTION 


Summary 


In this work an equation describing the shape evolution of the electromachined 
curvilinear rotary surface has been formulated as well as the equations ol' electrolyte and 
gas mixture tlow in the gap between curvilinear surfaces of revolution (tool electrode 
and anode). 
A concept ol' a working station 1'01' veritication ol' the presented ECM ll1achining 
mathematical model has been discussed. 
Keywords: electrochemical machining, electrolyte tlow, model mathematical
>>>
AKADEMIA TECHNłCZNO-ROLNIClA IM. JANA I JĘDRZEJA ŚNIADECKICH 
W BYDGOSZCZY 
ZESZYTY NAUKOWE NR 243 - MECHANIKA 54 - 2004 


PEŁZANIE PŁ YT NA PODŁOŻU LEPKOSPRĘŻYSTYM 


Justyna Sobczak-Piąstka 


Katedra Mechaniki Konstrukcji 
W)dzial Budo\\nietwa i Ini.ynierii ŚrodowiskaATR 
ul. Prof. S. Kaliskiego 7. S5-796 Bydgoszcz 


Przedmiotcm pracy są pl) ty eicnkie opartc na podłożu lepkosprężystym. 
ulegając) m pełzaniu. [{(mnania rÓ/.niczkom: opisujące plyty cienkie i rÓwnania 
rÓi.niczkowc modeluj,!cc podło/c lepkosprężyste sprowadzono do rÓwnań pracy 
\\ irtualnej i następnie roz\\iązano dwiema metodami numerycznymi - metodą 
clemcntÓw skoriczonych (MES) i mctodą 7ienkicwicza-Wooda (SSpj). W celu 
ilustracji poprawności zaproponowanej metodyki rozwiązania wykonano oblicze- 
nia i przepnmadzono analizę otrzymanych wynikÓw. 


SłO\\a kluczom:: pl) ta, podłożc Icpkosprężyste. pdzanic 


l. WSTĘP 


Zachowanie się układu konstrukcja -
 podłoże. będącego przykładell1 tzw. układów 
sprzężonych jest. wobec wpływu szeregu czynników zarówno mechanicznych jak 
i niell1echanicznych. bardzo zlożone i skomplikowane przy matematycznym opisie tego 
zjawiska. Zlożoność tego zagadnienia wynika z braku jednoznacznego jego przedsta- 
wienia w postaci równań i związków ll1atematycznych. Powoduje to, że stosuje się 
różnego rodzaju modele renomenologiczne do opisu zwłaszcza oddzialywania podłoża. 
Podstawą tworzenia modeli coraz bardziej złożonych jest ll1ożliwość jednoczesnego 
uchwycenia takich zjawisk reologicznych, jak peIzanie i relaksacja. Wpływ tych zja- 
wisk ma istotne znaczenie dla pracy konstrukcji. Na przykbd. stan naprężenia w ukła- 
dach stalowych i żelbetowych może w procesie pełzania zwiększyć się 2", 2,5-krotnie, 
a przemieszczenia mogą wzrosnąć nawet 3"'4 razy [1.2,3]. 
W analizie drgań najczęściej stosuje się model Voigta-Kelvina. Wynika to z dużej 
łatwości stosowania tego 1l10delu do obliczeń dynamicznych i reologicznych. Szybkie 
przebiegi drgali (krÓtki okres) powodują, że na wyniki analiz dynall1icznych nie ma zbyt 
dużego wplywu dobór modelu reologicznego do opisu tiumienia drgań. Zjawiska pełza- 
nia i relaksacji zachodzą zaś bardzo wolno w czasie. Dość powszechnie stosuje się więc 
do opisu pełzania i relaksacj i, zwłaszcza metali i tworzyw sztucznych, model Zenera 
nazY\Vany modelem standardowym lub też Rżanicyna. Rżanicyn zastosował model 
Zenera do zagadnień reologicznych betonu [4], Model BUrgersa zaś zawiera cechy 
wszystkich wymienionych wcześniej modeli lepkosprężystych i został zaproponowany 
do przedstawiania zjawisk reologicznych w smołach i asfaltach [5]. Model ten należy 
traktować jako udoskonalenie modelu Zenem. 
W pracy rozważa się płytę cienką opartą na podłożu lepkosprężystym. Równania 
różniczkowe opisujące plyte cienką i rÓwnania rÓżniczkowe modelujące podłoże lepko-
>>>
288 


Justyna Sobczak-Piąstka 


sprężyste sprowadzono do równań pracy wirtualnej i następnie rozwiązano dwiema 
metodami numerycznymi - metodą elementów skończonych (MES) i metodą Zienkie- 
wicza-Wooda (SSpj). Ważnym elementem rozwiązania jest analiza występujących zja- 
wisk reologicznych w podłożu, zwłaszcza pełzania. 


2. SFORMUŁOWANIE LOKALNE 


Rozpatruje się płytę cienką spoczywającą na wieloparametrowym podłożu lepko- 
sprężystym (rys. 1). Podłoże może być niejednorodne, nieciągłe i może charakteryzo- 
wać się więzami jednostronnymi. Ksztah płyty i warunki brzegowe mogą być dowolne. 
Na płytę działa obciążenie poprzeczne dowolnie przemieszczające się w płaszczyźnie 
płyty oraz wolno zmienne w czasie, co umożliwia zaniedbywanie sił bezwładności. 
Założenie to jest uzasadnione w przypadku badania zjawisk odbywających się bardzo 
powoli, w długim przedziale czasu. Takim zjawiskiem jest pełzanie i relaksacja. Płyta 
wykonana jest z materiału liniowo-sprężystego. 


x, 1'y 


!!! 
 


Y,1'x 


::, w 


Rys. I. Rozważana płyta cienka oparta na podlożu lepkosprężystym 


Płytę rozpatruje się w ramach klasycznej teorii płyt cienkich [6]. W takim przy- 
padku znane jest równanie różniczkowe zapisane przy wykorzystaniu momentów: 
2 
 21 f a 21 f 
a Jl
 o ,. XI' .. Y 

+2
+--,-+q-r=O 
ax- oxoy ay 


(I) 


x, y EQ, tEO,:xJ) 


gdzie: 


At. =M.(X,Y)=_D ( al
 + v al
 ) , MI' =Mv(X.Y)=_D ( V c2
 + 
2
 ) 
.. Ox. Cy. - GX- ay- 
MXy=M,
(X,Y)=-D(I-V) ( a C .x 2: J , D= Eh}.., 
"'y 12(1- v
) 


(2)
>>>
Pelzanie płyt na podłożu lepkosprężystym 


289 


We wzorach poszczególne wielkości są funkcjami położenia x, y oraz czasu t 
i kolejno oznaczają: M,. M, - momenty zginające. Al" - 1l10ment skręcający, w - funkcja 
ugięcia płyty, q - znana funkcja obciążenia poprzecznego, r - nieznana funkcja odporu 
(reakcja) podłoża. E, v - stale sprężystości materiału płyty, h - grubość płyty, D - po- 
wierzchnia środkowa płyty. 
Wymienione równania uzupełniają warunki brzegowe oraz równanie opisujące 
podłoże lepkosprężyste. 
Istnieje wiele modeli ośrodków lepkosprężystych, np, ll10dele różniczkowe, mo- 
dele całkowe [7.8.9], W pracy [10] zaproponowano ll1atematyczny opis modeli lepko- 
sprężystych w postaci równania różniczkowego cząstkowego, które zawiera związek 
między reakcją podłoża r(x.y.t) i ugięciem plyty w(x,y.!). 
Do dalszych rozważań przyjll1uje się modellepkosprężysty opisany równaniem 
różniczkowYIl1 zwyczajnym: 


a o r + aJ + a} i: = 
"H' + 
 J ,i: + 
 } iv 


(3) 


Do jednoznacznego rozwiązania takiego równania potrzebne są warunki brzegowe 
i warunki początkowe. Warunki brzegowe rormułuje się tak. jak dla rozwiązania rów- 
nania różniczkowego płyty (I). Warunki początkowe są bardziej złożone: 


w(x.y.O)= w"(x.v). 
r(x.F.O)= r"(x.r), 


,;;(x, y.O) = ,i/' (x. y) 
J;(x.y.O)= F'(X,Y) 


(4) 


Dodatkowo warunki (4) muszą mieć taką postać, aby równanie (3) było spełnione 
w chwili 1 = o: 


a" r(x.y.O)+ Cć[,{\'.F.O)+ Cć c ;:(x.l'.O) = 
0)I'(x.y.0)+
I,i{X.1..0)+
civ(x,y,0) (5) 


Po wykorzystaniu oznaczeń użytych w warunkach (4) otrzymujemy: 


Cć o r o+Cć I ';" +Cć c i;"= 
Ow" +
,'1/) +
}iV" 


(6) 


3, SFORMUŁOWANIE GLOBALNE 


Zastosowanie metody elementÓw skończonych (MES) do rozwiązania rÓwnań 
różniczkowych wYll1aga przejścia ze sformułowania lokalnego do globalnego (całko- 
wego). W tym celu zastosowano metodę wariacyjną wykorzystującą zasadę pracy wir- 
tualnej. Wszystkie wielkości występujące w równaniach (I 
6) są funkcjami ciagłymi 
i dostatecznie gładkimi (istnieją pochodne cząstkowe wymaganego rzędu). Wariację 
funkcji 1\' oznaczamy symbolell1 Liw. Rozważamy klasę dowolnych przell1ieszczeń 
w 
 eSw zgodnych z wiezall1 i plyty (geometrycznym i warunkall1i brzegowYll1i), co pro- 
wadzi do zanikania wariacji przemieszczeń eSw na części powierzchni brzegowej 
z ograniczeniami przemieszczeń. Na bazie równania (I) tworzymy wyrażenie globalne 
sluszne dla dowolnego czasu I: 


l" "'I ' ") 
ff ' i . (--.H . ( . .H n Ic-AI \. 
óH'I--++2
+
+q-r 
l) i ,-x- 1 X11' '
1'- 
.- L 


dD=O 


(7)
>>>
290 


Justyna Sobczak-Piąstka 


które po przekształceniach sprowadza się do równania pracy wirtualnej płyty w postaci: 


f{ 
 ( CPx J ( ?Px J ( ap.\" J 
 I ('Pl' J .'. . )] - 
ó - lvl y + 5 ---::-- . M.\T + 5 ---:::-- . j\'I\T + Ó ---:::-- . A/l-+- 0\1 (1-1 dO. - o, (S) 
cr: ev' ex .  v . 
n . \ . 


gdzie: 


ć-'w 
p x = --:::- ' 
cr: 


?w 
P \. =--:::- 
cI' 


(9) 


Po wprowadzeniu oznaczeń (II). równania (2) opisujące momenty przyjmują po- 


stać: 


( cep Dcp, I 
AI.=-D -' +v-' . 
.\ -.. -.. 
ex ev 
. ) 


( ?Ip, (
CP\ J 
A l . . =-D . v- +- 
I 
 
 
I 
r: cv 


( 10) 


D ( ?(pr I
(P, J 
M. =--(I-v) - ... +- 
II 2 1'1' I'X 


Analogicznie do (7) równanie pracy wirtualnej pod loża lepkosprężystego ma po- 


stać: 


ffow (a , / -+- ajl: -;- a,i: - 
o \I' - 
/\i' - rj.,ii') dO. = () 
n 


(ł I ) 


4. RÓ'NNANIA W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH 


W MES rozpatrywany obszar płyty (rys. 2a) zostaje myślowo podzielony na skoń- 
czoną liczbę podobszarów, tzw. elell1entów skoliczonych (ES) (rys. 2b). Dla każdego 
ES (rys. 3) dokonuje się opisu pól przell1ieszczeń w zależności od parametrów (prze- 
mieszczeIi) węzłowych: 


(' ( ) ,'\1' ( ) " ( ) 
w x.y.t =12. 1 x.v 
I t, 
p';. (x, y. r)= cI: 
"P, (x,yh;(t). 


p', C,. l'.! )= 12.: 'P (x.vh:(!)' 


( 12) 


gdzie: 
! [ c' ! ,. ] j 

I = w l . Pff' Prl 


- wektor przemieszczeń ES w węzie i: 


cDl'\\' -p('m\_ cpl'rDl 
....:....-/ '_f '_l 


- ll1acierze ksztaltu zawierające runkcje przestrzenne. 


i= 1,2, ...W,. .n: 
11 
w,. 


- liczba węzłów ES. 
- liczba stopni swobody w wezle ES.
>>>
Pełzanie płyt na podłożu lepkosprężystym 


291 


a) 


b) 


TTTT 


TTTT 


Rys. 2. Rozważana płyta: a - schemat statyczny płyty, b - dyskretyzacja powierzchni środkowej 
płyty 


'L
, 


2 


Rys. 3. Element skończony płyty 


W taki sam sposób opisujemy inne wielkości, np.: 
a) pochodną przemieszczeń względem czasu: 


fi e 
2 
 ) a2 re 
..e = 
 = 
 
ew e . = 
ew ----==ł- = 
ew OOe ( ) 
w ., ., 'V,!,
, 2 
, x, t 
ar at
 at- 
b) reakcję (odpór) podłoża: 


(13) 


re(x,y,t) = iD ; (x, y ) 2::; (t ) 


(14) 


gdzie: 
2::, - wektor zawierający siły węzłowe ES w węźle i, 


-e 
q, i - funkcja kształtu zawierającą funkcje przestrzenne, i = !, 2. ..., 
n - liczba węzłów ES. 
c) momenty zginające i skręcające: 


[( aq,e Cpr ) [ i(I/CP... J] [ ( 
 1/cpx ) [ 
q,ecp. J] 
lvle = _ De ......=1....- + v e 
 x e Me = _ De v e e_i + 
 x e 
x -. .... -I" V......... -1' 
ex cy - ox cy
>>>
292 


Justyna Sobczak-Piąstka 


D " [[ 
",('(P, J (
cP('(P, ] l 
AI
\ = -7(ł _ v e ) C
I, + I c-: I . I
:' 
- l) l IX J 


( 15) 


Po opisaniu funkcji przemieszczeń i sił przemieszczeniami węzłowymi dla każde- 
go ES, podstawiamy te związki do równań prac wirtualnych (S) i (II) i otrzYll1ujemy 
równania ruchu w postaci: 


E 
' [ KeX e +/t.e 
.,e -F" ] =O 

 -lA -A -lA =-A -I - 
e=1 


(ł6) 


f 
v 
J;

 + a
,i:
 + a
i
)- 
:
 

;

 + [3
 i:
 + [3
i
 )]= Q 
e=/ 


lub po agregacji macierzy 


K 
+ W )'-F=Q 


( 17) 


W (a()
 +a/,i: +a.'i)- 
 (
,,
 + 
/i: + 
.'i)= Q 


gdzie: 


( ,,,,'P, J I [ """,,"p, ""Ch,' . m, I 
' ,CCjJ Ccv, ,c jJ, 
K', = D' f
 -' ----="------ + v' -=-"-- dD. + 
-Ih 
 
 
 
('X ( 'x I l' ) 
(L' n. , 
( "",h 'P, \ / "",n "IP, 
'" " . IP. ] 
, , Ccv I Ccv. (CjJ, 
+D'(l-v')f
 ---=:!- j ---=!--+
 dD.+ 
o
\ ex c)' cx 
j 
cP"", '/ [ ""cP"P ""cP"IP, : 
+ De (I - v") fJI c-: I ' j (-:h' + c -:k dD. + 
o' \ cy ej' cx 

 / 
+ De j . Z
:(j), ] 
. Cj' 
,2' . 


( IS) 



 . ",,'UJ, 
 . n . e . IP, ] 
, ('CjJ , ('(v, 
v' --="--- + -=-"-- dD.. 
I
X I
j' 


F e = J ' f (
ell, ) T ,, [ e e e f ' " [ e ex ,-"" f ' 
_( 
, q dD., 
, = w, . P.\"/' Pll .::.:, = )', ,mi ,/11 1 
O' 


( 19) 


W 
A = f 

" T ci) 
 dD.. Ł
A = ff(

ll' T 

" dD." 
o' o' 


(20) 


W powyższych wzorach poszczególne symbole oznaczają: !i
A- ll1acierz sztyw- 
ności ES, Ł
 - wektor obciążeń węzlowych ES. W 
A' Ł
A - macierze charakteryzujące 
geoll1etrię ES. .1''', j'e - wektory odpowiednio przemieszczeń i sił ES w węźle i, 
-1 "'-I '"
>>>